Визуализация 1-солитона пространственно-двумерного эволюционного уравнения А6

Многомерные нелинейные уравнения, обобщающие классическое уравнение Кортевега-де Фриза, являются объектом интенсивных исследований в последнее время [1-7]. Интерес вызван тем, что уравнение Кортевега-де Фриза, как и его многомерные аналоги, является универсальной математической моделью, так как описывает многие нелинейные процессы в океанах, кристаллических телах, магнитных материалах, эфире, атмосфере Земли и других планет, живых организмах, экономике и др.

В 1949 году Ферми, Паста и Улама изучали нелинейные системы, которые позже были названы солитонами. Солитоны запоминали информацию и хранили ее очень долго, как молекула ДНК. Ученые утверждали, что солитоны ведут себя как разумные существа, но объяснить этот феномен не смогли.

В океанологии большое внимание уделяют изучению солитонов в морях и океанах, динамику которых описывает (2+1)-мерное эволюционное уравнение Аб. Их называют волны-убийцы, аномальные волны, волны-монстры, блуждающие волны. Они достигают высоты более чем 25-30 метров и представляют большую опасность для судов и морских сооружений. Появление волн-убийц не связано с катастрофическими геофизическими событиями. Они появляются неожиданно и также неожиданно исчезают. Ученые предпо- лагают, что явление волн-убийц связано с особенностями динамики солитонов и не зависит от внешних факторов. Динамику солитонов в морских и океанских водах описывают пространственно-двумерные обобщения уравнения Кортевега-де Фриза [8].

Ранее Алексеевой А. В. были выведены новые пространственно-двумерные нелинейные уравнения А1-А14 и AI-AXII [1], которые являются обобщениями классического уравнения Кортевега-де Фриза.

В данной работе представлены (2+1)-мерное эволюционное уравнение Аб, иерархия его вспомогательных линейных систем, закон сохранения, его (2+1)-мерная билинейная форма Н2, его N-солитонные решения, визуализация 1-солитонного решения данного уравнения, исследование свойств и качеств 1-солитона, обработка данных, статистические таблицы.

Рассмотрим (2+1)-мерное эволюционное уравнение Аб [1]:

Фt + ^xxy + 3 [ФУ]x = 0, гДе Vx = Фу, Ф = Ф (x, y, t) — достаточно гладкая комплекснозначная функция.

Интегрируемость (2+1)-мерного эволюционного уравнения Аб доказывает наличие высших иерархий его вспомогательных линейных систем уравнений:

у х = U o y + Ху,

У t = Ху у + Ау + ХВу,

Ух = Uoy + Ху, yt = Хуу + Ау + ХВу + Х2Су, ух = иоу + Ху, yt = Хуу + Ау + ХВу + Х2Су + Х3Dy, где Х = Х (y,t), Хt = ХХу, Vx = Фу.

Ф

_ 0 __ -Фху - 3ФР

-Фху - 3ФV0

i_  _ -2iд^-1Ф - V '

-2id-1^ - V      -i,

_| _    _ / i -2iд^-1Ф \

' = ... =   2idx^

Ф = Ф (x, y, t), y_i = y_i (x, y, t), i = 1, 2 — достаточно гладкие комплекснозначные функции.

Закон сохранения для (2+1)-мерного эволюционного уравнения Аб имеет вид

∂T

——+ divF = 0, ∂t где T — плотность. F = (F1, F2) — поток.

divF =    + ^dF2,

∂x ∂y

T = Ф + C 1 , F i = 3W + C₂, f ₂ = Фхх + Сз, Vx = Фу,

Ф = Ф (x, y, t) — достаточно гладкая котшлексиозиачиая функция. Cj. j = 2,3 — постоянные.

(2+1)-мерное эволюционное уравнение Аб можно привести к (2+1)-мерной билинейной форме Н2:

DxDt + DXDy) (у о у) = 0, где

D x D t (у о у) = 2 (^ xt y - ^x^t),

DXDy (у о У) = 2 (Ухххуу - TxxxTy - Зуxxyух + Зуххуху) , у = у (x, y, t) — достаточно гладкая комплекснозначная функция.

(2+1)-мерная билинейная форма Н2 является многомерным обобщением классической билинейной формы Хироты Н [8]:

(DxDt + DX) (f о f ) = 0, где

DmDn (F о G) = (dx - d x o) m (d t - d t o )n F (x,t) G0 (x⁰/)^=x,to = , f = f (x, t) — достаточно гладкая действительная функция.

Используя метод Хироты, находим солитонные решения (2+1)-мерного эволюционного уравнения Аб.

1-солитонное решение (2+1)-мерного эволюционного уравнения:

ф = 2(ln у^ , где yi = 1 + exp {ax + ву - ваЧ + y} ,

Ф = Ф (x, у, t). у 1 = у 1 (x, у, t) — достаточно гладкие комплекспозпачпые функции. а. в- Y — постоянные.

2-солитонное решение (2+1)-мерного эволюционного уравнения Аб:

Ф = 2(ln y2)xx , где

У2 = 1 + exp {ni} + exp {П2} + exp {ni + П2 + A12} , nj = ajx + ejУ - ejajt + Yj, j = 1,2, a2 - ai -в1а2 + в2а2 + (в1 - в2) (ai -а2 + ai -eia2 - в2a2 + (ei + в2) (ai + a2)2

—тд,  ai = a2,

exp {Ai2}

Ф = Ф (x, y, t). у₂ = y₂ (x, y, t) — достаточно гладкие котшлексиозиачпые (фчпгтшп. aj. ej, Yji j = 1,2 — постоянные.

N-солитонное решение (2+1)-мерного эволюционного уравнения Аб:

Ф = 2(1n Vn )xx , где ^* „пробегает" все мне)жества. pj = 0, 1. j = 1, N.

NN

E Mini + E µi µj Aij , i=1         1≤i

•

—вia² + вjaj + (вi — вj) (ai — aj)

^—вi^a‘i^{— в}j^aj + ^(в + ^вj) ^(ai + ^aj)

^ai = ^aj, i = ^j,i,j = ^1,N,

Ф = Ф (x,y,t).^_N = ^_N (x, y, t) — достаточно гладкие комплекспозпачпые функции. aj. вj• Yj, j = 1, N — постоянные.

Запишем 1-солитонное решение (2+1)-мерного эволюционного уравнения Аб:

^ = 2 (In^)xx , ^ = 1 + exp {ax + ву — вa2t + y} в виде

—

ϕxxϕ

^2

ϕ2x

,

где

Откуда имеем

у² = a² exp {2ax + 2ву — 2ea2t + 2y } , VxxV = a² exp {2ax + 2ву — 2ea2t + 2y} .

₂   exp {2ax + 2ву — 2вa²t + 2y}

Ф = 2a -----------------------------------5

(1 + exp {2ax + 2ву — 2вa²t + 2y})

или

Ф =

α2

2 ch²fax + ву — вa²t + y}

Скорость 1-солитона (2+1)-мерного эволюционного уравнения Аб имеет вид v = α2βα

—       , а его амплитуда вычисляется по формуле A = —. Видно, что скорость 1-

V a2 + в2                 '                             *

солитона (2+1)-мерного эволюционного уравнения Аб и его амплитуда пропорциональны 2вА                          \'

v = —,       , т. е. чем выше волна, тем быстрее она бежит.

V a² + в²

Приведем компьютерную реализацию, анализ свойств и качеств 1-солитонного решения (2+1)-мерного эволюционного уравнения Аб.

1-солитонное решение (²+1)-мерного эволюционного уравнения Аб при a = 1, в = 1 Y = 0. t = 0 изображено на. рис. 1.

На рис. ²-4 изображено 1-солитонное решение (²+1)-мерного эволюционного уравнения Аб в течение времени, изменяющегося от —10 до 10 пр и a = 1, в = 1 Y = 0.

На рис. 5-1² показано, что постоянные a и в задают направление ~ = ai + в~, вдоль которого расположен 1-солитон (²+1)-мерного эволюционного уравнения Аб. Далее будем называть вектор ~ вектором направления солитона.

Рис. 1. 1-солитон (2+1)-мерного эволюционного

Рис. 2. 1-солитон (2+1)-мерного эволюционного

уравнения Аб при а = 1, в = 1, Y = 0, t = 0

Рис.З. 1-солитон (2+1)-мерного эволюционного уравнения Аб при а = 1, в = 1, Y = 0, t = 5

~

~

Рис. 5. Направление ~ = а i + в j расположения 1-солитона (2+1)-мерного эволюционного уравнения Аб при а = 1, в = 1 (^или а = — 1, в = —1), Y = 0, t = 0

~

~

Рис. 7. Направление ~ = а i + в j расположения 1-солитона (2+1)-мерного эволюционного уравнения Аб при а = 5, в = 1 (^илиа = —5, в = —1) ,7 = 0, t = 0

уравнения Аб при а = 1, в = 1 Y = 0, t = —10

Рис. 8. Расположение 1-солитона (2+1)-мерного эволюционного уравнения Аб при а = 5, в = 1 (или а = —5, в = — 1)Л = 0, t = 0

Рис. 4. 1-солитон (2+1)-мерного эволюционного уравнения Аб при а = 1, в = 1 Y = 0, t = 10

Рис. 6. Расположение 1-солитона (2+1)-мерного эволюционного уравнения Аб при а = 1, в = 1 (или а = — 1, в = — 1) Y = 0, t = 0

Г   / Рис. 9. Направление ~ = a i + в~ расположения 1-солитона (2+1)-мерного эволюционного уравнения Аб при a = 1, в = 5 (или a = —1, в = —5), y = 0, t = 0 Рис. 11. Направление r = a i + в j расположения 1-солитона (2+1)-мерного эволюционного уравнения Аб при a = 1, в = -5 (или a = — 1, в = 5), y = 0, t = 0 ■ Ндш.1_________________________________________1^^ 3=1 _________" - V X Щ^9ДЦЩЯ|___________»ЯЯ_у^1Ж1_^<™ы Рис. 13. 1-солитон (2+1)-мерного эволюционного уравнения Аб при a = 0, 1, в = 0, 5, y = 0, t = 0, основной вид Qngu„l                                  щ^^-j ill 1 ИМ ЩО|©Д[ДВ|Я|___.=CM2S»3 Рис. 15. 1-солитон (2+1)-мерного эволюционного уравнения Аб при a = 0, 1, в = 0, 5, y = 0, t = 0, вид слева

'ill 111 Рис. 10. Расположение 1-солитона (2+1)-мерного эволюционного уравнения Аб при a = 1, в = 5 (или a = —1, в = -5), y = 0, t = 0 llllllliii Рис. 12. Расположение 1-солитона (2+1)-мерного эволюционного уравнения Аб при a = 1, в = -5 (или a = —1, в = 5), y = 0, t = 0 *й|О|© 4*1 ИВ|Н|                    >азым ,у=1221Я . =0Я®а11Я Рис. 14. 1-солитон (2+1)-мерного эволюционного уравнения Аб при a = 0, 1, в = 0, 5, y = 0, t = 0, вид сверху IWnr W|lll|ll|l|l|i|11 I^IOlO 4*1 ■'1в|я1____________________В-0Я21К1 ,р-1ЫВ .сСДШТС Рис. 16. 1-солитон (2+1)-мерного эволюционного уравнения Аб при a = 0, 1, в = 0, 5, y = 0, t = 0, вид справа

Рис. 17. 1-солитон (2+1)-мерного эволюционного уравнения Аб при а = в = 5, Y = 0, t = 0

Рис. 18. 1-солитон (2+1)-мерного эволюционного уравнения Аб при а = в = 0, 1 Y = 0, t = 0

Таблица

Сводная таблица параметров и характеристик 1-солитонов (2+1)-мерного эволюционного уравнения Аб различной амплитуды (а, в — постоянные, A — амплитуда, v — скорость)

α	β	A, м	v, м/с
1	1	0,5	0,7
4,5	β	10	20β
			p20,25 + β2
5	5	12,5	17,6
7,7	β	30	60β
			p59,29 + β2
10	10	50	70,7

Интересно отметить, что гладкий, ровный гребень 1-солитона (2+1)-мерного эволюционного уравнения Аб достигается только тогда, когда а = в, как показано на рис. 14, 6 и далее 17, 18. В случае неравных параметров а = в наблюдается эффект закручивания 1-солитона против часовой стрелки от вектора направления г, при этом гребень 1-солитона становится неоднородным и возникает эффект „морской пены“ на гребне волны, как по казано на рис. 8, 10, 12 16.

а2                    / х

Амплитуда A = — 1-солитона (2+1)-мерного эволюционного уравнения Аб всегда ложительна. Следовательно, 1-солитон (2+1)-мерного эволюционного уравнения Аб по мо

жет принимать только форму горы или холма, он не может быть впадиной, чего нельзя сказать о солитонах других пространственно-двумерных нелинейных уравнений Al-А14 и AI АХИ [1].

Направление движения 1-солитона (2+1)-мерного эволюционного уравнения Аб показывает вектор П, ортогональный вектору направления г, т. е. n±r. Далее будем называть вектор n вектором движения солитона.

Из табл, видно, что 1-солитоны (2+1)-мерного эволюционного уравнения Аб могут иметь одинаковую амплитуду при разных скоростях. Например, в табл, показано, что скорости волн высотой в 10 и 30 метров, зависят от параметра в- Следовательно, скорость 1-солитона (2+1)-мерного эволюционного уравнения Аб зависит от вектора направления r = a i + в j илп вектор;-1 движения п. ортогонального вектору r.

Таким образом, мы представили (2+1)-мерное эволюционное уравнение Аб, получили иерархию его вспомогательных линейных систем, вывели закон сохранения, показали его (2+1)-мерную билинейную форму Н2, нашли его N-солитонные решения, сделали компьютерную реализацию 1-солитонного решения (2+1)-мерного эволюционного уравнения Аб, исследовали свойства и качества 1-солитона данного уравнения, для наглядности собрали в таблицу некоторые данные и характеристики 1-солитона (2+1)-мерного эволюционного уравнения Аб.