Влияние частоты на амплитуды тока и момента синхронных машин

Представляет интерес поведение синхронных электрических машин при различном характере нагрузки. Для индуктивной синхронной электрической машины – это зависимость амплитуды тока и вращающего момента от нагрузки, для емкостной синхронной электрической машины – это зависимость амплитуды напряжения и вращающего момента.

Анализ состояния вопроса. Потокосцепление обмотки вращающей электрической машины равно ψ = Ψ _m cos ω t .

ЭДС обмотки определяется выражением d ψ e = -    = ωΨ sin ω t .

dt m

Амплитуда ЭДС

Em = ωΨm зависит от частоты, в связи с чем может возникнуть интуитивное предположение, что амплитуды тока и вращающего момента для индуктивной синхронной электрической машины [1–3] (амплитуды напряжения и вращающего момента для емкостной машины) также зависят от частоты. В действительности это происходит не всегда. Существенную роль в этом играет характер нагрузки электрической машины.

Цель исследования – показать, при каком характере нагрузки параметры синхронной электрической машины не зависят от частоты.

Задачи работы – получить доказательные на уровне теорем результаты.

Актуальность исследования обусловлена широким распространением синхронных электрических машин, используемых, в частности, в качестве генераторов.

Ток и момент индуктивной синхронной электрической машины при индуктивной нагрузке

Пусть нагрузкой фазы индуктивной синхронной электрической машины [4–6] является катушка индуктивности. Далее суммарная индуктивность катушки и обмотки машины обозначается L . Число витков обмотки – n . Длина активной части витка – l . Индукция магнитного поля в рабочем зазоре – B . Угол поворота ротора – ϕ . Частота вращения – ω = d ϕ Idt . Ток – i . Число полюсов – два. Диаметр ротора – D r . Активные электрические и механические потери не учитываются.

Для синхронной машины [7–10] с индуктивной нагрузкой справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Амплитуда тока в индуктивной нагрузке индуктивной синхронной электрической машины не зависит от частоты вращения.

Доказательство.

ЭДС одного витка обмотки в соответствии с законом электромагнитной индукции равна е1 = -Blv sin ϕ .

Для n витков e n = — Blnv sin ф . Скорость v равна

D, d ф v = —r—

.

2 dt

Таким образом, ЭДС идеализированной синхронной машины равна

Dr d ф ■ e = — Bln— --sin ф .

2 dt

При индуктивной нагрузке di

Ut = — L— .

L dt

В соответствии с законом Кирхгофа e = uL .

Или

D d ф . di Bln— --sin ф = L— .

2 dt          dt

Интегрирование этого выражения дает

Bln D i = — — ^- cos ф + I0 =— Im cos ф + I0.

Начальный ток I 0 можно положить равным нулю.

Амплитуда тока

I = Bln D r

m = T от частоты вращения to не зависит. Теорема доказана.

Лемма . Момент синхронной электрической машины при реактивной нагрузке не равен нулю.

Доказательство . При реактивной нагрузке развивается реактивная мощность

(    п)    1

q = ui = U sin to t ■ I sin to t ± — = ± —UI sin2 to t .

I      2 J     2

Она не равна нулю.

Механическая мощность равна

p = Цto.

В соответствии с законом сохранения энергии механическая мощность равна электрической мощности. Из этого следует формула для момента p q    UI

ц = — = — = ± — sin 2to t.

to to      2to

Так же как и реактивная мощность, момент не равен нулю.

Лемма доказана.

Замечание 1 . Речь не идет о среднем значении момента за период колебаний.

Замечание 2 . Из леммы необходимо следует, что механическая мощность, развиваемая машиной, также не равна нулю.

Теорема 2. Амплитуда вращающего момента для индуктивной синхронной электрической машины с индуктивной нагрузкой не зависит от частоты вращения.

Доказательство. При указанных допущениях вращающий момент в соответствии с законом Ампера (применительно к вращающей машине) равен

D         Bln D D ц = Blni —^r sin ф = — Bln—^—cos ф -^r sin ф =

—

( Bln ) ² D ²

-------- sin2ф.

L 8

Амплитуда вращающего момента

M = (BlnDL DL m L8

от частоты вращения to не зависит. Теорема доказана.

Правомерен вопрос: а как обстоит дело при другом характере нагрузки синхронной электрической машины [11–14]?

Ток и момент при другом характере нагрузки

При активной нагрузке аналог уравнения (1) имеет вид

BlnD r —sin ф = Ri .

2 dt

Амплитуда тока

Bln D

I™ =--r" to m R2

от частоты вращения to зависит (линейно).

Вращающий момент равен

D        Bln D D ц = Blni—r sin ф = Bln--- to sin ф —r sin ф = 2           R2       2

( Bln ) ² D ²

=  ------- to sin2 ф .

R 8

Амплитуда вращающего момента

( Bln ) ² D ²

Mm =-— --to m R8

от частоты вращения to зависит (линейно).

При емкостной нагрузке [20] аналог уравнения (1) имеет вид

Bln — to sin to t = — f idt .

²          C I

Дифференцирование этого выражения дает

D i = BlnC—r to cos tot.

Амплитуда тока

I_m = BlnCD r to ²

m 2

от частоты вращения to зависит (квадратично).

Вращающий момент равен ц = BlniDrsin ф = BlnBlnCDr to2 cos ф Dr- sin ф =

= ( Bln ) ² CD- to ² sin2 ф .

Краткие сообщения

Амплитуда вращающего момента

M m = ( Bln ) ² C ^ ю 2

от частоты вращения ю зависит (квадратично).

q

x

Зависимость мощности от характера нагрузки

Для индуктивной нагрузки синхронной машины [15–18] реактивная электрическая мощность равна

j dq = Db J dx , 00

q = Dbx .

С учетом последнего уравнения сила, действующая на электрод, равна

F = qE = qu = Dbu .

2       2       ( Bln ) ² D r ²

Q — I X г — I ю L —           ю .

L             L 8

Здесь I – действующее значение тока.

Механическая мощность равна

( Bln ) ² D ²

QM = M ю = 2—ю.

L 8

Разумеется, (2) и (3) совпали.

Мощность линейно зависит от частоты.

Для резистивной нагрузки активная электрическая мощность равна

P = 1 ² R = ( Bln ) L D_ ю ² .

R 8

Механическая мощность равна

( Bln ) ² D ²

PM = M ю = ------- ю.

M          R 8

Разумеется, (4) и (5) совпали.

Мощность квадратично зависит от частоты.

Для емкостной нагрузки [19] реактивная электрическая мощность равна

Q = 1 ² X = 1 2 — = ( Bln ) ² С D r - ю ³ .

C ю С          8

Механическая мощность равна

Q = M ю = ( Bln ) ² С Dr- ю ³ .

Разумеется, (6) и (7) совпали.

Мощность кубично зависит от частоты.

Напряжение и момент емкостной синхронной электрической машины при емкостной нагрузке

Дуальным аналогом индуктивной синхронной электрической машины является емкостная синхронная электрическая машина [20].

В соответствии с законом магнитоэлектрической индукции (дуальный аналог закона электромагнитной индукции) ток равен

i = Dbv ,

где D – электрическая индукция (электрическое смещение) в рабочем зазоре, b – ширина электрода, v – линейная скорость.

Выражение (8) можно преобразовать следующим образом:

dq     dx

— = Db —, dt       dt dq = Dbdx,

x

Это дуальный аналог закона Ампера для электрического (магнитоэлектрического) взаимодействия. Здесь Е – напряженность электрического поля, u – напряжение. Электрический ток равен

du i .

dt

Замечание . Формулы (8) и (9) могут быть получены из их электромагнитных аналогов путем простой дуально-инверсной замены величин e — i , B —— D , l —— b , i —у u .

Теорема 3. Амплитуда напряжения на емкостной нагрузке емкостной синхронной электрической машины не зависит от частоты вращения.

Доказательство. Для вращательной маши-

ны уравнение для тока с учетом (8) и (10) вид

D_r d ф . du

Db— r —sin ф = C— .

2 dt           dt

Интегрирование этого выражения дает Db D u = ———cosф + U0 = —Um cosф + U0.

Амплитуда напряжения

U = DbDr.

m C 2

имеет

от частоты вращения ю не зависит. Теорема доказана.

Теорема 4. Амплитуда вращающего момента для емкостной синхронной электрической машины с емкостной нагрузкой не зависит от частоты вращения.

Доказательство. Вращающий момент в соответствии с (9), (11) и (12) применительно к вращающей машине равен ц = DbuDrsinф = — DbUm cosфDr-sinф =

—

Db D     D       D ² b ² D ²

- Db--- cos ф —r sin ф =---- sin2 ф .

C 2      2          C 8

Амплитуда вращающего момента

D 2 b 2 D 2

M =--- m C8

от частоты вращения ю не зависит. Теорема доказана.

Заключение

Таким образом, вопреки возможному интуитивному предположению, для индуктивной синхронной электрической машины с индуктивной

нагрузкой амплитуды тока и вращающего момента от частоты вращения не зависят.

При другом характере нагрузки – зависят.

Для емкостной синхронной электрической машины с емкостной нагрузкой амплитуды на- пряжения и вращающего момента от частоты вращения не зависят.

Полученные результаты рекомендуется использовать при проектировании электрических систем.