Вариационный метод для неклассических задач механики с ограничениями, основанный на конечно-элементных аппроксимациях и локальных вариациях

Статья посвящена решению неклассических вариационных задач механики, заключающихся в минимизации функционалов интегрального вида при ограничениях различного типа. В качестве ограничений рассматриваются различные условия, накладываемые на искомую функцию, доставляющую минимум оптимизируемому функционалу. Учитываемые ограничения включают различные зависимости искомой функции от пространственных координат. Предполагается, что минимизируемый функционал является интегральным и включает зависимость как от искомой функции и пространственных переменных, так и от ее частных производных по пространственным переменным. Предполагается, что включение определенных ограничений в виде неравенств, накладываемых на искомую функцию, отвечает контактным условиям, возникающим в задачах взаимодействия деформируемых тел и задачах контакта этих тел с жесткими препятствиями. Вид возникающих при этом условий характеризует рассматриваемую проблему минимизации функционала с локальными ограничениями, накладываемыми в отдельных точках области определения, как неклассическую задачу вариационного исчисления. Для решения рассматриваемой неклассической задачи вариационного исчисления применяется новый подход, основанный на конечно-элементных аппроксимациях (аппроксимациях Галеркинского типа) и процедурах локального варьирования. При этом исходная область определения минимизируемого функционала и искомой варьируемой функции декомпозируются на отдельные малые подобласти (ячейки области), заполняющие исходную область. Искомая функция задается в узлах разбиения и аппроксимируется в области с применением используемых функций формы. При этом предполагается, что базисные функции формы принадлежат пространству Соболева дифференцируемых с квадратом функций, а базисная система функций является полиномиальной и имеет малую область определения. Ограничения задачи трансформируются в рамках введенных конечно-элементных аппроксимаций. Аддитивный функционал задачи приближенно заменяется интегралами по ячейкам, полностью принадлежащим исходной области. Далее рассматриваемая задача формулируется как задача отыскания узловых значений, удовлетворяющих возникающим неклассическим двухсторонним ограничениям и доставляющих минимум оптимизируемому функционалу. Решение вариационной задачи строится методом последовательных приближений. После выбора начального приближения, удовлетворяющего ограничениям, каждая из итераций выполняет последовательно локальное варьирование искомого решения для всех узлов и осуществляет минимизацию оптимизируемого функционала. При этом на каждом шаге не нарушаются геометрические (контактные) ограничения и осуществляется уменьшение интегральной суммы по ячейкам из окрестности варьируемой точки. После завершения процесса локального варьирования по всем ячейкам и построения обновленного варианта решения процесс повторяется до достижения полной сходимости, при этом постепенно происходит уменьшение шага варьирования и необходимое измельчение конечно-элементной сетки. Таким образом, осуществляется решение рассматриваемой задачи оптимизации. В качестве примера приведено применение предложенного метода к задаче кручения упругопластического стержня. Решение данной вариационной задачи механики численно получено для различных поперечных сечений стержня при различных углах его закрутки на основе предлагаемого подхода. Приводятся полученные и согласующиеся с экспериментальными данными зоны распространения областей пластичности.