Влияние квантования коэффициентов передаточной функции цифрового фильтра на его характеристики

При реализации цифровых фильтров значения коэффициентов передаточной функции квантуются и представляются в двоичном коде с ограниченным числом разрядов. Если значения коэффициентов не кратны 2k, то за счет операции округления эти коэффициенты будут отличаться от точных значений.

Из-за округления коэффициентов искажаются как частотные, так и временные характеристики фильтра. Значение искажений существенно зависит от свойств передаточной функции и структуры цифрового фильтра.

В работах [1-2] рассмотрено влияние разрядности коэффициентов на характеристики фильтра, но не исследованы вопросы определения разрядности по заданной погрешности АЧХ фильтра, а так же проанализировано влияние ошибки квантования коэффициентов передаточной функции фильтра на погрешность отсчетов импульсной характеристики.

Метод определения числа разрядов коэффициентов

Известно, что передаточная функция цифрового рекурсивного фильтра с точными значениями коэффициентов имеет вид [1]

E a k z -k H ( Z ) =    -----

1 - E b k z -k k = 1

a ( z ) B ( z ) ^,

где a k , bk — коэффициенты фильтра. Из-за ошибок квантования коэффициенты, значения которых не кратны 2-к, представляются приближенными значениями вида ak = ak + ak ,               (2)

b k = b k + в k ,                (3)

где α_k и β_k – абсолютные значения ошибки квантования.

Обозначим через y ( nT) и y '( nT) выходные последовательности фильтра с точными и приближенными значениями коэффициентов при действии на входе одной и той же последовательности x ( nT ).

Используя разностное уравнение, запишем абсолютную ошибку выходной последовательности из-за квантования коэффициентов в виде [1].

e ^{( nT)} = У '^{( nT} ) ^- У ^{( nT)} =

" N              M _"

= E a k ^{x ( n - k} ) ⁺ E b k y ( n ^{- k} ) ^-

_ k=0                   k=1

⎡N             M

- E akx(n -k)+E bk y(n- k)

⎣k=0                   k=1

Подставляя в уравнение (4) значения приближенных коэффициентов (2) и (3), получим

N

e(nT\ = E аkx(n - k)+ k=0

MMM

E bk e(n - k)+E ek y(n - k)+E eke(n - k) • k =1                     k=1

Пренебрегая в (5) слагаемыми второго порядка малости, имеем

N

e(nT) = E akx(n - k) + k=0

MM

E b k e ( n - k )+ E ^e k y ^{( n} ■^k) • k =1                     k =1

Применим Z-преобразование к обеим частям равенства (6) и, введя обозначения а (z) = E аk z ~k, k=0

M в ( z )= E в k z * , k = 1

L

E ( z ) = Y ( z ) - Y ( z ) = E e ( k ) z "k , k = 0

после группировки слагаемых получим

E( Z) BZZ= = (Y'( z) - Y (z) ) BZZ= = = a ( Z ) x(Z ) + в (Z )Y (Z )

Разделив левую и правую части равенства (10) на X(Z~), имеем

(h (Z) - H(Z)>„ (Z) = a(Z) + в(Z)H(Z). (11)

Y’ (Z ) X (Z )

где

H ( Z ) =

передаточная функция

фильтра с квантованными коэффициентами.

Заменяя в (11) переменную Z на Z = e iωT лучим выражение для относительной погрешности частотной характеристики фильтра

H j ) - H (e" ^T ) = a (e" ^T ) ₊ в ( j ) ₍₁₂₎ H (e'"^T )        A , ( e ^jT )   в . (e ^J " ^T )

Полагаем, что ошибки квантования a _k и в _k статистически независимы друг от друга и максимальные значения их при округлении равны Д = 2^{-( b +1)}, где b - число разрядов двоичного кода при записи коэффициентов.

Определим относительную величину погрешности ΔАЧХ АЧХ фильтра как квадратичную сумму ошибок квантования

ААЧХ =

H ( e ^jmT ) - H ( e ^jmT ) H ( e ^jmT )

= A *

N + 1       M

;-----  72 +----- 7

У1 A„ (e-T )|   |p „ (ejT )|

, (13)

где N и M – количество квантуемых с ошибкой округления коэффициентов полиномов числителя и знаменателя передаточной функции H(Z).

Из формулы (13) определяем количество разрядов при квантовании коэффициентов фильтра, обеспечивающее допустимую величину погрешности ΔАЧХ.

b = int _⎜ log ₂

N+ 1 M

_{A ∞ e} jωT² _{B ∞ e} jωT²

-

log 2 ( А АЧХ ) ^{- 1} .⁽¹4)

Анализ выражения (13) показывает, что макси-мумпогрешностиАЧХ фильтрадостигаетсяначас- тотах, соответствующих частотам нулей и полюсов передаточной функции H (ejwT ) поэтому именно на этих частотах следует определить величину разрядности b при квантовании коэффициентов и выбрать наибольшее из найденных значений.

Анализ погрешности импульсной характеристики

При расчете выходной последовательности y '( nT) с помощью формулы дискретной свертки необходимо учитывать влияние ошибки квантования коэффициентов H ( Z ) на погрешность импульсной характеристики.

Отчеты импульсной характеристики цепи определяются либо по разностному уравнению, либо путем применения обратного 2-преобразования к передаточной функции H ( ).

Пусть имеется цепь второго порядка с передаточной функцией вида

0 3 - 0 5 -1 - 024 -21 + 0 2 -1 - 0 15 -2

Представим передаточную функцию (15) в виде произведения ее нерекурсивной и рекурсивной частей

H ( Z ) = H a ( Z ) H ь ( Z ) =

( a ₀ + a 1 z ¹ + a ₂ z ²)

1 - b ₁ z ^-1 - b ₂ z ^-2

Отсчеты импульснойхарактеристикинерекур-сивной части совпадают с ее коэффициентами ha(nT)={a0; a1; a2} ,           (17)

а рекурсивной части могут быть вычислены с помощью рекурентного соотношения hb ((n + 1)T) = hb (nT)bi + hb ((n - 1)T)b2 . (18) Соответствующий массив отсчетов имеет вид hb(nT) = {1;b1;b12 +b2;b13 +b1b2;b* +2b^b2 +b2 ;...}.(19)

Как известно [3-4], произведению двух Z-преобразований функций соответствует дискретная свертка массивов их отсчетов, поэтому импульсную характеристику всего фильтра h ( nT ) вычисляем по формуле дискретной свертки двух функций h _a( nT ) и h _b( nT )

h ( nT ) = ]T h a ( nT ) h _b ( m - n ) T = a ₀ h b ( mT ) + ⁿ⁼⁰                                    (20)

+ a 1 h _b (( m - 1) T ) + a ₂ h _b (( m - 2) T ) .

Если (13) коэффициенты H(Z) определены с ошибкой округленияΔ = 2-(b+1), то, подставляя в (19) вместо b и b2 их приближенные значения b +Δ и b2+Δ, после группировки слагаемых получим h b (nT) = {1; b1 +A; b12 + b2 + A(2b1 +1) + A2;

b 13 + 2b 1 b 2 +A(3b 12 + 2b 1 + 2b 2 )+A ² (3b 1 + 2)+A ³ . ⁽21)

Пренебрегая в (21) слагаемыми второго и более высокого порядка малости (то есть слагаемыми с сомножителями Δ² , Δ³ и так далее), величину отклонения отсчетов приближенной импульсной характеристики h_b ( nT ) от их точных значений запишем в виде массива

3 h b ( nT ) = h b ( nT )- h b ( nT ) = { 0; АС 1 ; AC 2 ; AC 3 ;.... } (22) где коэффициенты С_i могут быть вычислены как элементы матрицы строки [С], получаемые в результате умножения матрицы строки [B i ]

	[B 1 ] = [1	2 b 1 3 b 12 4 b 13 5 b 14 ...]	(23)
на квадратную матрицу [B2]
	⎡1 1 2b 2	2b 2 3b 2 2 3b 2 2 .⎤
	⎢⎢01   1	3b 2 3b 2 6b 2 2 .
	⎢⎢00 1	1    4b 2 4b 2 .
[B 2 ] =	⎢ 00 0	1      1     5b 2 .	⎥ ,    (24)
	⎢⎢ 00 0	01 1.
	⎢00 0	00 1.
	..   .	.    .    ..

[B 1 ] * [B 2 ] = [C].              (25)

Заменяя в уравнении (19) точные значения коэффициентов a0, a1, a2 и отсчеты импульсной характеристики hb(mT), hb((m - 1)T), hb((m - 2)T) на их приближенные значения, полученные в результате квантования коэффициентов H(z), можем записать h (mT) = (a0 + A)(hb (mT) + 3hb (mT)) +

+ (a 1 + A)(h b ((m - 1)T) + 5h b ((m - 1)T)) +

+ (a ₂ + A)(h b ((m - 2)T) + 84 ((m - 2)T)) *      ₍₂₆₎

* h ( mT ) + a ₀ 3 h _b ( mT ) + A h b ( mT ) + a 1 3 h _b (( m - 1) T ) +

+ Ah b ((m - 1) T ) + a ₂ ^ h _b ((m - 2) T ) +

+ A h b (( m — 2) T ).

Основываясь на статистической независимости ошибок квантования коэффициентов передаточной функции H(z), и учитывая уравнение (22), определим абсолютную погрешность отсчетов импульсной характеристики звена как квадратичную сумму шести слагаемых, входящих в (26)

9h(nT ) = A V ^{( a} 0Q2 ⁺ ( a l C n — i )^{2 +} ( ^a 2 C n - 2 ) 2 ⁺

И (nT) + h„² ((n - X)T) + h² ((n - 2)7 .

Примеры определения разрядностей коэффициентов и погрешности импульсной характеристики

Задана цепь с передаточной функцией

H ( Z ) =

0,3 - 0,5 z -1 - 0,24 z -2 1 + 0,2 z -1 - 0,15 z -2

(*)

Требуется определить разрядность кода квантованных коэффициентов, если относительная квадратичная погрешность АЧХ цепи не должна превышать 0,005. Вычисляем нули и полюсы этой функции z₁₀ =2.055, z₂₀ =-0.389, z_1x =0.3 z_2x =-0.5.

На комплексной плоскости «р» этим значениям нулей и полюсов соответствуют частоты ω=0 и ω=ω4/2.

По формуле (14) определяем требуемое число разрядов на частотах ω = 0 и ω = ω4/2.

( b = int⎜ log2

⎝

0,3-0,5-0,242

+

1+0,2-0,152

-

- log2 (0,005) -1 = 9 , и на частоте ω =ω4 /2

( b = int log2

А

.;-------------а +-------------г

^||0,3+0,5 - 0,24 2    |-1- 0,2 - 0,15

-

-

log 2 ( 0,005 ) -1 = 9 .

Это означает, что при записи коэффициентов в форме 9-разрядного двоичного кода с округлением АЧХ реализованной функции будет отличаться от АЧХ заданной не более чем на 0,5%.

Определим значения погрешностей отсчетов импульсной характеристики передаточной функции (*), если число разрядов двоичного кода квантованных коэффициентов равно 9 ( b = 9).

Импульсная характеристика рекурсивной части цепи, вычисленная по формуле (18), равна

hb (nT) = {1;-0.2;0.19;-0.068;0.0421;0.01862;..}.

Коэффициенты c _i , определяемые по (25),(23) и (24), запишем в виде массива

С i = {0;1;0.6;0.2;0.208;-0.0645;....}.

Абсолютные значения погрешностей первых отсчетов импульсной характеристики рассчитаны по (27)

5 h(0) = 2-10 V 0 + 0 + 0 + 0.32 + 0 = 2,93 1 0-4 ^h(T)=2-10 V0.32 +0+0+(-0.06)2 +0 = 2,99 10-4

S h (2 T ) = 2 ^{- 10} V0.18 2 + 0.5 2 + 0 + 0.057 2 + 0.24 2 =

= 5 , 72 10 ^{- 4} и т.д.

При расчетах учтено, что квантование коэффициента a1 , и поэтому слагаемое hb2((n   T), входящее в (27)

при вычислении погрешностей не учитывается.

Полученный массив погрешностей отсчетов импульсной характеристики можно рассматривать как импульсную характеристику «паразитного фильтра», включенного параллельно идеальному с точной импульсной характеристикой [1].

Дискретная свертка входного сигнала x ( nT ) с найденным массивом значений δh ( nT ) позволяет вычислить ошибку сигнала на выходе e( nT ), появляющуюся вследствие квантования коэффициентов передаточной функции H ( z ).

Заключение

Врезультатепроведенныхисследований,впер-вые получены соотношения, связывающие ошибку квантования коэффициентов фильтра с заданной погрешностью АЧХ фильтра и передаточной функции фильтра, что позволило существенно облегчить задачу нахождения достоверных зна- чений разрядности коэффициентов по известной передаточной функции и заданной погрешности АЧХ фильтра.

Кроме того, впервые описан метод, позволяющий определить абсолютную погрешность отсчетов импульсной характеристики по ошибке квантования коэффициентов, что позволило определить ошибки отсчетов выходного сигнала при заданной величине погрешности АЧХ фильтра.