Влияние длины трещин со случайными параметрами на электрическую проводимость горных пород

При решении практических задач горного производства возникает необходимость оценки трещинной пустотности горных пород. Геофизические методы при решении данной задачи являются косвенными, поэтому интерпретация результатов может вызывать определенные трудности, обусловленные непрозрачностью физических связей между параметрами трещин и результатами измерений. В этой связи одним из путей решения данной проблемы является сочетание экспериментальных методов исследования с аналитическим и численным моделированием. Исследования были направлены на изучение электрической проводимости двумерной среды при наличии тонких изолирующих трещин. В статье предложен аналитический метод оценки зависимости удельной проводимости среды с включениями в виде эллиптических трещин от их полудлины. Показано, что данная зависимость имеет вид экспоненты, зависящей от квадрата длины максимальной полуоси в качестве аргумента. Метод моделирования основан на допущении эллиптической формы трещины при устремлении к нулю длины малой полуоси эллипсов. Анализ публикаций и результаты, изложенные в статье, показали, что такой метод нахождения удельной проводимости среды с тонкими трещинами один из наилучших в плане соответствия экспериментальным данным. Его предсказания близки к предсказаниям метода эффективной среды (EMA), но он отличается простотой формул и их физической наглядностью, что существенно для использования при интерпретации данных физического эксперимента. В двумерной постановке проведено численное моделирование в среде COMSOL Multiphysics удельной электрической проводимости образца среды размером 1×1 м с эллиптическими трещинами меньшей, чем у матрицы, проводимости. Рассмотрен квадратный образец единичных размеров с единичной проводимостью, в котором помещалось 25 трещин, имевших равномерное распределение по длине. Было построено 40 моделей, в которых максимальная длина трещин менялась от 0,01 до 0,4 размера образца, с шагом 0,01 м. Показано удовлетворительное соответствие результатов численной и аналитической моделей как визуальное, так и подтвержденное с помощью статистических оценок. Отмечено, что при изменении размера трещин до значения максимальной полуоси a = 0,15 м преобладает влияние одиночных трещин, не выходящих за границы образца. Выше этого значения при a > 0,15 м начинает сказываться влияние слияния трещин, а также их выхода на границы и за пределы образца. Сравнение предложенной теоретической модели электрической проводимости, зависящей от квадрата длины максимальной полуоси трещины, с похожей моделью в виде экспоненты с линейной зависимостью показало лучшее соответствие предложенной модели на стадии отсутствия слияния трещин и их выхода на границы образца при a a > 0,15 м предложенная модель имеет меньший коэффициент детерминации по сравнению с полным диапазоном, включающим оба участка, но более высокий, чем у модели с линейной зависимостью в аргументе экспоненты, что говорит об универсальном характере предложенной модели.