Включение в плоском упругом клине со свободными гранями

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 24-21-00014,

Исследования задач о включениях могут иметь применения при моделировании композитов, строительных конструкций с элементами жесткости, имплантов в тканях. Ранее было найдено точное решение контактной задачи о тонком эллиптическом включении в упругом пространстве [1]. Изучались плоские задачи о тонком жестком [1] или упругом [2] включении в полосе. Анализировались периодические системы включений в упругой плоскости [3]. Изучались задачи о включениях в нелинейной постановке, содержащей краевые условия в виде неравенств [4-6], проводилась оптимизация параметров [7]. Изучались плоские [8] и пространственные [9] задачи о включениях в клине, грани которого находятся в условиях жесткой или скользящей заделки. В настоящей статье, по-видимому, впервые рассматривается случай, когда грани клина свободны от напряжений. Показано, что в плоской задаче в отличие от ранее рассмотренных задач [8] не удается определить связь между силой, приложенной к включению, и его смещением, что связано с изменением поведения в нуле функции-символа ядра интегрального уравнения. Аналогичный эффект наблюдается в плоских задачах о вдавливании штампа в грань клина [10]. Альтернативным методом является метод конечных элементов [11].

2.    ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ И МЕТОД СПЕЦИАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ

В полярных координатах r , j рассмотрим плоский упругий клин { r е [0,“); j е [- а,а ]} с тонким жестким включением a ^ r ^ b на биссектрисе ф =0 (рис. 1). Между включением и упругой средой осуществляется полное сцепление в области контакта. К включению приложена касательная сила интенсивности 2 T , направленная вдоль оси r . Под действием силы включение сдвигается на величину 5 . Внешние грани клина свободны от напряжений (плоская задача A, полосовое включение в трехмерном клине). Материал клина имеет параметры упругости G (модуль сдвига) и v (коэффициент Пуассона). В силу симметрии достаточно рассматривать область 0 <  j <  а, граничные условия в которой имеют вид

Ф = 0: и _ф = 0; u_r =5 ( r е ( a ; b )); т _{r ф} = 0 ( r £ ( a ; b ));

Ф = ^а: _О ф = _т r ф = 0 .

Используя интегральное преобразование Меллина и теорию вычетов [10,12], для неизвестного касательного напряжения в области контакта t _{r j}=t( r ), a ≤ r ≤ b , j=0 получим интегральное уравнение ( 0 = G 4(1 -v)k^{- 1} , к = 3 - 4v )

^b f О

r

a k (t )= [ ^u cos( ut) du + —Bt, о u2

_T/ .   2 K ch(2 a u ) + 4 u ²sin² а + к ² + 1

L (u) =,

2 к sh(2 a u ) + 2k u sin(2 a )

B = lim uL (u) =----(K+1

u ^ о         4 ка+ 2 к sin(2 a )

Асимптотика функции-символа (5) в нуле и бесконечности имеет вид:

L(u) = B / u + O(u)(u ^ 0),

L(u) = 1 + O(u 2 ехр(-2аu)) (u ^ ~).

Поскольку функция-символ L(u) ведет себя в нуле и бесконечности как cth(u/B), невозможно определить связь между силой T и смещением d (это связано с плоской постановкой задачи [10]). Контактное напряжение требуется выразить через силу T при помощи условия равновесия включения b j t( rdr = T.(9)

a

Введем безразмерные обозначения x = Xln(r/a)-1, ^ = Xln(p/a)-1, X = 2/ln(b/a),(10)

g = Z8/a, ф(^) = рт(р)/(a0), T^ = T/(a0).(11)

Параметр l характеризует относительную удаленность включения от вершины клина. В обозначениях (10), (11) уравнение (3) принимает вид

/ф(£) kpr^'Id^ = ng (x ^ 1).(12)

- 1       < A J

Для получения приближенного решения уравнения (12) при учете свойств (7), (8) используем метод специальной аппроксимации [10]

L ( u ) « cth( u / B ) (— <  u <  ~ ).                              (13)

После почленного дифференцирования уравнения (12) по x , взятия интеграла

J cth( u / B )sin ( ut ) du — — cth ^ t

0                      ^{2      2}

в ядре (12) приходим к известному интегральному уравнению, имеющему точное решение [10]

( ) _     T * B cxpC n Bx /(2 Л ))

_; 2|ch( n B л ) chi n B’x л )| ’

T * _

Л J Ф ( x ) dx ,

- 1

Решение (15) является точным при а=п, v =0.5, L ( u )=cth( n u ) (включение в несжимаемой плоскости с лучевым разрезом, границы которого свободны от напряжений). Относительная погрешность решения (15) не превосходит относительной погрешности ε аппроксимации (13). Значение ε чувствительно к коэффициенту Пуассона (рис. 2).

При v =0.1 и а е (0, п ] погрешность s <9%. В связи с тем, что погрешность аппроксимации (13) приемлема не при всех значениях α и ν , требуется привлечение других методов.

Рис. 2. Погрешность ε ( α ) (%) при ν =0,5 (сплошная линия), ν =0,3 (пунктир) и ν =0,1 (точки)

• 3.    РЕГУЛЯРНЫЙ АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД

Для относительно удаленных от вершины клина включений (при достаточно больших l) применим метод разложения решения в ряд по степеням малого параметра l^-1 [10]. Метод основан основанный на выделении регулярной части ядра продифференцированного уравнения (12) и разложении ее в ряд по степеням l^-1, который сходится при λ > α ^–1, что определяет границы применимости метода. В результате получим ( Л^^ )

х       T *          a ₀ ^{( 1 - 2} x ^{2 )} a i⁽ 7 ^- 8 x ² — 8 x ⁴ )

X          л +         +              + пV1 - x2        2Л            8Л3

₊ ^BX 1 ₊ a ₊    - М ( 1

2 [    2 Л ² 4 Л ⁴ 8/. ⁴

^_ a0 _ ft — L(u^du, о

^^^в

a 1 _ — 6

^_

f [ 1 - L ( u ) U ³ du .

о

Значения α ₀ и α ₁ даны в табл. 1.

Как показывают расчеты, погрешность асимптотического решения (17) при Л> 2 а^-1 не превышает 5%.

Величина ф ₀ = ф (0)/ T по решениям (15) и (17) находится соответственно по формулам

B            1 L а а ₀ .7 a, J 1 П

Фо —-------------^ Фо — — I Л +---1-- т + O —f I                        (19)

⁰ 2sh( n B /(2 Л ))   ⁰ п ^    2 Л 8 Л ³     I Л ⁵ JJ                     ⁽⁾

При Л^^ обе формулы (19) дают в пределе limф о = X / п.

Таблица 1. Значения постоянных (18)

а	п/4	п/2	3п/4	п/4	п/2	3п/4	п/4	п/2	3п/4
V	0,5			0,3			0,1
- а о 1О3	1796	583	246	1152	517	258	1080	553	294
a 1 103	2064	106	12,0	992	72,2	11,1	651	64,5	11,9

4.    СИНГУЛЯРНЫЙ АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД

Для относительно близких к вершине клина включений (при достаточно малых l) используем сингулярный асимптотический метод, основанный на решении интегральных уравнений Винера-Хопфа [13] и аппроксимации функции-символа ядра на действительной оси легко факторизуемым выражением

( u ² + C ²)( u ² + E ²) C _ BDFf щ/ u ² + D ² ( u ² + F ²)’        E

В результате получим (erf( x ) — интеграл вероятности)

_Ф( x ) _ BP P ю i + x j + ю ^ x | ,

P _ P f (C) + P2 f (E), ro(t) _ Zk Г exp(Dt) + P dD c exp(- Ct)erf (D - C)t +

S L Пиt                              ^v z

+ P ₂ 7 D - E exp ( - Et ) erf_x ( D - E ) t ] ,

S _ (4BP +1)[Pig(C)+ P2g(E)], s Dd L     Ed 1 D - x ( 2 x j _ 12(D - x)

^{f ( x} ) ^_ —I ^{1 - erf}i v ⁺----- ^ex Pl ^- v l^erfJ^—- ⁹

x ^ v A J x ^ A J V A

g ^{( x )_} —^{- f ( x} X P i ^_

x

^C - ^F / - ^E 9 P ■

C - E ² C - E

Параметры аппроксимации D , E и F и ее относительная погрешность ε ₀ даны в табл. 2.

Таблица 2. Параметры аппроксимации (20) и погрешность ε ₀ (%)

а	п/4	п/2	3п/4	п/4	п/2	3п/4	п/4	п/2	3п/4
V	0,5			0,3			0,1
D	0,275	2,93	1,16	0,455	1,79	1,10	1,72	1,64	0,367
E	2,08	2,05	0,790	1,76	1,30	0,670	1,29	1,14	0,910
F	1,80	0,900	0,600	1,70	0,700	0,500	0,400	0,400	1,10
е о	3,5	1,5	1	1,5	1	1	1	1	1,5

Результаты расчетов характеристики контактного напряжения ф д тремя методами приведены в табл. 3. Как видно, при определенных значениях параметра l наблюдается смыкание асимптотических решений.

Таблица 3. Характеристика контактного напряжения ф ₀ при n=0,3

A	0,5	1	2	0,5	1	2
а	п/2			2п/3
Решение (15)	0,0796	0,263	0,606	0,0850	0,268	0,609
Решение (17)	—	0,256	0,598	—	0,270	0,610
Решение (21)	0,0801	0,258	—	0,0863	0,274	—

На рис. 3 показаны зависимости контактной характеристики ф д = ф (0) / T * от угла а и параметра А , рассчитанные по замкнутому решению (первая формула (19)). Напряжение ф д растет при увеличении α и λ , что связано с отдалением свободных граней клина от области включения. На рис. 4 показана зависимость контактной характеристики

a

Рис. 3. Графики зависимостей ф₀ ( а ) при Х= 1 (а) и ф₀ ( Х ) при а=п /2 (б); v=0 ,1

Рис. 4. График зависимости ф 1 ( v ) при а=п /2, Х= 2

_{Ф 1} =_{Ф о} к /(4 - 4 v ) = _Ф (0)/ T _o, T _o = T /( aG )

от коэффициента Пуассона v (здесь T — размерная сила), рассчитанная по второй формуле (19). С ростом v отнесенное к силе напряжение снижается.

5.    СЛУЧАЙ ВЫХОДА ВКЛЮЧЕНИЯ НА УГОЛ КЛИНА

При выходе включения на вершину клина ( a =0) контактная задача имеет замкнутое решение. Продифференцируем обе части интегрального уравнения (3) по r и введем обозначения

П = ln(b / r), t = ln(b / p), ф(t) = рт(р)/(b0).(28)

Тогда уравнение (3) становится уравнением типа Винера-Хопфа [13]

^

j ф(г )l (n-1 )dt = 0 (0

о l (t ) = Jl (u )sin( ut) du--B.

Решение уравнения (29) основано на факторизации мероморфной функции L (z) = L + (z)L _(z), где L +(z) регулярна при Im z > z-, а L_— (z) — при Im z< z + . В результате получим

^+ic ф( t )= A о J exp(- in t)dn L +(n)

—^+ic где произвольная постоянная A0 должна быть выражена через силу T при помощи условия равно-5 -1

весия (9) Из (31) ясно, что поведение t(r)~ r¹при r ^ 0 определяется нулем — i51 функции L₊(z) , в котором число 51 имеет наименьшую положительную действительную часть. Первые комплексные нули числителя L (z) (5) табулированы для некоторых а и v ([12], табл. 18). В табл.

4 даны показатели особенности t(r)~ r^Y при r ^ 0, когда v=0,25. Как видно, при увеличении угла клина возникают осцилляции контактных напряжений. Показатель у существенно зависит от коэффициента Пуассона. Например, при а=п, v=0,5 имеем у=-0,5 (классическая корневая особенность без осцилляций), тогда как при а=п, v=0,25 возникают осцилляции (см. табл. 4).

Таблица 4. Показатель особенности у (v=0,25)

α	π/4	π/2	3π/4	π
γ	0,282	-0,255	-0,302+i0,0416	-0,500+i0,110

6.    ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Задача о жестком включении в клине с учетом смешанных граничных условий сведена к интегральному уравнению, которое типично для плоских контактных задач. Показана близость решений плоской контактной задачи о включении в упругом клине, получаемых по методу специальной аппроксимации символа ядра интегрального уравнения и по асимптотическим методам «больших» и «малых» l. При необходимости можно увеличить точность аппроксимации (20), вводя добавочные сомножители на основе аппроксимаций типа Паде. Установлены особенности контактных напряжений в кончике включения, достигающего угловой точки клина. Показана возможность осцилляций контактных напряжений в вершине клина.