Вариационный принцип экстремума для электрических линий и плоскостей

Оглавление

• 1.    Уравнения непрерывной электрической линии

• 2.    Уравнения дискретной электрической линии

• 3.    Функционал для непрерывной электрической линии

• 4.    Функционал для непрерывной электрической плоскости

1.    Уравнения непрерывной электрической линии

Как известно непрерывная электрическая линия (длинная линия) характеризуется следующими параметрами:

L, C, R, G - индуктивногсть, емкость, сопротивление и проводимость элемента длины линии, i - ток вдоль элемента длины линии, u - напряжение на элемента длины линии, t - время,

z - координата линии. Здесь и далее штрихами обозначаются производные Как известно, эти параметры связаны соотношениями a i          а u — Gu + C , a z          a t a u         a i — Ri + L — . d z           d t

по времени. (1) (2)

Из (1) следует ди   1 д2 i ди

— =--с— дz  G         дz

[дz          7

Наконец, совмещая (2, 3), находим:

1 Гд!1 G [дz2

-

с — = Ri + Li' . д z ^

Таким образом, электрическая линия описывается уравнениями (1, 4), которые следуют из (1, 2).

2.    Уравнения дискретной электрической линии

Будем называть электрическую линию, составленную из конечных элементов (в отличие от элементов, величина которых отнесена к элементу длины линии), дискретной электрической линией -см. также рис. 1, где

L, R - индуктивность и сопротивление элемента длины линии, m, c, r, e - индуктивногсть, емкость, сопротивление и напряжение, включенные последовательно между элементом длины линии и нулевым потенциалом —

“вертикальный” элемент линии ,

/ Р

- проводимость между элементом длины линии и нулевым потенциалом, q1 - ток вдоль элемента длины линии, q2 - ток вертикального элемента линии.

Для описания дискретной электрической линии будем использовать теорию, изложенную в [1]. В соответствии с этим электрическая цепь дискретной электрической линии может быть представлена безусловной электрической цепью [1, п. 9], состоящей из ветвей – элементов длины с параметрами L , R и «вертикальных»

ветвей с параметрами m , S = 1/ c , r , e . Сопротивления p

включены, как и в [1, п. 9], между узлами этой цепи и нулевым потенциал q1,1 ... q1,k qi = q1, k+1 ... q1,n м. Рассмотрим n-мерные векторы q2,1 ... q2,k                        q1 , q2 =         и вектор q = q 2, k+1                      q 2 ... q2,n . Тогда параметры электрической цепи могут быть представлены в соответствии с [1,

(53)] следующим образом:
- S =	0 S	,                                                                           (1)
M = R d = R = (	L 0 ,                                                                         (2) 0 m R 0 ,                                                                         (3) 0 r R d + p- N T N ) ,                                           (4)
E = S = d	,                                                                                 (5) iag ( S 1 ... S k ... S n ) ,            L = diag ( L 1 ... L k ... L n ) ,
m = c	1 iag ( m 1 ... m k ... m n ) ,          R = diag ( R 1 ... R k ... R n ) ,
r = d	iag ( r	1 ... r k ... r n ) ,                 e      { e 1 ... e k ... e n } •

Первый закон Кирхгофа имеет вид:

qV, k - q ‘ , k + 1 - 4 2,k = 0 •                                                (6)

Поэтому матрица инциденций имеет вид:

N = N 2 - D\,                                          (7)

где

D 1 - квадратная n*n диагональная единичная матрица, N 2 - ленточная квадратная n*n матрица вида

	1	- 1	0	0 ..	.0
	0	1	- 1	0 ..	.0
N 2 =	0	0	1	- 1 .	.0
	... 0	... 0	... 0	..... 0 ..	.... .1

При этом следующее произведение является квадратной клеточной матрицей

N T N =

N 1

— N T

^{- N} 2

D 1

где N 1 - ленточная квадратная n*n матрица вида

- 1

2 - 1

- 1

N 1 =

- 1

- 1

- 1

- 1

- 1

Из (4) и (7) следует

( R + р- N 1 ) ^{( -} р- N 2 ) ( — Р-N 2 ) ( r + Р-D 1 )

Рассмотрим теорему 1 в [1] и функционал [1, (60.1)]. В данном случае этот функционал принимает вид

T q T Sq 2 ^- q'Tmq 2 + q T Rq' f ( q ) = ^

0 [- q 1 T Lq ’- E T q 2

> dt ,

или, с учетом (11),

T

TTT q2 Sq2- q2 mq2- q1 Lqi

F ⁽ q ) = N + q T Rq ’ + q T rq 2 + p q T ^N 1 q ‘ ^ dt ,

-

T   TT

² p q 2 ^N 2 q ‘ + p q 2 q 2- E q 2

Градиент [1, (60.1)] в данном случае принимает вид p =

p ₁

p ₂

, где

p1 = Lqy + Rq1 + PN1 qy - PN2 q 2

p 2 = p(- N2ql+ q 2 )+ Sq 2 + mq 2+ rq 2 - E

Обозначим символами q | _U , q y ^ векторы, смещенные по линии

вправо и влево соответственно относительно вектора q 1
	q 1,1		0		q 1,2
	q 1,2		q 1,2		q 1,3
если q y =	q 1,3 ...	, to q y u =	q 1,3 q 1,4	, q y ^	q 1,4 ...	.
	q y, n - y		...		q 1, n - 1
	q 1, n		q y, n - у		0

Рассматривая матрицы N ₁ и N ₂ , замечаем,что

N1 qy = (2qy - qy^ - qy^ ),

N2qy=(qy - qyu),

N 2 q 2 = ( q 2- q 2u) •

3.    Функционал для непрерывной электрической линии

Переходя от элементов дискретной электрической линии вновь к дифференциалам длины линии можно вектор-функцию q , где qk = qk (t),

каждая компонента является функцией времени рассматривать как функцию координаты линии z и времени t , т.е. q = q (z, t) • Тогда

⁽ 2 q' ^- q U ^- q ^ ) =

d ² q '( z, t ) d z ²

L-_q- L_ 5q'(z,t) q q U = оz и, учитывая (2.16-2.18), получаем

N y • q y =

8 ² q y ⁽ z , t ) d z ²

N 2 • q 2

8 q 2 ^{( z} , t ) 5 z

т _ a q ‘ ( z , t )

N 2 • ql =---.

d z

При этом

_ т D ,     d2 q‘

• pl = Lq1 + Rql -p—у + p ., dz 2

Г dqi

• ^p 2 = P\^-    + ^q 2 l ^{+ Sq} 2 + ^mq 1+ ^rq - E E -

• V dz

Обозначим u = Sq 2 , i = q ‘ . Тогда из (4,

• 5)    при

m = 0, r = 0, E = 0, pi = 0, p2 = 0     следуют (1.4, соответственно. Далее имеем:

q \^N 1 q i = f q i ^-qy ^dz , q T N 2 ^q i = f q 2 ^ q ¹ dz •

2                   J    dz zz                   z

При этом (2.13) принимает вид:

1.1)

T

F ^{( q} ) I

( 1 I

z

S ^q 2 — mq 2 - L ^{q i} Lq‘

2 ^d q_t

+ Rq q ‘ + qq 2 + pq_x --y a z z^

> dz

> dt ,

^{- 2} p q T - ту ⁺ p q 2 ^q 2 ^{- E} q 2

l         оz

Таким образом, аналогично теореме 1 в [1], для электрической линии имеет место

Теорема 1 . Движение в функционале (6) по направлению ([1],

(60)), где градиент p =

p ₁

p ₂

определен

по (4, 5), заканчивается

стационарным значением функции q =

q ₁

q ₂

стационарного значения имеет вид (4, 5), где

, а уравнение этого

Pl = 0

P 2 = ⁰

•

Таким образом, электрическая линия может быть расчитана по алгоритму 1 из [1]. При этом электрическая линия может быть неоднородной и к любым точкам этой линии могут быть подключены комплексные нагрузки и\или источники напряжения.

4.    Функционал для непрерывной электрической плоскости

Уравнения непрерывной электрической линии с координатой z естественным образом обобщаются на электрическую плоскость с координатами z, y. Можно показать, что для электрической плоскости градиент представляется уравнениями вида

52c2

q’⁸q 2     ⁸ q x._n⁸ q- 2

Р1 - q i+ ⁺ ' wi“ p —5- ⁺ P~--P —5- ⁺ P ^",

Qz2     8z     Sv28

Р 2 = P

^^^^^*                  ^^^^^*

- ~q —q -+ q 2 + Sq 2 + mq 2 + rq 2 ^- E ,

^ оz   оy а функционал принимает вид

Sq 2 - mq 22 - Lq ’ ² Lq' x

⁺ Rq 1 q' x ⁺rq ₂ q ' 2

C

^F ( ^q ) /

^

j

z

^

y

^{8 2} q x ^{8 2} q x 1

t a z ² a y ² J

2 p q i      ^

⁺ p q 1

^^^^™

> dy

d!z

• dt .

_⁺ p q ₂ q 2 ^{- E} q 2

Таким образом, и электрическая плоскость может быть расчитана по алгоритму 1 из [1]. При этом электрическая плоскость может быть неоднородной и к любым точкам этой плоскости могут быть подключены комплексные нагрузки и\или источники напряжения.