Влияние формы лазерного импульса на характеристики излучения в градиентных кристаллах ниобата лития

В настоящее время ниобат лития является ключевым материалом в фотонике, что позволяет использовать его в промышленности благодаря его коммерческой доступности и физическим свойствам [1–3]. Периодически поляризованный ниобат лития (PPLN — Periodically Poled Lithium Niobate) успешно используется для получения второй гармоники лазерного излучения, который является хорошим аналогом объемных нелинейно-оптических преобразователей из ниобата лития [4]. Применение PPLN-структуры является эффективным решением при преобразовании излучения непрерывных полупроводниковых и волоконных лазеров, а также при создании параметрических генераторов света [5].

Для улучшения более высокоэффективных градиентных PPLN-преобразователей были проведены исследования скоростей роста доменных стенок в градиентных образцах ниобата лития [6]. Однако данные исследования проводились только для постоянного конгруэнтного или стехиометрического составов. Присутствие градиента примеси, например, в виде изменения количества лития в структуре может приводить к изменению ло- кальной скорости роста доменных стенок, что в свою очередь оказывает свое влияние на эффективность работы преобразователя [7], т.к. матрица кристалла будет поглощать, вследствие чего будет изменяться температурное поле внутри. Необходимость повышения энергетической эффективности применима к различным областям, связанных с обработкой и передачей сигналов, включая радиосвязь, оптические системы, акустические приложения и др. [8].

Для анализа влияния градиента состава вдоль оси PPLN на эффективность преобразования излучения накачки на длине 1064 нм во вторую гармонику излучения (ГВГ) была использована схема, представленная на рис. 1.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Согласно фундаментальной классификации [9], классическим нелинейным уравнением Шрёдингера (НУШ) принято называть уравнение вида iux + auxx + f (Iu I) u = 0. (1)

Рис. 1. Схема PPLN-преобразователя

Для исследования влияния градиентного состава кристалла ниобата лития введем выражения для нахождения локальных значений амплитуды волны в модуляторе. С учетом гауссова пучка связана система классического НУШ для Фурье-метода расщепления по физическим факторам [10]:

i u_x

. SA i1 dz

au_xx = — A ² A - ¹ в ⁽¹⁾ xx                 1          2

2 k ₁        2

d ² A 5 1² ’

- i d!=A 2 a d z   2 k

- 1 e.'"^ 2 ²    5 1²

Стоит отметить, что для второго члена присутствуют как пространственные, так и временные производные второго порядка.

В теоретической физике, в частности в нелинейной оптике, распространенным приемом явля-

+

2 π i ω ₁ ² k ₁ c ²

X ⁽²⁾ A 2 A e ~^,A kz ,

■ 5A?     1

-i—- =---A2 A2

d z   2 k ₂

-1 ^21 2       512

4 π i ω ₂ ² k ₂ c ²

X ⁽²⁾ A 22 e ,

где A 1,2 — амплитуды излучения (1-я и 2-я гармоники); z — координата, вдоль которой будет проходить эволюция; k _1,2 — волновые числа; β ₂ — дисперсия групповой скорости (ДГС); Δ k — волновая расстройка, χ ⁽²⁾ = 2 × d eff .

Важным специальным случаем уравнения (1) при f ( u |) = k|u |² является кубическая нелинейность. В связанной системе для каждой из волн эта нелинейность лежит в основе процессов ГВГ, которые, в свою очередь, демонстрируют, что происходит обмен энергиями между амплитудами (2). Соответственно, другие члены в выражении (1) являются прямыми аналогиями для выражений (2):

ется переход в систему координат, движущуюся с групповой скоростью импульса T = t – z / v g , Z = = z [11]. Такая замена позволяет исключить эффекты "сноса" и привести уравнение к безразмерному виду, удобному для анализа солитонных решений. Однако научная новизна заключается в исследовании влияния градиентного состава, который, в свою очередь, оказывает влияние на показатель преломления от продольной координаты z . Введение данной замены будет необоснованным из-за усложнения расчета при помощи ЭВМ, т.к. групповая скорость станет функцией координаты v g ( z ) из-за вышеописанной зависимости концентрационного профиля.

В настоящей работе моделирование проводилось для излучения с длиной волны накачки λ = = 1064 нм (ближний инфракрасный диапазон), что соответствует типичным параметрам Nd:YAG-лазеров. Выбор данной длины волны обусловлен как широким распространением таких лазеров в экспериментальной практике, так и наличием надежных спектральных данных для кристалла ниобата лития, в частности, для расчета показателя преломления по формуле Зельмейера [12].

Один из подходов в рамках спектральных методов, который активно применяется при интегрировании нелинейного уравнения Шредингера, — это метод расщепления по физическим процессам [13–14]. Эта схема не требует условий устойчивости, легко реализуется в коде и по скорости вычислений выигрывает у многих конечноразностных методов [15].

Для решения уравнений (2) был использован симметричный Фурье-метод расщепления по физическим факторам [16]:

A i ⁽ x , t ) = Jie exp

Э (x - x0)22

ω ₁ ²

exp

В связи с тем, что значения для длительности лазерных импульсов τ < 10^–12 c, были учтены потери на поглощение Бугера – Ламберта – Бера и на двухфотонное поглощение [11]:

A -2 ( x , z , t ) =

abs1,2

= exp

1,2

A _01,02 ( x , t ),

где A 01 — начальная амплитуда излучения для волны накачки, учитывающая в себе гауссов пучок; A ₀₂ = 0 — начальная амплитуда излучения второй гармоники; L ^ˆ , N ^ˆ — соответственно дисперсионный и нелинейный операторы. В тривиальном случае операторы имеют вид:

L a = —a ² a - - в ⁽¹⁾

^{1 1} 2 k ₁       ¹ 2 ²

d ² A , dt² ’

^N1 ^A 1 = ^-

П^Г~ x ⁽²⁾ A 2 A * e ~^,Afe;

k 1 c

где a 1,2 — коэффициент поглощения для волн накачки и второй гармоники соответственно, β — коэффициент двухфотонного поглощения.

Данная последовательность выбрана в связи с использованным ранее методом расщепления по физическим процессам.

Для получения графиков распределений внутри кристалла необходимо найти локальные интенсивности волны, которые были заданы на сетке 128 × 1024 × 64 следующим выражением (7):

¹ local ⁽ x , z , t ) = c2n I A C x , z , t )|². ⁽⁷⁾

РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

L A =-- A ² A

^{2 2} 2 k ₂     ²

1 _B (2) ^{d 2} A 2

2 ²¹    dt² ’

N₂ A ₂

4 π i ω ₂ ² k ₂ c ²

x ⁽²⁾ A ² e   z

В общем случае начальная амплитуда излучения с гауссовым пучком представляет собой следующий вид:

В данном разделе проведен анализ распространения лазерного излучения в нелинейной среде кристалла ниобата лития с учетом двух факторов: гауссова профиля поперечного распределения интенсивности пучка (в пл. XY, рис. 1) и неоднородного характера концентрационного профиля лития вдоль направления распространения Z.

Графическое отображение эволюции гауссова пучка представлено на рис. 2.

Рис. 2. Зависимости интенсивности гауссового пучка на выходе преобразователя для концентрационных профилей по Z: а) в в плоскости XY от x ; б) на оси Z от времени t

а

б

Рис. 3. Зависимости интенсивности излучения от импульса формы гиперболического секанса на выходе преобразователя для концентрационных профилей по Z: а) в в плоскости XY от x ; б) на оси Z от времени t

Примечание. Графики на рис. 2, 3 зависимостей интенсивности выходного излучения в поперечнике к направлению Z приведены в координатах по оси X, сдвинутой симметрично вершине пиков, как на рис. 2, а.

Положительным эффектом, продемонстрированным на рис. 2, является то, что как линейный, так и параболические концентрационные профили позволяют сфокусировать пучок лазерного излучения в более узкий пучок, а следовательно, использовать это для улучшения преобразования излучения во вторую гармонику. Также стоит отметить, что значение интенсивности для параболически спадающего концентрационного профиля по длине преобразователя в центре импульса значительно больше по сравнению с постоянным составом, у которого интенсивность распределена в связи с уширением пучка. В свою очередь, значение для параболически возрастающего профиля больше примерно на 0.56, а для линейного концентрационного профиля — примерно на 0.74 в сравнении с постоянным кристаллом.

Импульсы, излучаемые многими лазерами, можно рассчитать, как было рассмотрено выше, при помощи гауссовой формы, однако часто возникает необходимость рассмотреть другие формы импульса. В качестве сравнительного к вышеописанному был использован импульс формы гиперболического секанса, который естественно возникает в связи с оптическими солитонами. Графики для этого случая даны на рис. 3.

Полученные рисунки демонстрируют, что форма импульса оказывает влияние на ширину сигнала на его полувысоте (FWHM(z)) для концентрационных профилей по Z, делая одни профили более эффективными по сравнению с другими.

Для оценки данной эффективности ниже представлены результаты дифракционного и дисперсионного расплываний импульсов для различных концентрационных профилей (рис. 4 и 5).

Для более детального анализа зависимости величины FWHM от формы входного импульса ниже приведены сравнительные графики. На этих графиках представлены результаты для каждого из рассматриваемых типов концентрационных профилей при различных формах входного импульса.

Данное наблюдение подтверждает, что выбор формы импульса является критическим параметром при проектировании градиентных кристаллов.

Представленные рисунки наглядно демонстрируют вывод, сформулированный выше: форма входного импульса оказывает существенное влияние на эволюцию FWHM. В частности, в случае, когда входной импульс имеет форму гиперболического секанса, значения FWHM изменяются в широких пределах в зависимости от типа концентрационного профиля.

а

в

Рис. 4. Дифракционное расплывание импульса различной формы в кристалле с различными типами концентрационного профиля по Z: а — постоянный (1), б — линейный (2), в — параболически спадающий (3), г — параболически возрастающий (4)

б

г

а

в

б

г

Рис. 5. Дисперсионное расплывание импульса различной формы в кристалле с различными типами концентрационного профиля по Z: а — постоянный (1), б — линейный (2), в — параболически спадающий (3), г — параболически возрастающий (4)

Рис. 6 иллюстрируют характер дисперсионного расплывания лазерного импульса для исследованных типов концентрационных профилей. Полученные результаты демонстрируют, что выбор оптимального профиля концентрации лития позволяет эффективно управлять дисперсионным уширением импульса в зависимости от начальной мощности излучения.

Установлено, что постоянный концентрационный профиль является наименее предпочтительным в диапазоне мощностей от 0.5 до 2 кВт, где наблюдается наиболее интенсивное дисперсионное расплывание. Однако при увеличении начальной мощности до 5 кВт данный профиль демонстрирует сопоставимые с другими профилями результаты, а в некоторых случаях оказывается даже более выгодным решением.

Гауссов импульс (рис. 6, а) демонстрирует плавные, в целом монотонные зависимости. Это связано с тем, что гауссов импульс имеет ограниченный спектр и хорошо описывается солитонными решениями. Для него наиболее стабильным во всем диапазоне мощностей оказывается параболически спадающий профиль, который обеспечивает минимальную ширину при 0.5– 8 кВт. Постоянный профиль показывает наибольшее расплывание при малых мощностях, но после

10 кВт его ширина становится наименьшей — это признак перехода в нелинейный режим, где формируется фундаментальный солитон. Параболически возрастающий профиль продемонстрировал существование резонансных пиков на 10 кВт и 20 кВт, связанных с тем, что данный профиль создает дефокусирующую линзу.

Импульс гиперболического секанса (рис. 6, б) имеет более широкие спектральные хвосты. Поэтому при малых мощностях он сильнее подвержен дисперсионному расплыванию, что видно по более высоким значениям FWHM для всех профилей. Однако при увеличении мощности нелинейные эффекты возникают раньше, и уже при 2–5 кВт наблюдаются резонансные явления для постоянного профиля. Наиболее ярко это выражено для параболически возрастающего профиля, у которого возникают два резких пика: при 5 кВт и в диапазоне 50–70 кВт. Это объясняется тем, что возрастающий градиент создает дефокусирующую линзу, и при определенной мощности возникает параметрический резонанс между самофазовой модуляцией и градиентной расфокусировкой. Для гауссова импульса такие резонансы менее выражены, т.к. его спектр ýже и нелинейность нарастает более плавно.

а

б

Рис. 6. Зависимость дисперсионного расплывания от начальной мощности:

а — для гауссовой формы импульса, б — для импульса формы гиперболического секанса

Рис. 7. Зависимость дифракционного расплывания от начальной мощности:

а — для гауссовой формы импульса, б — для импульса формы гиперболического секанса

Рис. 7 наглядно подтверждает сформулированный выше вывод о том, что форма входного импульса оказывает существенное влияние на эволюцию FWHM в зависимости от начальной мощности. Это позволяет, варьируя мощность входного излучения, достигать экстремальных значений FWHM для различных концентрационных профилей.

Гауссов импульс (рис. 7, а) демонстрирует классическое поведение: при малых мощностях (0.5–5 кВт) дифракционное расплывание минимально, т.к. пучок еще не успел расшириться. Затем для постоянного профиля наступает плато (5– 20 кВт), где дифракция и слабая самофокусировка уравновешены. При мощностях выше 30 кВт самофокусировка начинает преобладать, и FWHM снижается. Для параболически спадающего профиля зависимость самая плавная: линза поджимает пучок, и добавление нелинейности лишь немного усиливает этот эффект. Линейный профиль показывает резкий пик при 50 кВт — это нелинейный резонанс, когда период биений между дифракцией и самофокусировкой становится кратным длине кристалла. Параболически возрастающий профиль дает два пика (10–20 кВт и 50– 70 кВт) из-за резонансов между эффектом дефоку-сирующией линзы и самофокусировкой.

Импульс гиперболического секанса (рис. 7, б) имеет более широкий спектр и более высокую пиковую интенсивность при той же мощности, поэтому нелинейные эффекты проявляются при меньших мощностях. Для него постоянный профиль уже при 2 кВт показывает резкое падение

FWHM за счет самофокусировки. Линейный профиль сохраняет пик при 50 кВт, но он становится более острым. Параболически возрастающий профиль дает два пика, причем первый пик сдвигается к 8 кВт, а второй становится более низким. Параболически спадающий профиль остается наиболее стабильным, однако при мощностях от 30 кВт до 60 кВт его преимущество перед постоянным профилем уменьшается.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе проведено численное исследование распространения лазерного излучения в градиентных кристаллах ниобата лития с различными концентрационными профилями PPLN-структуры (постоянным, линейным, параболически спадающим, параболически возрастающим) для двух форм входного импульса (гауссовой и гиперболического секанса). Установлено, что выбор концентрационного профиля существенно влияет на эффективность преобразования во вторую гармонику, а также на характер дисперсионного и дифракционного расплываний лазерного импульса. Наиболее заметные различия в эффективности преобразования наблюдаются между параболическими (как спадающим, так и возрастающим) и линейным концентрационными профилями, тогда как различия между двумя параболическими профилями выражены в меньшей степени. Показано, что форма входного импульса (гауссов или гиперболический секанс) также оказывает значительное влияние на эволюцию ширины импульса вдоль кристалла. В статье также приведена основная математическая модель, которая использовалась при получении графиков.