Верхняя оценка вероятности нахождения гильбертовой случайной функции в заданной области

Пусть Р ( В ) обозначает совокупность мер µ, определенных на борелевской о - алгебре ^ ( B ) сепарабельного вещественного банахова пространства В и удовлетворяющих условию µ(В) = 1.

Определение . Случайный элемент Е е В называется нормально распределенным, если для любого ƒ линейного непрерывного функционала случайная величина f( Е ) имеет нормальное распределение в множестве действительных чисел R ₁. Поэтому функция плотности вероятности для f( Е ) имеет вид

2πσ

x -( t - a )

J е 2°² dt ,

-to где a=Mf(Е); c2=Df(Е).

Рассмотрим частный случай, когда В = Н – гильбертово пространство. Пусть норма || Е 1|. Тогда || Е || — действительная случайная величина из R ₁.

Если Е имеет нормальное распределение и МЕ = 0, то характеристическая функция имеет вид

ф( t ) = Me t '^Е =-------------,

П к=1

где X _к - собственные числа ковариации [1].

Пусть случайный элемент Е е Н . Тогда распределение можно задать в виде P (|| Е|| <  r ) , где r >  0.

Вопрос нахождения вероятностей такого вида является предметом изучения многих исследователей [2–5].

Приведем оценку из работы [2], которая является асимптотической, когда r ^ 0.

Пусть в измеримом гильбертовом пространстве Н задан гауссовский случайный элемент Е с нулевым средним и корреляционным оператором R . Тогда, если r ^ 0, то

P (| У|²<  r ) -

Г Y expГ-J Sp (R [ Ru (R) - R y (R)]) duV

I 0 _____________________________________________J

2 y n Sp [ RR ( B ) ] ²

где y = y ( r ) удовлетворяет уравнению: r = SpBR _y ( B ); SpA - след оператора.

Оператор R определяется по формуле R _y ( B ) = ( I+ 2 y B )^-1, I – тождественный оператор.

Как видно из формулы, чтобы вычислить вероятность p (|| Е ||²<  r ), прежде необходимо вычислить операторы R _y и R_u , а также след указанных операторов, что само по себе проблематично.

Одной из последних оценок является оценка Л. В. Розовского [4].

В работе [5] предложен другой подход к оценке вероятностей Р (|| Е ||< r ).

В результате вычислений получено следующее:

- ¹ S ln ( 1+(2 1 X _к )² )

to O ⁴ к = 1

P(M < r)=-J—"t—x n 0 t x cos где Xк - собственные числа ковариационного оператора R случайного элемента Е.

Следствием указанной зависимости является оценка вида

2п r2

P (”Е||

где X = max X..

к >1 ^k

Уточним данную оценку путем увеличения числа параметров.

Формулировка результата. Теорема. Пусть X1 - максимальное собственное значение ковариационного оператора R, X2 < X1. Тогда вероятность попадания гауссовского случайного элемента Е из гильбертова пространства в шар ограничена сверху:

6π

P (IИ < r )^ v J;^{2 π}0^t

(1 + (21X1 )2 ).(1 + (21X 2 )2)

x

tr² x sin—dt.

Доказательство результата. Рассмотрим вероятность p (r) = p (IIЕ11< r), которая задана формулой (1). Зафиксируем X = max X_k, X₂< X , тогда

1        к >1 k 21

-1 j^ ln(1+(21Xt )2)

e k=1        =”—

П 41 + ((21X к )²)

к=1 1 < ,=.

^/(1 + ((21 X1)²)(1 + ((21X2)²)

Так как tr2 +J arctg21X к + 2п к cos(-----к=1---------------) - по модулю не превос- ходит единицы, в итоге получаем, что

Математика, механика, информатика

P (r) < ² J /           1

ⁿ0t41 (1 + (2tX,)²)-(1 + (2tX)²)

tr²

x sin — dt.

Выражение интеграла (2) существенно проще, чем выражение (1). Получить точное численное значение интеграла (2) можно. Поэтому рассмотрим подынтегральную функцию:

t - 41 (1 + (2tX, )²)-(1 + (2tX 2 )²)

tr²

- sin—.

При t = 0 функция имеет разрыв, но существует

1                          tr²r²

lim —,                     - sin — = —, t    1^ (1 + (21X, )2 )-(1 + (2tX2 )2)       2     2

2πk значит функция ограничена. В точках tk = —2— функция r2

пересекает ось Ох. График функции – синусоида, но из-за 1

множителей ¹ и ^(l+^EtXI^^J-^l+^EtX^)²^ при t ^ синусоида будет угасать. Ограничимся случаем k = 3.

Поэтому

6п

Теорема доказана.

Для различных значений радиуса r собственных значений λ₁, λ₂ интеграл (3) был вычислен с помощью системы компьютерной алгебры Maple, построены таблицы.