Вероятностная оценка меры неопределенности при выборе объекта в условиях конкуренции

В статье рассмотрен вопрос оценки меры неопределенности при выборе объекта из множества конкурирующих, при следующих особенностях: объект – сложная система обработки информации и управления; критерий качества – векторный, требующий либо натурных испытаний, либо имитационного моделирования с применением процедур Парето -оптимизации; в условиях неоднозначности и неопределенности учитывается реакция экспертов. Данные процедуры с учетом реакции экспертов образуют контур автоматизированного принятия решений.

В настоящее время все более актуальной становится проблема выбора объекта из множества конкурирующих: выбор управляющего алгоритма, выбор технического решения или устройства, государственные закупки и.т.д. В последнее время для решения данных вопросов привлекаются эксперты. Для математической обработки результатов экспертных заключений, в частности, можно использовать коэффициент конкордации [1,с.42].

Экспертам ( m человек) предлагается анкета с описанием объектов. Заполняя анкету j –й (j=1,2,…,m) специалист назначает i-му (i=1,2,…,к) объекту ранг a ij . Если j –й эксперт не может указать порядок следования для t j рядом стоящих объектов, начиная с l -го, то объектам приписывается один и тот же ранг:

l +

t

j

-

Если эксперт не может разграничить Q групп членов ряда, содержащих каждая tjq (q = 1,2,…,Q) объектов, и группы начинаются соответственно с  l1,l2, ..., lQ - го члена ряда, всем jq членам q – й группы приписывается ранг

lq +

t jq

—1

Далее подсчитываются:

• 1.    Сумма рангов     ∑aⁱj ;

• 2.    Разность между суммой и средней суммой рангов

3.    A = ^Л 2;

• 4.    Коэффициент конкордации

  W=

  
  

  12 A . m²k ( k²— 1) ’

  
  

j

A. = 7 a. — a ; i Z—i jj ср ;

j

i

Если W = 0 – отсутствует согласия во мнениях экспертов по выбору объекта, W=1 – полное согласие опрошенных. Величина

m(k 1)W имеет

Xx

- распределение с числом степеней

свободы к – 1 . Тогда значимость коэффициента проверяем по критерию χ . Подсчитываем расчетное

%}

12 A mk (k +1)

Сравниваем расчетное значение с табличным  χТАБЛ  при заданном уровне значимости α    и числе степеней свободы k-1. Гипотеза о наличии согласия не отвергается если Xp - ХтАБЛ •. Если коэффициент конкордации незначим, то это означает отсутствия согласия во мнениях о выборе объекта. Это может случиться, когда недостаточно информации.

Дополнительная информация может быть представлена кортежем показателей эффективности каждого объекта. Одни показатели из кортежа могут быть подсчитаны достаточно просто, другие – требуют имитационного моделирования с привлечением процедур векторной оптимизации. Данные процедуры и эксперты образуют, своего рода, контур автоматизированного принятия решения, где экспертам дается подсказка или рекомендация: принять объект (группу объектов) или отвергнуть.

Предлагая экспертам, последовательно, значения показателей из данного кортежа приведет, видимо, к переоценке рангов и процедура расчета коэффициента конкордации повторяется в цикле.

Можно предположить, что наличие в процедурах на каждом шаге реакции экспертов, изменяет вероятность принятия правильных решений, т.е. уменьшает или увеличивает степень неопределенности. За меру неопределенности можно взять энтропию опыта [2,с.38].

Пусть m -множество конкурирующих алгоритмов работы объекта или множество объектов. Если нет информации относительно объектов, то выбор равновероятен 1/m.

Опыт О 1 : выбор объекта, у экспертов нет предварительной информации.

Энтропия опыта

-1    1    1     1       11

(m -слагаемых).

Н (О 1) = —lg---lg —...--lg — = lg m m mmm mm

Опыт О 2 : получена информация для экспертов, отобраны m 1 из множества

• m. Исходы опыта О 2 : О 2 - коэффициент W значим; О 2  - коэффициент

W незначим. Вероятности исходов

Р (О 2 )= m i /m , Р(О 2 )=(m- m 1 )/m. Энтропия опыта m m  m-mm

Н (О 2 )=--Llg — -     Mg mm  mm

Далее эксперты отбрасывают m ₂ из m (пусть m ₂ ^ m i ).

• (1)(2)

Опыт О 3 : исходы О 3 - коэффициент W значим; О 3 - коэффициент W незначим. Условные вероятности

(1)      (1)

Р(О з / О 2 )

m - 1

m - m - 1 ^;

(2)      (1)

Р(О 3 / О 2

m - m - m

)=--------1-----.

m - m - 1

;

(1)      (2)

р(о 3 / о 2) )

Н(О 3 / О 2 )

m        (2)        m - m - m

--------; Р(Оз / О () )=------1----- . m-m      3    2     m-m m1 - 1      m1 - 1    m -m -m m - m2 -1 lg m - m2 -1 m - m2 -1

Тогда m-m -m lg   12;

m - m - 1

н(о з / о 2 )

mm lg m-m m-m

m-m -m m-m

lg

m-m -m m-m

(1)                 (1)            (2)

Н(О 3 / О 2 ) = Р(О 2 ) Н(О 3 / О 2 ) + Р(О 2 ) Н(О 3 / О 2

m ₁     m ₁ ^- 1      m ₁ ^- 1     m - m - m m - m - m

— Г----------; lg---------; -      1    2 lg      1

m m - m - 1 m - m - 1 m - m - 1 m - m - 1

m - m

m

[-

m

m - m

lg

m

-

m - m - m

m - m

m - m

lg

m - m - m

m - m

].

Пусть m =10, m 1 = m 2 =2. Тогда Н(О 1 )=1-полная неопределенность, Н(О 2

)=0,1768, Н(О 3 / О 2 ) =0,1274.

Как видно из примера, включение экспертов в контур автоматизированного принятия решений, уменьшает энтропию или степень неопределенности. В дальнейшем представляет интерес увеличения числа опытов до четырех или пяти, и проанализировать энтропию для различных исходных данных.