Устранение колебаний твердого тела, подвешенного на тросе переменной длины, при управляемом горизонтальном перемещении подвеса

Рассмотрена задача пассивного силового (динамического) и кинематического управления передвижением тяжелого груза (недеформируемого твердого тела), подвешенного на нерастяжимом безынерционном тросе переменной длины с управляемым горизонтальным перемещением точки подвеса. Получены дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами для малых поступательно-вращательных колебаний тела. Поставлена следующая задача: переместить тело из начального положения покоя в заданное конечное равновесное положение покоя за определенное время с устранением колебаний в момент остановки. При этом закон изменения длины троса считается заданным, а закон перемещения точки его подвеса - неизвестным. Установлены интегральные условия, которым должны удовлетворять искомые управляющие воздействия (сила или ускорение точки подвеса). Приближенное решение задачи кинематического управления, описываемой двумя дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами для углов поворота троса и тела, ищется в рядах с неизвестными коэффициентами по методу Бубнова-Галеркина с использованием заданных аппроксимирующих функций времени, удовлетворяющих некоторым начальным и конечным условиям. Ускорение точки подвеса троса ищется в виде ряда по синусам с неизвестными коэффициентами. Получается связанная система линейных алгебраических уравнений для всех неизвестных коэффициентов, в которую входят уравнения метода Бубнова-Галеркина, уравнения для невыполненных при выборе заданных функций начальных и конечных условий и одно уравнение, представляющее интегральное условие в виде зависимости ускорения точки подвеса троса от его заданного конечного перемещения. Предложенный подход для решения задачи финитного управления колебаниями системы с переменными параметрами является новым. На примерах системы с тросом постоянной и переменной длины выполнены расчеты с анализом сходимости и точности решений при двух различных наборах заданных функций и при различном их числе путем сравнения с численными решениями дифференциальных уравнений прямой задачи по методу Адамса при найденных законах управления.