Векторные характеристики деформированного состояния упругого тела

В классической теории упругости и несвязанной теории термоупругости [1,2,3] ( главным образом, для трех типов краевых задач, когда на граничной поверхности заданы: 1) вектор напряжения, 2) нормальная проекция вектора напряжения и касательная составляющая вектора перемещения, 3) нормальная — вектора перемещения и касательная — вектора напряжения ) представляется полезным применение, введенных в [4], векторных характеристик деформированного состояния.

В регулярной трехмерной односвязной области D евклидова пространства, занятой однородным изотропным упругим телом в естественном состоянии при постоянной температуре, рассматриваем двустороннюю ориентированную поверхность, содержащую внутри или на границе D регулярный кусок Е с непрерывно дифференцируемым единичным вектором п нормали. Оставаясь в рамках допущений линейной теории упругости при малых перемещениях и градиентах, введем в рассмотрение в качестве характеристик изменения поверхности векторы fⁿ⁾ и у следующим образом:

у^(й) = и0 + со xn-u^w ,6 = V-«,ro = - Vxn,                           (I)

у = lim ——-{у^(й)сЕ . и^ = lim Auxdl .

v(O)->0 v(Q)J       ’          s(2)->o Slfy '

Здесь замкнутый кусочно-гладкий контур 7 с X в области непрерывной дифференцируемости вектора перемещения и предполагается сводимым непрерывным преобразованием в точку х е X. Положительное направление dl, векторного элемента касательной к /, согласовано сив системе правой ориентации. Символ 5(E)-> 0 означает предел последовательности подобных, с одной общей точкой X, подмножеств "L_k a Х.Х^] с X_t при к —>оо, так что площадь поверхности 5(X_t)—>0. Трехмерная односвязная область QczZ), ограниченная замкнутой поверхностью X, сводима непрерывным преобразованием в точку х е D . Символ v(Q) --> 0 означает предел последовательности с одной общей точкой л- подмножеств П_к a Q, Q_t+] с О._к при к —>ос, так что объем v(Q) -> 0 . Можно показать, что поверхностный вектор u^w выражает локальное изменение поверхности. Для этого запишем X в малой окрестности обыкновенной точки хе X в виде

Векторные характеристики деформируемого состояния упругого тела

S = ^dxxdl.

Выражая этот кусок материальной поверхности в деформированном состоянии через вектор перемещения и, переходя к пределу, получим u^w .

Вектор у(п)- локальная характеристика искажения поверхности, у — характеристика искажения всей поверхности частицы.

Утверждение!. Векторные поля у(х),ю(х) и скалярное поле 9(х) связаны инвариантным соотношением у - V9 + V х и = 0 .                            (2)

Доказательство основано на условии равенства нулю вектор-площади замкнутой поверхности в евклидовом пространстве, а также проверяется непосредственным вычислением.

Следствие. Вектор у связан с полями и, 9 и с полями и, о соотношениями

2y = V2w + V9, y = V2zz + Vxo),

V2® = V х у, V29 = V ■ у .                               (3)

По трем некомпланарным векторам у(л) однозначно восстанавливается тензор деформации.

Введем векторы е™ , т- 1,2,3 , выраженные через у^-¹, при фиксированном т , в виде „пт _ ™ „т ^ь 5 У ,5   — л • л .

В разложении по естественному х,, / = 1,2,3 и взаимному х' базисам произвольной системы координат в D получим соотношения з                г м-1

Тривектор е' , z = 1,2,3 представляет тензор деформации

Ух,Х_; = Е_ух'х^; , Е_у = -(и ,Х + М _;Х,) следующим образом:

е'² = е‘ ■ x^J -г^} -х', г' = e'Cc. .

Вектор у выражается через тривектор деформации z^K , к - 1,2,3 в виде

Y =    Mg Мк> 4 g = (х, х₂ х₃).

Таким образом, вектор у равен дивергенции тензора деформации.

В изохорических процессах деформирования у - соленоидальный вектор, в безвихревых процессах у - потенциальный вектор.

Замечание. Полученные соотношения относятся к кинематике любой среды при малых значениях векторов перемещения и поворота и тензора деформации.

Следующие свойства связаны со спецификой теории упругости.

Закон Гука представляется в виде линейной связи вектора напряжения р'"', в точке поверхности с единичной нормалью п, с поверхностным вектором искажения у'"' и объемным расширением:

р*'"'¹ = Хби + Зру^ - РЗ», где лиц — параметры Ламе.

При использовании тривектора деформации s' , / =1,2,3 получаем векторный эквивалент тензорной формы закона Гука, связывающий основные контравариантные векторы напряжения s' с соответствующими векторами деформации s', s' = X0x' + 2us' - рЗх¹.

Уравнения теории упругости и несвязанной термоупругости преобразуем к виду, удобному для одновременного анализа сжимаемого и механически несжимаемого к~^х = 0 материала,

(1 + 2%)Vo - V х о + / + 2аV9 = 0,х = 2 ^^

V и -3(ха + аЗ) = 0.V хи -2а = 0,х > 0.                     (4)

Здесь ст и f - среднее гидростатическое напряжение и вектор объемных сил, отнесенные к модулю сдвига 2ц, 9 - температура, отсчитываемая от постоянной температуры естественного состояния, а - коэффициент линейного теплового расширения.

Утверждение 2. В статике классической теории упругости и несвязанной термоупругости для любого х * 1 среднее гидростатическое напряжение, относительное объемное расширение и вектор поворота выражаются через один вектор у. В случае х =1 вектор у определяется внешними полями /и 9 в явном виде.

Действительно, соотношение (2) и уравнения (4) образуют систему векторных уравнений. Решая эту систему, получаем искомое представление

Va = -(1 - X)1 (V +/ ~aVS),V0 = -3(1 - хГЧхг + Х^ - aV9),

V х a =-(1 - х)Ч(0 + 2х)у + Зх/- 3aV9), х * L y = aV9-/, х = 1-

Следствие. В потенциальном поле объемных сил поле вектора у потенциально.

Действительно, известным следствием (4) является уравнение

V2cr = -(1 + 2xf' (V ■ / + 2aV29).

Отсюда и из (5) при / = Vy/^ имеем у = Уху, у/ = -(1 - х)о - у/ f + aS + const.