Вещественные n-поверхности в пространствах R (e)

Бесплатный доступ

Статья посвящена вещественным поверхностям в пространствах над алгеброй двойных чисел.

Пространства над алгебрами, поверхности, отображения, сети

Короткий адрес: https://sciup.org/148179790

IDR: 148179790

Текст научной статьи Вещественные n-поверхности в пространствах R (e)

Вещественные п-поверхности Vˆn пространства Rn (e) изображаются в пространстве Rе2n n-поверхностями. Репер R = {X, Ji, Jn+i}, где X - точка поверхности Vn, a Ji, Jn+i - векторы, определяемые соотношениями (1), является каноническим репером поверхности Vn пространства Rе2n. Формы имеют вид:

an + j —   + j ak   nn + j _ / "+ j

vi       uik v , uik uki .

Так как репер R - канонический, то функции ф', bn+j образуют полную систему инвариантов поверхности Vn биевклидова пространства гиперболического типа Rе2n и определяют ее с точностью до движений пространства Rе2n и, следовательно, вещественную поверхность Vˆn пространства Rn (e) с точностью до движений этого пространства. При проектировании поверхности Vn на главные плоскости Rn и Rn получим области Q+ и Q_.

Пусть V n - поверхность постоянных стационарных углов, т.е. ф ш = const . Тогда i = -0 n + ' = 0 , из (1) следует b n+' = 0 . Если сеть Е n является геодезической, то имеем b n+' sin j + b in+' sin { = 0 . Отсюда вытекает, что b in+' = 0, ( ' ^ j ) . Но так как b in+i = 0, то векторы нормальной кривизны линий 0 ' сети Е n равны нулю, т.е. b ii = 0 . Обратно, если у линий 0 ' сети Е n векторы нормальной кривизны равны нулю, то b ii = 0 , т.е. b in+ j = 0 . Тогда следует а'{ = 0 , т.е. векторы относительной кривизны <2 ii линий 0 ' сети Е n равны нулю и поэтому сеть является геодезической. Отсюда следует

Теорема 1 Сеть Е n поверхности V n постоянных стационарных углов биевклидова пространства гиперболического типа 2n является геодезической тогда и только тогда, когда векторы нормальной кривизны линий сети Е n равны нулю.

Пусть V n - поверхность равного наклона. Тогда отображение T является конформным и в силу обобщенной теоремы Лиувилля [38] поверхность является при n>2 алгебраической.

Теорема 4.2 . Минимальная поверхность Vn равного наклона в биевклидовом пространстве гиперболического типа 2n является плоскостью.

Доказательство . Пусть поверхность Vn равного наклона является минимальной. Тогда вектор М             средней кривизны равен      нулю,      т.е.

М = 1У — = 1У (b^ + b £ + - + b"^ i) J „+i = 0.          Отсюда          следует ni ni n+i      n+i              n + i                                 n+i       n+k       n + j       n+k                n+k       n+k bw + b 22 + •"+ bnn = 0. Получим bik = bii = Ь/ = Ь. , т.е. bu = b. . Тогда следует bii+k = 0, следовательно, bik+i = 0. Но из (2.32) b”.+i = -b„+j. Поэтому by+j = 0. Получим, что все компоненты асимптотических форм равны нулю, т.е. минимальная поверхность Vn равного наклона является при n>2 плоскостью.

При ф = % поверхность равного наклона является антиголоморфной, а конформное отображение Т является изометрией, так как коэффициент k = tgф = 1 , т.е. антиголоморфная поверхность Vn является плоскостью.

Рассмотрим случай n=3, т.е. поверхность V3 в пространстве Rе6. Пусть поверхность равного наклона. Тогда следует: 456 4  4456  55

и 11   ^12   ^13     ^22     ^33,  ^12   ^22   ^23     И1^33

456 66456

и 13   ^23   ^33     ^11     ^22,  ^23   И3   ^12

Отнесем поверхность   V3   равного наклона к сети линий кривизны относительно вектора J4. Так как всегда имеет место b23 • J4 = 0, то должны выполняться условия —  —      —  —                      44      —       —  — —— b12 • J4 = 0,    b13 • J4=0.   Отсюда   следует   b12 = b13=0,    b23 = 0,   b12 II J5,b13 II направления J2 и J3 сопряжены. Тогда векторы нормальной кривизны линий сети Е3:

—•       —*       —*        —*         —*        —*               —*        —*

bX1 II b22 II b33 II J4 и bxx + b22 = 0, bX1 + b33 = 0. Уравнение присоединенной поверхности в точке Х поверхности V3 равного наклона имеет вид

( b^y 41)• (( b4y 4 +1)• ( b4y 4 -1) + ( b4y 6) 2 + ( b4y 5) 2 ) = 0 или          b4y 4 +1 = 0,

( y 4) 2 + ( y 5) 2 + ( y 6) 2 = 1 , т.е. присоединенная поверхность представляет собой сферу с центром в точке Х и радиуса 1 плоскость П , касательную к сфере в точке b 141

43   53   45

θ 3 = - θ 1 tgϕ 1 , θ 3 = - θ 2 tgϕ 2 , θ 1 = - 1 , θ 2 = - 2 ,

θ 64 =- θ 16 ctgϕ 1 , θ 56 =- θ 26 tgϕ 1 , θ 36 =0,

2   θ 1 5 sin 2 ϕ 2 + θ 2 4 sin 2 ϕ 1    5   θ 1 5 sin 2 ϕ 1 + θ 2 4 sin 2 ϕ 2

, 4

2(cos 2 ϕ 1 -cos 2 ϕ 2 )         2(cos 2 ϕ 1 - cos 2 ϕ 2 )

θ=

6     6     6               —   —         —   —         ——

Отсюда следует b163 = b263 = b363 = 0 , тогда b33 J6 = 0, b13 J6 = 0,   b23 J6 = 0,   т . е .

векторы вынужденной кривизны полей J1 и J2 вдоль 1- голоморфной линии θ3 и ее вектор нормальной кривизны ортогональны 0- голоморфной нормали [X, J6] (1,0) - полуголоморфной поверхности V 3 . Пусть ϕ1 = const, ϕ2 = const, тогда из (4.3) следует 45     444   55 5

θ1 = θ2 = 0,  т.е.   b11 = b12 = b13 = 0,   b12 = b22 = b23 = 0 . Если сеть   Σ 3   является геодезической,     то из (2.22) следует     b151 ⋅ sin 2ϕ2 = 0,     b242 ⋅ sin 2ϕ1 = 0,

4                   —            5                   —                                                                                                                                  *          *           *

b 3 4 3 ctgϕ 1 J 1 + b 3 5 3 ctgϕ 2 J 2 = 0 . Так как ϕ 1 , ϕ 2 ≠ 0, П2, т.е. векторы b 11 , b 22 , b 33 линий сети Σ 3 коллинеарны вектору J 6 . Верно и обратное. Отсюда следует

Теорема 3 . Сеть стационарных углов (1,0)-полуголоморфной поверхности V 3 , постоянных стационарных углов пространства Re 6 является геодезической тогда и только тогда, когда вектор нормальной кривизны 1-голоморфной линии равен нулю, а векторы нормальной кривизны двух других линий этой сети коллинеарны 0-голоморфной нормали.

Основная система дифференциальных уравнений имеет вид:

di 4 j θj = Mkeθk θe , dbi 5 j θj = Mkeθk ,

db 1 6 1 θ 1 = db 1 6 2 θ 2 = Kijθi θj , db 1 6 2 θ 1 + db 2 6 2 θ 2 = Cijθi θj ,

Характеры s 1 = 8, q = 15, s 2 = 5, s 3 = 2, число Картана Q = 24 , а число существенных параметров N = 24 . Система в инволюции, т.е. (1,0)-полуголоморфная поверхность V 3 пространства Re 6 существует с произволом двух функций трех аргументов.

Пусть ϕ 3 = 0, ϕ 2 = П2, ( ϕ 2 ≠ 0,П 2) тогда поверхность V 3    является (1,1)-

— — — — — — — — полуголоморфной. Из (2.1-2.2) следует J3 = E3+, J2 = E2+, J5 = E2-, J6 = E3- т.е. нормальная плоскость N3 (X) является (1,1)-полуголоморфной, формулы (2.14) принимают вид:

3566   4    2  4

θ 2 = θ 2 = θ 3 = θ 5 = 0, θ 1 = - 1 ,   θ 1 = - θ 2 ctgϕ 1 ,

θ 13 =- θ 34 tgϕ 1 , θ 45 =- θ 15 ctgϕ 1 , θ 46 =- θ 16 tgϕ 1 .

Из (5) следует a 2 3 1 = a 2 3 2 = 3 23 = 0 , т.е. на касательных к 1-голоморфной линии θ 2 и 0-голоморфной линии 9 3 существует всего по одному псевдофокусу и векторы <2 22 и <2 33 относительной кривизны к этим линиям параллельны вектору J 1 причем векторы <з 22 и а33 относительной кривизны полей J 1 и J 1 вдоль линий θ 1 параллельны также вектору J 1 . Проекциями (1,1)-полуголоморфной поверхности на главные плоскости R 3 + и R 3 - является 2-поверхности V 2 + и V 2 - .

Основная система дифференциальных уравнений имеет вид:

db j л Уj = M ke y k л Уе , db 151 л У 1 + db f3 А У3 = N k y A y e , db f3 л У1 = db 333 л У3 = S ke y k л y e , db ^ л У 1 + db ^ л У2 = L ke y k л y e ,

db 162 л У1 = db 22 л У2 = R ke y k л y e

Тогда rangM 1 = 7, rangM 2 = 11, и характеры s 1 = 7, s 2 = rangM 2 rangM 1 = 4, s 3 = 1, Q = N = 18 - Поэтому (1.1)-полуголоморфная поверхность V 3 в пространстве Re6 существует с произволом одной функции трех аргументов.

Если ф1 = П4 , то (1.1)-полуголоморфная поверхность V 3 является CR -поверхностью. Тогда 1 = 0 и из (4.5) следует У4 = 0, т.е. b 1 4 1 = b 1 4 2 = Ь 14 = 0 . Формы У 2, У3 имеют вид 2    42  43   3    42  43

У 1 = —( b 22 У + b33У ), У 1 = —( b23У + b33У ), т.е. инварианты сети а 11 = a 11 = 0 . Отсюда следует, что вектор относительной кривизны <2 11 антиголоморфной линии У 1 равен нулю, т.е. линия У1 - геодезическая. Так как вектор нормальной кривизны антиголоморфной линии У1 (1,1)-полуголоморфной поверхности V 3 ортогонален вектору J 4 . Нормаль [ X , J 4 ] является антиголоморфной. Поэтому верна

Теорема 4 . Если поверхность V 3 пространства Re 6 является CR -поверхностью, то антиголоморфная линия У1 сети стационарных углов является геодезической, а ее вектор нормальной кривизны ортогонален антиголоморфной нормали.

Из системы (6) имеем rangM 1 = 6, rangM 2 = 9 и характеры s 1 = 6, s 2 = 7, q = 9, s 3 = 0 . Число Картана Q = 12, а N = 12 . Тогда произвол существования CR -поверхности V 3 пространства Re 6 равен трем функциям двух аргументов.

Пусть ф 2 = ф 3 = 0, ( ф 1 ^ 0, П2) , тогда поверхность V 3 пространства Re6 является (2,0)-полуголоморфной поверхностью. Ее нормальная плоскость N 3 ( X ) является (0,2)-полуголоморфной. Система (4) принимает вид: 24  34  55  66

У =— У 2 ctg9 i , У 1 =— У 3 tg ^, У 4 = — У 1 ctg ^, У 4 = — У 1 tg ^,

у:

^™1

■ dф1, У 2 5 = У 2 6 = У 3 5 = У 3 6 = 0.

66666  55555

Отсюда следует b i2 — b 22 — b i3 — b 23 — b 33 — 0, b i2 — b 22 — b i3 — b 23 — b 33 — 0. Т ак как by ■ J 5 = 0, by ■ J 6 = 0, ( i ^ j ) , то есть Е 3 является сетью линий кривизны относительно любого вектора из плоскости [ X , J 5 , J 6 ] , т.е. является сетью линий кривизны относительно любой 0-голоморфной нормали.

Из (7) имеем У 1 2 =— ( b 1 4 2 У 1 + b 22 л У 2 + b 23 л У 3) ctg ф 1 , У 1 3 =— ( b 143 y 1 + b 23 л У 2 + b 3 4 3 л У 3) ctg ф 1. Отсюда следует, что инварианты сети Е 3 24   24   24   34

имеют вид:     a 11 =— b 12 ctgф1,    a 12 =— b 22 ctgф1,    a 13 =— b 23 ctgф1,    a 11 =— b 13 ctgф1,

^3

N2(X) является двумерной и Ф6 — ЯФ , где Я = b6 I b^.. Векторы J4, J5 + ЯJ6 образуют базис плавной нормали (2,0)-полуголоморфной поверхности    V3. Заметим, что присоединенная кривая (2,0)-полуголоморфной поверхности V3 является кривой третьего порядка. Пусть сеть Е3 является сетью линий кривизны относительно вектора J4, тогда b162 — bi3 — b23 — 0 и   b12 — b13 = b23 = 0, ан = 0,  т.е. сеть Е3 является сетью линий кривизны с одним семейством геодезических линий 01. В этом случае присоединенная кривая распадается на две параллельные прямые 1 - b22 у4 = 0, 1 - b33 у4 = 0 и прямую 1 -b4у4 -(b5 + Л?!!) = 0. Если вектор J5 принадлежит плоскости главной нормали, то Я = 0. Поэтому b6 = 0. Репер R становится каноническим и формы 02,056 являются главными, т.е. 02 — а20, 056 = а601. Полную систему инвариантов образуют одиннадцать функций ф1, bi4, b151, а2i, а6 и они определяют (2.0)-полуголоморфную V3 поверхность пространства Re6 точностью до движений этого пространства.

Если ф1 — П4 , (2,0)-полуголоморфная поверхность является CR-поверхностью. Тогда из (7) следует   04 = 0   т.е.   b141 = b42 — b143 = 0.   Тогда а 2 = <3 = 0. Поэтому антиголоморфная линия 01 является геодезической и ее вектор нормальной кривизны ортогонален вектору J4 , т.е. для этой поверхности верна теорема 4.4.

Пусть ф3 — 0, ф2 — П2, (ф2 ^ 0, П2), тогда поверхность 1Л является I-голоморфной, ее нормальная* плоскость А£[л) является 2-голоморфной. Система (4) принимает вид 23644566

01 — 01 — 01 , 02 — 03 — 013 — 0,  04 — 05 — 0 .(8)

т7       7       ГХ     1 7 6    3      К     7^4 7   I 7.5 Т      7       16    3      L       7.6

Тогда   bn b 13 — 0 , Ь 23 Ь 23 J 6 ,   Ь п Ь п J 4 + Ь п J 5 ,   b 22 b и • J 6 ,   b 33 b 33 J 6 .

Отсюда следует, что 1-голоморфная поверхность V3 допускает поле 1-направлений сопряженное ортогональному ему    2-направлению    [J2,J3] .    Так как

3          3     6 3     5 3

VJ6 — np • dJ6 — 04J4 + 06 J5 — 0, то вектор J6 переносится параллельно в связности нормального расслоения. Векторы нормальной кривизны 0-голоморфных линий 02 и 03 сети Е3 параллельны между собой и параллельны вектору J6. Так как 012 — 013 — 0, то вектор относительной кривизны 1-голоморфной линии 01 равен нулю, т.е. ап — 0 и эта линия является геодезической и лежит в плоскости [X,Jр...,J6], т.е. является гиперплоской. Векторы <312 — а13 — 0, т.е. вектор Jt переносится параллельно вдоль линий 02 и 03 сеть Е3 получебышевская . Так как гапд (0“) — 2,, то 1-голоморфная поверхность V3 является тангенциально вырожденной поверхностью ранга 2. Но <3^ — <3д"2 — 0 1-голоморфная поверхность V3 пространства Re6 расслаивается в 1-направлении {01} на 0-голоморфные 2-поверхности, несущие сеть линий 02 и 03 [15]. Так как число линейно независимых векторов bij равно двум, то главная нормаль двумерная. Вторые квадратичные формы Ф4 — b141(01)2, Ф5 — b151(01)2 и Ф5 — ЯФ4, где Я — b151 /b141. Тогда 3                                            3                             I                           3                                         3                                                                              3                             3               3

b 11 b 1 4 1 ( J 4 + ЯJ 5 ), b 22 b 22 J 6 и векторы J 4 + ЯJ 5 , J 6 образуют базис главной нормали N 2 ( X ) 1-голоморфной поверхности V 3 . Присоединенная кривая распадается на прямую

1 - ( b 4 + ЯЬ 3) у4 — 0

и

пару

параллельных

прямых

[ ( b 22 b 363 -( b 23 ) 2 ) ] ( y 6) 2 -( b 262 + b 3 6 3 ) y 6 + 1 = 0 . Формы кривизны Q 4 ,Q 4 ,Q 6 нормального расслоения равны нулю, т.е. 1-голоморфная поверхность V 3 всегда несет сеть линий кривизны. Отнесем ее к этой сети, т.е. b 23 = 0 . Если Я = 0 , то b 51 = 0 и вектор J 4 принадлежит плоскости главной нормали и является вектором первой главной нормали кривой # '. Тогда главная нормаль N 2 ( X ) является 1-голоморфной 2-плоскостью. В этом случае репер R является каноническим.

Заключение

Рассмотрены вещественные поверхности в евклидовом пространстве над алгеброй двойных чисел. Получены некоторые классы и найден в каждом случае произвол существования.

Статья научная