Влияние деформируемости угольного пласта на пространственное напряженно-деформированное состояние массива горных пород в окрестности полости

Разработка и оптимизация способов охраны подземных выработок и предупреждения динамических явлений в шахтах, как правило, базируются на теоретических либо экспериментальных исследованиях закономерностей распределения напряжений в окрестности полостей, образованных в массиве горных пород. Ниже на основе аналитического решения задачи о пространственном напряженно-деформированном состоянии массива с выработкой, проведенной в пласте полезного ископаемого, проанализированы закономерности распределения напряжений в горных породах, вмещающих угольный пласт с полостью в форме прямоугольного параллелепипеда.

Обозначим через 2 h мощность горизонтального угольного пласта, залегающего на глубине H от дневной поверхности.

Введем декартову прямоугольную систему координат, совместив координатную плоскость x,y с поверхностью контакта пласта полезного ископаемого с породами, ось z направим вертикально вверх (рис. 1).

Рис. 1. Схема угольного пласта с призматической выработкой.

Пространственное напряженное состояние ненарушенного массива опишем формулами

G x ⁰ = ст y ⁰ =a. g ( H  z ),   ° z ⁰     g ( H  z ),   т x ⁰ y = т xz = т yz 0               (1)

Здесь О0, 0,..., 0 – компоненты тензора нормальных и касательных напряжений, α – коэффициент бокового распора, ρ - средняя плотность горных пород, g - ускорение силы тяжести.

В массиве с  выработкой неизвестные напряжения оe, e,..., e представим в виде сумм e0

x= Gx + О"x, оy= Gy+ оy, e0

аz— Gz + О"z, о xy - тxy + тxy, e0             e0

xz      xz     xz , yz      yz     yz .

где О , О ,..., 7" - дополнительные напряжения, появление которых связано с созданием полостей в массиве.

Для достаточно больших глубин залегания разрабатываемого пласта при определении дополнительных напряжений можно пренебречь влиянием дневной поверхности. Тогда задача о напряженном состоянии массива с горизонтальным угольным пластом может быть рассмотрена как трехмерная задача теории упругости для полупространства, лежащего на перфорированном упругом основании, моделирующим пласт полезного ископаемого с выработками.

Считаем, что в плане сечение V призматической выработки имеет произвольную форму. Сформулируем граничные условия смешанной задачи. При z = 0 в области V , являющейся потолком выработки, в случае отсутствия крепи дополнительное напряжение ^, согласно (1), (2), равно

ρgH. Касательные напряжения xz в точках граничной плоскости равны нулю. Чтобы учесть деформируемость пласта, принимаем, что в точках поверхности контакта угля с породами выполняется условие пропорциональности нормальных напряжений и смещений.

В работе [1] построено решение сформулированной смешанной задачи теории упругости для изотропного полупространства, позволяющее рассчитать опорное давление на угольный пласт, другими словами, определить распределение нормального напряжения σ z^e в плоскости контакта угля с породами. Численные результаты исследования пространственного опорного движения в концевой части (нише) очистной выработки приведены в книге [2]. Ниже кратко изложим один из способов решения смешанной задачи, позволяющий вычислить компоненты тензора напряжений не только в плоскости контакта угля с породами, но и в произвольных точках массива.

Для построения искомого решения смешанной задачи используем аналитическое решение задачи о действии сосредоточенной силы на полупространство, лежащее на упругом основании [3]. В этом случае задача осесимметрична, поэтому введем цилиндрическую систему координат r , о , z . В результате решения задачи с помощью интегрального преобразования Ханкеля для компонент напряжений, действующих в изотропном полупространстве, лежащем на упругом основании, имеем следующие формулы [4], [5]:

P 12 V

₂ тс     2

z

r ²

3 r z ²

r ² z 2 2

^P 1  2 V

2 тс

z 1

32 r ² z ^{2 2 r}

r ²

z

т rz

3Pr z ²

2 к r ² z ^{2 52}

^PX^z т _t 2 _e —    #Г dt.

rt t .

₂ IT _t V ¹

2   ₀ t

Здесь P – сосредоточенная силa, J 0 (rt), J 1 (rt) – функции Бесселя 1

нулевого и первого порядка, r x2 + y2 2 . Постоянная χ определяется из соотношения z =2k1   v- 2 ,                                          (7)

E где v – коэффициент Пуассона, Е – модуль упругости пород, k – «коэффициент постели» упругого основания, характеризующий деформируемость угля.

Приравнивая в формуле (5) координату z нулю, получаем закон распределения нормального напряжения на границе полупространства

PУ ^     - dt

СУ z ^P -J t J 0 rt ^dt    PG ( x , y )

² 71 0⁰ t +z

При единичной сосредоточенной силе равенство (8) совпадает с аналогичной формулой для σ z , приведенной в работе [1]. Закономерности распределения напряжений и перемещений в изотропном полупространстве, лежащем на упругом основании, при действии на него сосредоточенной силы исследованы в [4], [5].

При переходе в решении (3)-(6) от цилиндрической к прямоугольной системе координат вычислим напряжения от единичной сосредоточенной силы, приложенной в произвольной точке ( ξ,η ) области V . Составляющие напряжений в декартовой системе координат x,y,z имеют вид [6]:

<7 x

⁽<т r * СУ e ⁾+^{( ст r      )}

^{x 2 y 2}

^{x 2 y 2}

аy

( (У r ⁺<У0 )

( (Т r ^- не )

^{x 2 y    2}

x-^ ² y   ²

c

xz

rz

yz

Здесь напряжения ,   , c ,   задаются соотношениями (3)-(6), в которых величина полагается равной r x 2 y 2 12 .

Переход от сосредоточенной силы к распределенной нагрузке осуществим общепринятым в теории упругости способом с помощью принципа суперпозиции. Выделим в окрестности точки приложения сосредоточенной силы (^,п) элементарную площадку d^dq и проинтегрируем, используя [7],[8], правые части соответствующим образом преобразованных соотношений (9)-(14) по области приложения распределенной нагрузки неизвестной интенсивности в(^/ц).

В результате получаем аналитические формулы для расчета напряжений в произвольных точках полупространства

_x ( x , y , z )     ¹       ( ,  )

2 _V

3 z ( x    )²

1  2 z ( y )²   ( x )²   ( y )²

(1  2     tz ) J 0 ( t )

( x    )²   ( y )²

(1   2     tz ) J ₁( t ) e

1z tz tdt t

dd ,

оо

_z ( x , y , z )     ¹       ( , )     ^{3 z}         (1    tz ) J ₀( t ) e

² V 1                  1 ⁵       0

_tz tdt

d d            (15)

z

3 P z ³

2 _r 2 _z 2 ⁵ 2

P t 1+ tz — т

J ₀ rt e ^tz dt ,

² тс 0 t         ⁰

в котором функция G определяется равенством (8). При переходе к безразмерным напряжениям левые и правые части соотношений (15), (16) делятся на pgH.

Результаты численных исследований распределения напряжения для прямоугольной области V со сторонами 10 м и 6 м приведены на рис. 2, 3. Начало декартовой системы координат совмещено с точкой пересечения диагоналей прямоугольника. Так как область V симметрична относительно координатных осей x,y то пространственное распределение безразмерных нормальных напряжений 5^=0^/ pgH , cr_z Ho_zl pgH в плоскости z=6 (рис. 2a, 3a ) исследовано в области V = { x е[0;10], у е[0,10]} , а в плоскости z=0 (рис. 2b,3b ) в области V = { x е[5;10], у е[3,10]}, которая является поверхностью контакта угольного пласта с породой. При расчетах коэффициент Пуассона пород полагался равным 0.25.

Входящий в равенстве (7) коэффициент к оценивался по известной формуле [2]

_к= (1- г _с ) Е_с h (1 + Г с )(1-2г с ) где v_c, Е_с - коэффициент Пуассона и модуль Юнга угольного пласта.

Трехмерные графики построены при х=1м 1 . Аналогичные графики строились для всех компонент напряжений при варьировании параметра %.

а) Область V 1 , плоскость z=6

b) Область V2, плоскость z=0

Рис. 2. Распределение безразмерных напряжений а_х

a) Область V 1 , плоскость z=6

b) Область V 2 , плоскость z=0

Рис. 3. Распределение безразмерных напряжений с_z

Из рис. 2, 3 видно, что картины распределения напряжений в плоскостях z=6м и z=0 отличаются качественно. Расчеты показывают, что в плоскости z=6м в некоторой области V3 , находящейся непосредственно над областью V, распределение напряжений зависит в основном от нагрузки ρgH, по мере удаления от области V3 в плоскости z=6м усиливается влияние параметра χ, характеризующего деформируемость угольного пласта. Зависимость распределения напряжений от параметра χ также возрастает при приближении к граничной плоскости. Из расчетов следует, что в плоскостях z=const нормальные напряжения с ростом χ от 0.2 At ¹ до 1 Ai ¹ увеличиваются в 2-4 раза, касательные изменяются на 2030%. Для получения полных напряжений в массиве необходимо к рассчитанным величинам ст , ст_y ,..., х прибавить начальные напряжения, которые задаются соотношениями (1).

массив горных пород, угольный пласт, призматическая выработка, пространственное напряженно-деформированное состояние, закономерности rock mass, coal seam, prismatic working, the spatial stressed-strained state, regularities t2dt

t