Вариационная формулировка градиентной необратимой термодинамики

ВЕСТНИК ПНИПУ. МЕХАНИКА № 5, 2023PNRPU MECHANICS BULLETIN

Известно, что при решении в перемещениях вариационный принцип Лагранжа для обратимых процессов записывается в виде:

5L = 5( A - U), здесь L - лагранжиан, A - работа сил, заданных в объеме и на поверхности тела, а U - потенциальная энергия.

Достаточными условиями обратимых процессов являются формулы Грина, которые позволяют построить энергетически согласованные определяющие соотношения.

Наряду с обратимыми, рассмотрим и необратимые процессы. В этом случае линейная вариационная форма возможной работы внутренних силовых факторов не интегрируема, и, следовательно, множители при вариациях кинематических переменных в линейной форме 5 U V не выражаются через производные от некоторого потенциала (плотности потенциальной энергии). При этом они являются некоторыми непрерывными функциями кинематических переменных. Для необратимых процессов вариационный принцип предложен Л.И. Седовым и учениками [1-5]. Соответствующее вариационное уравнение для динамических процессов записывается в виде

5 I -5 W * = 0,                   (1)

где I = A V + K V - U V , A V - объёмная плотность работы внешних объёмных сил, K_V - объёмная плотность кинетической энергии, U_V - объёмная плотность потенциальной энергии деформации, 5 W * - линейная форма относительно вариаций кинематических переменных, которая учитывает необратимые процессы. Считаем в дальнейшем, что список кинематических переменных для диссипативной части линейной вариационной формы совпадает со списком кинематических переменных вариационной формы для обратимой части энергии (потенциальной энергии и кинетической энергии). В работах [5-10], пожалуй, впервые осуществлены попытки реализации метода линейных неинтегрируемых вариационных форм для моделирования диссипативных процессов деформирования. В настоящей работе этот подход развивается для процессов деформирования, рассматриваемых в рамках градиентных моделей общего вида, для связных термодинамических процессов, процессов теплопереноса. Делается попытка формализовать процедуру построения диссипативной вариационной формы в принципе Л.И. Седова [3].

Полагаем, что величины, входящие в выражение (1), получены интегрированием соответствующих объемных плотностей по объему тела V и по промежутку времени от момента 10, соответствующего начальной конфигурации до момента времени t1, соответствующего конечной конфигурации. Отметим, что величина 5 W* может содержать как интегралы по объему, так и по поверхности F , ограничивающей объём тела, занимаемого средой. В общем случае под интегралом по объему будем понимать интеграл t1

|[...]dV = ||[...]dVdt. Аналогичным образом определя-10 V ется интеграл по поверхности.

1. Определение каналов диссипации

При анализе общей структуры вариационной формы 5 W * можно использовать символьную форму записи, которая позволяет несколько упростить запись исследуемых выражений. Для этого введем мультииндексы для объемной и поверхностной частей линейной формы. Положим, что мультииндексы a , b и c пробегают значения от 1 до N (по числу тензорных кинематических переменных). Тогда вариационная форма запишется в следующем виде:

5 U = | P a 5 Q a dV ,                 (2)

где Q_a - тензорные кинематические переменные, P_a -силовые переменные, совершающие возможную работу на вариациях соответствующих кинематических переменных Q_a . Например, под величиной Q_a может пониматься тензор второго ранга & _ц и/или тензор третьего ранга e ij k . Верхняя черта в 5 U указывает, что соответствующая вариационная форма (2) может быть в общем случае неинтегрируемой.

Равенство (1) может быть обобщено, когда вариационная форма определяет вариацию объемной и поверхностной энергии (необратимой здесь):

5 U = | P a^V 5 Q a dV + | p: 5 Q a dF .          (3)

VF

Тогда Q_a и P aV , P_a ^F - тензорные обобщенные кинематические и силовые переменные, соответственно в объёме и на поверхности среды.

Время t при таком рассмотрении является параметром. Поэтому в список определяющих параметров Q_a в линейных формах (2), (3) следует включать и производные по времени от кинематических переменных различной тензорной размерности - обобщенные скорости. Например, тензор деформаций e ij и тензор скоростей деформаций e ij являются различными обобщенными переменными Q_a и Q b , Q_a * Q b a * b .

Диссипативные процессы будем моделировать с использованием вариационного подхода, привлекая достаточные условия неинтегрируемости возможной работы внутренних силовых факторов. Условия неинтегри-руемости формы (2) будут иметь вид:

аР ЯР -        -    -

3 P — -р- = 2 C ab ( Q c ),     C ba = — C ab •      (4)

∂ Q_b ∂ Q_a

Таким образом, для необратимых процессов параметры C_ab в определяющих соотношениях несимметричны по мультииндексам, в то время как для обратимых процессов аналогичные параметры C_ab (тензоры упругих модулей) являются, очевидно, симметричными при перестановке мультииндексов.

Например, рассмотрим форму 5 U V = с_у 5г_у + + ст _mn 5e mn и пусть она интегрируема, тогда 5L/_y = ст.58 .+ст 5s = (С- е 5е.+С е 5s )/2 =

V ij ij mn mn ijmn mn ij mnij ij mn

= 5 ( C ijmn e ij e mn )/2. С другой стороны, если имеется форма (e mn 5e j -e j 5e mn ), то для нее нельзя построить потенциал и, следовательно, такая форма является не-интегрируемой.

Равенства (4) можно переписать с учетом интегрируемых составляющих:

ЭР             -                     z х

= C ab ( Q c ) + C ab ( Q c ),               (5)

∂Qb где Cba = Cab - тензор упругих модулей для обратимых процессов.

Для обратимых процессов следует принять C_ab = 0 . Тогда равенства (5) переходят в необходимые условия интегрируемости линейной формы 5 U V . Учет величин C_ab * 0 приводит к неинтегрируемости линейной формы (2). Для физически линейных моделей соотношения (5) могут быть проинтегрированы в явной форме и использованы для формулировки линейной формы (2) для неголономных сред непосредственно:

P a = ( C ab + C ab ) Q b •                  (6)

Имея в виду определяющие соотношения (6), перепишем (2) в виде:

5 U = | P a 5 Q a dV = | ( C ab + C ab ) Q b 5 Q a dV =

= 5 | 2 C ab Q a Q b dV + | C ab ( Q b 5 Q a — Q a 5 Q b ) dV •

Сравнивая последнее равенство с вариационным уравнением Л.И. Седова для физически линейных него-лономных сред, получим общий вид слагаемых в основном вариационном равенстве:

I = | ( P^ R i — 2 C ab Q a Q b ) dV + | pRdF ,

• 5 W * = J C ab ( Q b 5 Q a - Q a 5 Q b ) dV -

• Вариационное уравнение Седова мы предлагаем записывать следующим образом:

• 5 L-SU = 0,     L = A + K - U ,     5 U = 5 W * - (7)

• 2.    Вариационная постановка

Здесь L - лагранжиан обратимой части, A - работа внешних объёмных и поверхностных сил, K - кинетическая энергия, U - потенциальная энергия, 5 U -сумма каналов диссипации диссипативной части, где под каналом диссипации будем понимать простейшую линейную неинтегрируемую вариационную форму вида ( Q b 5 Q a - Q a 5 Q b ) - Вариационный принцип (7) дает возможность по известной модели обратимого процесса (известному лагранжиану) строить диссипативные модели, добавляя необходимое количество каналов диссипации, аргументами которых являются сомножители билинейных слагаемых лагранжиана-

Таким образом, соотношения (6), (7) дают обобщенное вариационное описание линейных моделей сред с диссипацией и в целом определяют общий алгоритм построения диссипативных моделей сред-

Рассмотрим вариационную формулировку градиентной диссипативной теории упругости, для которой в соответствии с формулой (6) использованы линейные уравнения закона Гука в виде:

g = ( C + C ) R g _k = ( C / + C /) R /- (8) ij V ijmn ijmn/ m , n ijk \ ijkmnl ijkmnl/ m , nl v /

Теорема 1- Формулировка градиентной диссипативной теории упругости-

Для процессов необратимого деформирования физически линейных сред с кинематическими переменными R_mn , R_mnl возможная работа внутренних силовых факторов G j , G_ijk представляется в виде суммы вариации функционала, соответствующего обратимой части процесса деформирования (вариации энергии, включая кинетическую и потенциальную) и суммы неинтегри-руемых линейных вариационных форм, которые названы каналами диссипации и определяют процессы деформирования, связанные с диссипацией:

Доказательство - Используем (8) и перепишем выражение возможной работы силовых факторов (CT ij -5 R ij + g _ijk 5 R_ijk ) в виде следующей последовательности равенств:

• 5 U = J iG у 5R-,j + G j 5R, jk W =

J ^{[( C}ijmn ^{+ C}ijmn ) ^Rm , n ^{5 R}i , j ^{+ ( C}ijkmnl ^{+ C}ijkmnl ) R mn. 5 R i , jk ] dV =

J ^L ijmn V m , n i , j       i , j m , n ‘            ijkmnl \ m , nl i , jk

+ R i , jk 5 R m , nl )] dV + J [ C ijmn ( R m , n 5 Ry - R , j 5 R m , n )/2 +

• + C ijkmnl ( R m , nl 5 R ij — R i,jk 5 R mnl )] dV =

• = ⁵J ^ ^Cijmn^Rm , n^Ri,j + ^Cijkmnl^Rm , nl^Ri,jk ) ^dV +

+ J [ C ijmn ( R m,n 5 R i,j — R i,j 5 R m,n )/2 +

+ C ijkmnl ( R m , nl 5 R , jk — R , jk 5 R m , nl )] dV -           (9)

В результате последнее из соотношений (9) являет -ся доказательством теоремы 1-

Очевидно, что утверждение теоремы обобщается и на динамические процессы, обобщенные кинематические переменные которых являются тензорными объектами различного ранга и производными по времени от этих переменных- Тогда предлагаемый здесь вариационный принцип для описания диссипативных процессов в механике деформируемых сред имеет вид (7)- Очевидным является и обобщение на случай, когда диссипативные процессы определены не только в объеме, но и на поверхности тела (3)-

Теорема 2- О соответствии метода каналов диссипации в необратимой термодинамике и второго закона термодинамики-

Пусть процесс деформации полностью моделируется на основе вариационного равенства (7)- Тогда процесс деформирования всегда происходит с положительной диссипацией, т-е- функция диссипации всегда больше нуля 5 U >  0 - Выражение для каналов диссипации инвариантно по отношению к порядку слагаемых в ней-

Доказательство- Учитывая (7), запишем-

5 U = 5 ( A + K - U )-             (10)

Учтем, что для градиентной модели среды имеет место теорема Клапейрона ( U - K ) = A / 2 - Тогда равенство (10) запишется в виде

5 U = 5 ( A + K - U ) = 5 A /2 >  0-        (11)

Рассмотрим далее любой возможный канал диссипации, который для линейных сред представляется как некоторая постоянная (диссипативный модуль), умноженная на соответствующую неинтегрируемую форму обобщенных координат Qa и Qb - Правильный знак диссипативного модуля определяется на любой частной проблеме так, чтобы моделируемый процесс соответствовал второму закону термодинамики в форме (11)-Рассмотрим теперь две вариационные формы с разным порядком обобщенных производных- Пусть диссипативный модуль в вариационной форме J Cab (Qb5Qa - Qa5Qb)dV выбран так, что она положительна J Cab (Qb5Qa - Qa5Qb )dV > 0, что соответствует (11)- Наряду с этой формой рассмотрим иное, формально возможное написание вариационной формы вида ∫Cab(QaδQb -QbδQa)dV. Однако, если учесть, что тензор диссипативных модулей антисимметричен Cba = -Cab , то получим:

∫ C ab ( Q a δ Q b - Q b δ Q a ) dV =- ∫ C ab ( Q b δ Q a - Q a δ Q b ) dV = = ∫ C ba ( Q a δ Q b - Q b δ Q a ) dV = ∫ C cd ( Q d δ Q c - Q c δ Q d ) dV .

Теорема 2 доказана.

• 3.    Классическая необратимая модель теплообмена

Рассмотрим необратимые процессы теплопереноса, большой интерес к которым объясняется их большим прикладным значением. Актуальность проблемы теплообмена и интерес к ней связаны с известными попытками модифицировать классические уравнения теплопроводности для устранения противоречий классической параболической теплопроводности, а также с желанием модификации теории теплообмена для моделирования масштабных эффектов. С одной стороны, процессы те-плопереноса достаточно хорошо моделируются, благодаря использованию первопринципных подходов, методов молекулярной динамики. С другой стороны, для них хорошо развиты методы экспериментальной оценки процессов теплопереноса. Поэтому вполне объяснимо, что в последнее время имеется большой интерес к изучению связных термомеханических эффектов, переходных процессов, масштабных эффектов в проблеме теп-лопереноса в однородных и неоднородных средах, в том числе в средах с микроструктурой [11–13].

В работе диссипативную составляющую таких процессов предлагается моделировать, используя идею введения каналов диссипации. Покажем, что известные модификации законов теплопроводности и уравнения теплового баланса могут быть построены путем введения различных каналов диссипации. Обратимая часть модели определяется некоторым термическим потенциалом и его производными по пространственным и временной координатам. Диссипативную составляющую таких процессов предлагается моделировать, используя идею введения каналов диссипации, которая, как показано выше, достаточно хорошо формализуется. Покажем, что известные модификации законов теплопроводности и уравнения теплового баланса могут быть построены путем введения «канала диссипации Фурье», и, следовательно, для исследуемых процессов может быть построена соответствующая вариационная модель. Для этого постулируем существование термического потенциала R , для которого можно построить лагранжиан обратимой части процесса теплообмена в виде:

L=A+K-U=

A = ∫ P^VRdV + ∫ P^FRdF ,

VF

If • •

K =   τ RRdV ,

2V

U = ¹ ∫ k V R , i R , i dV .

2V

Для краткости при взятии по частям производных от вариаций не будем выписывать внеинтегральные члены, которые формируют граничные и начальные условия, а сосредоточимся исключительно на уравнениях теплообмена. Также для простоты будем полагать работу внешних сил равной нулю A = 0 .

Вариация лагранжиана (12) при A = 0 будет определять линейную вариационную форму, которая для обратимых процессов должна совпадать с работой внутренних «силовых факторов»:

• § L = J (t R i S R i - k V R , i S R i ) dV = J ( T S R i + q i S R i ) dV . (13)

VV

Покажем, что вариация функционала (13) позволяет для обратимых процессов определить температуру T и вектор теплового потока q_i через введенный потенциал. Действительно, по формулам Грина из (13) следуют определения соответствующих термодинамических «силовых» факторов:

T = ^{d (} K v - U v ) =t r , q = ^{d (} K v ^- U v ) =_ (14) ∂ R ⁱ ∂ R _{, i} ^{V , i}

При обратимых процессах уравнение теплового баланса, полученное из (13) взятием по частям слагаемых с вариациями производных, будет гиперболического типа, а не параболического, и будет определять волновые свойства тепла:

SL = J (-tR + kv AR )SRdV +.

V

..

= 0.

Чтобы получить классическое уравнение теплового баланса, необходимо дополнить (13) следующим каналом диссипации, который назовем каналом диссипации Фурье:

t

δ U ₄ = ¹ ∫∫ c_V ( R δ R - R δ R ) dVdt .        (15)

2_{0 V}

С учетом (13)–(15) предложенный обобщенный вариационный принцип имеет вид:

S L -S U 4 = J J ( k_v A R -T R - c_VI i ) S RdVdt + ... = 0. (16) 0 V

Вариационное равенство (16) позволяет получить следующие определения температуры и теплового потока для модели с каналом диссипации (15), а также записать линейные уравнения закона Гука для теплового потока и температуры:

d ( K v - U v ) d R ,i

^- k v^R , i ,

d ( K v — U v ) d R

+ c_vR = т R + c_vR .

Имея в виду второе уравнение (17), введем оператор температуры T = t ( R ), t (...) = c_v (...) + т(...) _t . Введение оператора представляется удобным для исключения потенциала R в физических соотношениях (17) и в разрешающих уравнениях. Действительно, действуя оператором температуры t (...) на определяющее соотношение для теплового потока q_i в (17), получим закон теплопроводности Максвелла – Каттанео [14–17]:

c ^+т q i =- k y T.              (18)

Из (18) следует, что при т = 0 закон теплопроводности вырождается в закон теплопроводности Фурье:

q MV              (19)

Будем называть уравнения совместности (18), (19) законами теплопроводности.

Действуя оператором температуры на разрешающее уравнение (16), получим уравнение теплового баланса для модели теплопроводности Максвелла – Каттанео, записанное относительно температуры:

k_v A T -т T - c_vT = 0.             (20)

Будем называть уравнения баланса тепла (20) уравнением термодинамики в процессах теплообмена.

Отметим, что формально канал диссипации (15) должен соответствовать билинейному слагаемому RR в функционале (12). Поэтому в общем случае функционал обратимой части должен содержать в объёмной плотности квадратичную форму аргументов R и R . Однако кинематическая переменная R относится к аргументам объёмной плотности потенциальной энергии, а кинематическая переменная R – к аргументам объёмной плотности кинетической энергии. Билинейное слагаемое этих аргументов формально нельзя отнести ни к плотности кинетической, ни к плотности потенциальной энергии:

K - U = —( a RR + 2 a RR -т RR ) — bRR ,. (21) VV ₂01       ₂ V , i , i

Билинейные слагаемые в плотности энергии и соответствующие каналы диссипации могут быть учтены или отброшены независимо друг от друга.

Модули обратимой части могут быть приняты равными нулю вне зависимости от наличия билинейного слагаемого, например, следует принять модуль а ₀ = 0

для полного соответствия с классической моделью термодинамики (см. (20)).

Уравнения закона Гука (17), оператор температуры t (...) = c_v (...) + т(...) t , уравнение теплопроводности (19) и уравнение теплового баланса (20) сохраняют свой прежний вид.

• 4.    Градиентная модель теплообмена (обратимый процесс)

Все каналы диссипации можно классифицировать по общему дифференциальному порядку аргументов канала диссипации. Действительно, для моделей термодинамики квадратичная форма плотности энергии может быть относительно первых производных по времени и координатам (классические модели), вторых производных по времени и координатам (градиентные модели) и так далее. Квадратичная форма, содержащая вторые производные, по определению принадлежит к градиентным теориям. Запишем общую структуру плотности энергии обратимой градиентной термодинамики:

Lv = Kv - Uv = ее           • • • •

= 2[ - а 0 RR + ( т - 2 а ₂) RR + а 6 RR - ( а ₈ - a ₉) A R A R +    (22)

•                               • •                                                                 • • •                         •                                       • •

+ 2 а 1 RR + 2 а ₂ RR + 2 а 3 R A R + 2 а 4 RR + 2 а 5 R A R + 2 а 1 1 R A R +

^{- ( k}v + ^{2 а} 3 ) ^R , i^R , i + ^{2 а} ю ^Ri^R , i + ^а 7 ^R ^R , i ^{- а} 9 ^Rij^R_{- У} ].

Будем рассматривать далее случай а ₀ = 0 и А = 0, А – работа «внешних сил». Приведем вариацию плотности энергии к виду возможной работы внутренних «силовых факторов»:

8(Kv - Uv) = T5It + QibR,i,(23)

t ₁

5L =5j J (Kv - Uv)dvdt = t0 V(24)

t1

= J J [( т R ^ - а 6 R - а 7 AT ? ) 5Г? + ( - k ^ R i + а 8 A R i ) 5 R i ] dvdt + ...

t 0 V

Сравнивая соотношение (24) с выражением возможной работы «внутренних силовых факторов» (23), получим определение вектора теплового потока q_i для обратимых процессов в градиентной термодинамике и одновременно определяющее соотношение для теплового потока:

₉i =- k v R , i + а 8 A R ,i .                  (25)

Аналогичным образом даётся определение и получается уравнение закона Гука для температуры T :

T = т J t - а 6 JR - а ₇ A R t .                (26)

После взятия по частям вариаций первых производных в (24) получим уравнение теплового баланса, записанное через термический потенциал:

т R - k_V A R - a 6 R - a 7 A R + a₈ AA R = 0. (27)

Дадим определение оператора температуры T = t ( R ) в обратимой градиентной термодинамике, используя определяющее соотношение для температуры:

t (...) = т (...) , t - a ₆(...) , ttt — a 7 A (...) _ t . (28)

Действуя на определяющее соотношение для теплового потока оператором температуры, получим закон теплопроводности для градиентной обратимой термодинамики:

т Q i - a Л - a 7 A q_t = - LT + a 8 A T - . (29)

Наконец, действуя на уравнение теплового баланса (27) оператором температуры (28), получим уравнение теплового баланса, записанное в терминах температуры для градиентной обратимой термодинамики:

т T - k_V A T - a 6 T - a ₇ A T + a ₈ AA T = 0. (30)

Таким образом, полная вариационная постановка градиентной обратимой проблемы теплообмена относительно термического потенциала R (27) и относительно температуры (30) определяется в соответствии с принципом Лагранжа с динамическим лагранжианом (22). В результате мы установили, что вариационный метод позволяет построить модели теплообмена высокого порядка.

• 5.    Градиентная модель теплообмена (диссипативный процесс)

Специфической чертой плотности энергии (22) является то, что сомножители слагаемых в квадратичной форме должны иметь дифференциальный порядок не выше двух. Действительно, в соответствии с (22) и (30) дифференциальный порядок уравнения баланса тепла должен быть четвертым. Как следствие, соответствующий спектр краевых задач должен сводиться к двум парам альтернативных граничных условий на поверхности тела и к двум парам альтернативных начальных (при t = t ₀) и конечных (при t = t 1 ) условий. Поэтому в формулировку граничных условий могут входить только вариация термического потенциала 5 R и вариация его нормальной к поверхности производной 5( R i n i ) . Аналогично в формулировку начальных и конечных условий могут входить только вариация термического потенциала 5 R и вариация первой производной по времени от термического потенциала 5 R .

Особенностью плотности энергии (22) является также то, что если общий дифференциальный порядок каждого слагаемого четный, то он дает вклад только в слагаемые уравнения теплового баланса с четными производными. Отсюда следует, что каналы диссипации должны строиться по сомножителям тех билинейных слагаемых, общий дифференциальный порядок которых должен быть нечетным. Таких каналов для градиентной термодинамики всего три, один из которых – канал Фурье (15) – определяет диссипативные свойства классической термодинамики. Два других в совокупности с каналом Фурье определяют диссипативную градиентную термодинамику. Запишем сразу все каналы:

5 U 1 = J b 1 ( R 5 R - R 5 R ) dV =- J 2 b 1 R 5 RdV + ...

VV

5U2 = J b2 (R5R - R5R)dV = -J

VV

U = J b ₃( R 5A R -A R 5 R ) dV =

V

2 b ₂ R 5 RdV + ...

= - J ( b 3 A R 5 R + b ₃ R , , 5 R i )dV + ... V

Вариационный принцип, построенный с использованием (24) и (31), приводит к вариационному уравнению:

5 L -5 U1 -5 U2 -5 U3 = t1

= J J {(2 b 1 R + т R + 2 b ₂ R + b₃ A R - a 6 R - a ₇ A R ) 5 R + (32)

t 0 V

+ ( - k_vR, + b 3 R i + a 8 A R i - ) 5 R i -} dVdt + ... = 0

Сравнивая соотношение (32) с выражением возможной работы «внутренних силовых факторов», получим определение вектора теплового потока q_i для диссипативных процессов в градиентной термодинамике и одновременно уравнение закона Гука для теплового потока:

q i =- k V R , i + b 3 r , i + a 8 A R , i .              (33)

Аналогичным образом даётся определение и получается уравнение закона Гука для температуры T :

T = 2 b.R + т R + 2 bR + b A R - a,R - a ₇A R .    (34)

После взятия по частям вариаций первых производных в (32) получим уравнение теплового баланса в терминах термического потенциала:

J J (2 bi R + тR - kV AR + 2 b2 R + 2 b3 AR - t0 V

- a 6 R - a ₇ A R + a 8 AA R ) 5 RdVdt + ... = 0.

Дадим определение оператора температуры T = t ( R ) в необратимой градиентной термодинамике, используя уравнение закона Гука для температуры:

t (...) = 2 b 1 (...) + т (...) _t + 2 b ₂(...) _tt + + ^b 3 ^{A (} ...) ^- a 6⁽ ...) , ttt ^- a 7 <..) , t .

По сравнению с (28), оператор температуры в градиентной необратимой термодинамике содержит три дополнительных слагаемых, содержащих модули диссипативных свойств b ₁; b ₂; b ₃.

Действуя на определяющее соотношение для теплового потока (33) оператором температуры (36), получим закон теплопроводности для градиентной диссипативной термодинамики:

2 b i q - ^т q i + 2 b ₂ q i + ^Ь з А q, - a 6 q - a 7 A q =

= - kvTf + bT + a A T.

V ,   3,   8,

Закон теплопроводности (37) является обобщением законов теплопроводности Джеффри и Гаера – Крум-хансля [18–20].

Действуя на уравнение теплового баланса (35) оператором температуры (36), получим уравнение теплового баланса для обобщенной градиентной диссипативной термодинамики:

2 bi T + т T + 2 b2 T — a 6 T — kv A T + + 2 bAT — a, AT + a„ AAT = 0.

Полная вариационная постановка градиентной необратимой термодинамики относительно термического потенциала R (35) и относительно температуры T (38) строится на основании предложенного обобщения вариационного принципа Л.И. Седова (7).