Влияние поперечной нагрузки на устойчивость сжимаемого продольной силой стержня

Автор: Тарасов В.Н.

Журнал: Известия Коми научного центра УрО РАН @izvestia-komisc

Рубрика: Научные статьи

Статья в выпуске: 4 (62), 2023 года.

Бесплатный доступ

Работа посвящена исследованию влияния нормальной нагрузки на устойчивость сжимаемого продольной силой стержня. Рассматриваются два вида граничных условий: граничные условия жесткой заделки и условия шарнирного опирания. Отмечается, что в случае граничных условий шарнирного опирания форма упругой линии стержня качественно зависит от величины продольной силы.

Упругая энергия, вариационная задача, упругая линия, уравнение эйлера, критическая сила

Короткий адрес: https://sciup.org/149143592

IDR: 149143592   |   DOI: 10.19110/1994-5655-2023-4-18-22

Текст научной статьи Влияние поперечной нагрузки на устойчивость сжимаемого продольной силой стержня

Исследование задач устойчивости гибких элементов конструкций и упругих систем в настоящее время занимает одно из центральных мест в механике деформируемого твердого тела и представляет значительный интерес. Теория устойчивости упругих систем берет свое начало с работ Эйлера по теории продольного изгиба [1]. Проблемы упругой устойчивости исследовались многими авторами [2–5]. Вариационный подход к данным задачам был развит С.П. Тимошенко [6], который решил ряд задач устойчивости стержней, пластин и оболочек. На основе вариационного подхода можно доказать теорему существования решения уравнений равновесия. Также можно убедиться, что в устойчивом положении равновесия функционал полной энергии достигает локального минимума. Общая концепция упругой бифуркационной устойчивости предложена в монографии В.В. Новожилова [7]. В связи со стремительным развитием вычислительной техники и появлением универсальных численных алгоритмов решения краевых задач (метод граничных элементов, метод конечных элементов), к настоящему времени имеются комплексы программ, позволяющие рассчитывать упругие конструкции на устойчивость, например [3].

В общем случае проблемы упругой устойчивости сводятся к нахождению точек бифуркации некоторых нелинейных уравнений, или к нахождению параметров, при которых некоторая вариационная задача имеет несколько решений.

Предположим, что полная потенциальная энергия упругой конструкции имеет вид

Ф( u, X ) = F ( u ) + G ( u,X ) , (1)

где u – функция, характеризующая состояние упругой системы (это может быть, например, вектор перемещения, тензор деформации и т.д.), F ( u ) - упругая энергия системы, G(u, X ) - работа внешних сил, X - параметр, характеризующий внешнюю нагрузку. Пусть уравнение Эйлера для функционала (1) записывается в виде

L ( u,X ) = 0 , (2)

где L – дифференциальный, вообще говоря, нелинейный оператор. Поиск критического параметра λ сводится к нахождению точек бифуркации уравнения (2) .

Одной из важных проблем является задача изучения влияния односторонних связей на устойчивость упругой конструкции. Наличие таких связей приводит к появлению неравенств, которым должны удовлетворять перемещения.

Интересные задачи устойчивости упругих систем при односторонних ограничениях на перемещения решены В.И. Феодосьевым [4]. Он рассмотрел задачу плоского изгиба упругого стержня, находящегося в первоначальном недеформированном состоянии между двумя жесткими стенками на одинаковом расстоянии от каждой из них, исследована задача устойчивости тонкостенного кольца, сжимаемого накинутой на него абсолютно гибкой нерастя- жимой нитью, натягиваемой силой, а также кольца, вставленного в жесткую обойму. Влияние односторонних связей на устойчивость цилиндрических оболочек при осевом сжатии изучалось в работе [8]. Анализ упругих систем на устойчивость при наличии односторонних (неудерживающих) связей сводится к определению параметров, при которых задача оптимизации имеет не единственное решение. Это, в свою очередь, приводит к необходимости решать невыпуклые задачи математического программирования с применением методов глобальной оптимизации. Общая теория и методы решения задач устойчивости упругих систем при наличии односторонних связей изложены в работе [9]. Во многих случаях системы, ограниченные односторонними связями, сводятся к идентификации условной положительности квадратичных форм на конусах. Алгебраический критерий условной положительности в самом важном случае, когда конус есть неотрицательный ортант в Rn, предложен в работах В.Л. Крепса [10] и Л.Б. Рапопорта [11]. Систематическому применению неравенств в механике посвящена монография П. Панагиотопу-лоса [12].

Некоторые контактные задачи, в том числе и задачи устойчивости упругих систем при наличии односторонних ограничений на перемещения, и методы их решений рассмотрены в трудах [13], [14].

В данной работе показано влияние поперечной нагрузки на устойчивость сжимаемого продольной силой стержня. Предполается, что прогибы стержня с одной стороны ограничены жестким препятствием.

Гибкий стержень, нагруженный продольной сжимающей силой и поперечной нагрузкой

l и (i; w ) = / EJ^2-2-p (1 -cos

Ф )+ qw ds ^ min , w,φ

где E — модуль Юнга, J — момент инерции поперечного сечения стержня, l — длина стержня. При этом выполняются геометрические равенства

w s = sin ф,   z s = cos ф.            (4)

Предположим, что сила P больше первой критической силы Эйлера и выполнено неравенство 4 п 2 EJ/l 2 < P <  16 п 2 EJ/l 2 . Пусть ( l 1 ,l 2 ) — интервал максимальной длины, на котором w ( s ) >  0 . Ясно, что ф ( l 1 ) = ф ( l 2 ) = 0 , w ( l 1 ) = w ( l 2 ) = 0 , поэтому можно считать, что l 1 = 0 , l 2 > l/ 2 и w ( s ) = 0 , s Е [0 , l 2 ] . Определение перемещений на интервале [0 ,l 2 ] сводится к задаче изопериметрического типа

U ( w, l 2 ) ^ min , w,φ,l 2

l 2

j sin фds = 0

при условиях (3), (4).

Составим по обычным правилам вариационного исчисления функционал Лагранжа

L ( w,ф,l 2 ) = U ( w,l 2 ) +

l 2

+ J ( A ( w S

sin ф ) + m 1 sin ф ) ds.

Система уравнений Эйлера для функционала L ( w,ф,l 2 ) имеет вид

Рассмотрим стержень длины l, нагруженный продольной сжимающей силой P и поперечной силой q >  0 . Пусть w = w ( s ) , z = z ( s ) — координаты точек упругой линии, s — длина дуги, w ( s ) — прогиб, ось z совпадает с первоначальной недеформированной осью стержня (рис. 1).

EJф'a s + P sin ф — m 1 cos ф + A cos ф = 0 ,

A = q.                       (7)

Из второго уравнения получаем A = — qs + m 2 . Сделаем замену переменных s = l 2 т и введем обозначения

Рисунок 1. Направление действующих сил и форма прогиба стержня.

Figure 1. The direction of the acting forces and the shape of the deflection of the rod.

Предположим, что прогиб стержня ограничен с одной стороны жестким препятствием, так что w ( s ) >  0 . Обозначим через φ угол между касательной к упругой линии и осью z. Для определенности предположим, что выполнены граничные условия жесткой заделки

k 2

Pl 2

EJ ,

= ql 3

p EJ'

m =

( m i — m 2 ) l 2    1

EJ    + 2 P"

Первое из уравнений (7) записывается в виде

φ ′′

—k 2 sin ф — p ( т —

cos ф + m cos ф,

Ф = 0 , w = 0 при s = 0 ,l.         (3)

Определение упругой линии стержня сводится к следующей вариационной проблеме

где штрих обозначает производную по τ . Из условия минимума функционала (6) по переменной l 2 (если l 2 < l ) получаем еще одно граничное условие ф (1) = 0 . Уравнение (9) не интегрируется в квадратурах.

Умножая обе части уравнения (9) на ф ( т ) и интегрируя в пределах от 0 до 1, получим ф 2 (1) = ф 2 (0) . Ясно, что ф (0) >  0 и ф (1) >  0 , ибо в противном случае в достаточно малой окрестности концов интервала [0 , 1] прогиб будет принимать отрицательные значения. Но тогда ф (0) = ф (1) . Из последнего равенства следует, что функция w ( т ) симметрична относительно середины интервала [0 , 1] , т.е. для т Е [0 , 2 ]

w (2 —т )= w (2+ т ) , ф (2 —т )= ф (2+ т )

Интегрируя уравнение (7) в пределах от 0 до1, получим, что 1

m J cos фdт = 0 , а значит, и m = 0 .

Граничные условия жесткой заделки

Пусть ф(а; т) — решение уравнения (9) при m = 0 c начальными условиями ф(0) = 0, ф'(0) = а (решение τ задачи Коши) и w(а; т) = / sin(ф(а; t))dt. Обозначим 0

ш ( а ) = ф ( а ; 1) , ф ( а ) = w ( а ; 1) , тогда

£ ( а ) = V w 2 ( а ) + ш 2 ( а ) .

При фиксированных значениях k и ρ находим все значения параметра α, при которых

С ( а ) = 0 ,                       (10)

т.е. одновременно ^ ( а ) = 0 и ш ( а ) = 0 . Если w ( а ; т ) 0 для всех значений т Е [0 , 1] , то при заданных к и р найдено допустимое положение равновесия.

Графики функции £ ( а ) представлены на рис. 2 и 3. Результаты вычислений для к = 2 . 05 п приведены в табл. 1.

Рисунок 2. График функции ξ ( α ) при k = 2 . 05 π, q = 0 для граничных условий жесткой заделки.

Figure 2. Graph of the function ξ ( α ) for k = 2 . 05 π, q = 0 for boundary conditions of rigid termination.

Рисунок 3. График функции ξ ( α ) при k = 2 . 05 π, q = 0 . 5 для граничных условий жесткой заделки.

Figure 3. Graph of the function ξ ( α ) for k = 2 . 05 π, q = 0 . 5 for boundary conditions of rigid termination.

Таблица 1

Результаты вычислений при k = 2 . 05 π , граничные условия жесткой заделки

Table 1

Calculation results for k = 2 . 05 π , boundary conditions of rigid termination

ρ

0

0 . 5

1

1 . 3

р* = 1 . 6

α 1

0

0 . 471

0 . 414

1 . 414

2 . 26

U 1

0

- 0 . 05

- 0 . 268

- 0 . 499

- 1 . 27

w max

0

0 . 025

0 . 054

0 . 1285

0 . 115

α 2

3 . 958

3 . 02

6 . 55

6 . 4

2 . 26

U 2

- 3 . 868

- 2 . 693

- 2 . 69

- 2 . 256

- 1 . 274

w max

0 . 1909

0 . 179

0 . 163

0 . 151

0 . 115

При р = 0 существуют два корня уравнения (10): первый корень а 1 = 0 соответствует тривиальному решению ф(т) = 0, w(т) = 0, т Е [0, 1], второй корень дает нетривиальное положение равновесия стержня. При при увеличении ρ появляется два нетривиальных решения уравнения (10) (рис. 3).

При ρ > ρ∗ у уравнения (10) нет решений. При мень- ших значениях ρ имеются два корня α1 и α2, α1 < α2, (а2 — а 1) ^ 0 при р ^ р*. Первый корень а 1 возрастает, второй корень а2 убывает, а при р = р* они сливаются в один. В табл. 1 приведены U1 и U2 — значения интеграла U(w) = J фр'2 — к2 (1 — cos ф) — рw^dт. Этот интеграл с точностью до положительной константы совпадает с полной энергией системы. U1 соответствует корню α1, а U2 — корню α2.

На рис. 4 представлена упругая кривая при граничных условиях жесткой заделки. На этом и последующих рисунках по оси абсцисс отложена координата z ( т ) , а по оси ординат — координата w ( т ) .

О 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Рисунок 4. Упругая кривая {z ( т ); w ( т ) }, т Е [0 , 1] , к = 2 . 05 п, ρ = 0 . 5 для граничных условий жесткой заделки.

Figure 4. Elastic curve {z ( т ); w ( т ) }, т Е [0 , 1] , к = 2 . 05 п , р = 0 . 5 , for boundary conditions of rigid termination.

Граничные условия шарнирного опирания

Эти условия означают, что на концах стержня отсутствуют перемещения и изгибающие моменты равны нулю, т.е.

w (0) = 0 , w " (0) = 0 , w (1) = 0 , w '' (1) = 0 .    (11)

Из (4) следует, что (11) эквивалентно условиям ф'(s) = 0, w(s) = 0 при s = 0,l.

На рис. 5 представлена упругая кривая при к = 1 . 3 п, q = 0 .

0.05 0   0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

Рисунок 5. Упругая кривая {z ( т ); w ( т ) }, т Е [0 , 1] , к = 1 . 3 п, ρ = 0 для граничных условий шарнирного опирания.

Figure 5. Elastic curve {z ( т ); w ( т ) }, т Е [0 , 1] , к = 1 . 3 п, р = 0 for boundary conditions of the hinge support.

При данных значениях параметров ( к = 1 . 3 п, q = 0) существует единственная кривая, которая является формой равновесия. Как и в случае граничных условий жесткой заделки при q >  0 , обозначим w ( а ) = ф ( а ; 1) , ^ ( а ) = w ( а ; 1) , £ ( а ) = ^ w 2 ( а) + w 2 ( а ) . Далее находим все значения параметра а , при которых £ ( а) = 0 , т.е.

w (0) = 0 , w (0) = 0 , w (1) = 0 , w (1) = 0 .   (12)

Результаты вычислений при к = 1 . 3 п приведены в табл. 2.

Таблица 2

Результаты вычислений при k = 1 . 3 π для граничных условий шарнирного опирания

Table 2

Calculation results for k = 1 . 3 π for boundary conditions of the hinge support

ρ

0

20

30

30 . 45

40

α 1

0

1 . 05

1 . 38

1 . 38

1 . 55

U 1

0

- 0 . 381

- 0 . 116

0 . 0089

1 . 05

w max

0

0 . 297

0 . 353

0 . 373

0 . 358

α 2

1 . 93

2 . 12

2 . 30

2 . 325

2 . 56

U 2

- 11 . 9

- 8 . 79

- 8 . 39

- 8 . 45

- 9 . 07

w max

0 . 403

0 . 396

0 . 38

0 . 373

0 . 358

Как и в случае жесткой заделки при q >  0 (не очень больших), найдется два решения уравнения (12) α 1 и α 2 , графики которых представлены на рис. 6 и 7 при к = 1 . 3 п, р = 30 .

Рисунок 6. Упругая кривая {z ( т ); w ( т ) }, т Е [0 , 1] , к = 1 . 3 п, q = 30 , α 1 = 1 . 38 для граничных условий шарнирного опирания.

Figure 6. Elastic curve {z ( т ); w ( т ) }, т Е [0 , 1] , к = 1 . 3 п, q = 30 , α 1 = 1 . 38 for boundary conditions of the hinge support.

Рисунок 7. Упругая кривая {z ( т ); w ( т ) }, т Е [0 , 1] , к = 1 . 3 п, q = 30 , α 2 = 2 . 30 для граничных условий шарнирного опирания.

Figure 7. Elastic curve {z ( т ); w ( т ) }, т Е [0 , 1] , к = 1 . 3 п, q = 30 , α 2 = 2 . 30 for boundary conditions of the hinge support.

Таблица 3

Результаты вычислений при k = 1 . 1 π для граничных условий шарнирного опирания

Table 3

Calculation results for k = 1 . 1 π for boundary conditions of the hinge support

ρ

0

2

2 . 5

3 . 0

4 . 0

α 1

0

0 . 408

. 5495

-

-

U 1

0

- 0 . 291

- 0 . 546

-

-

w max

0

0 . 128

0 . 549

-

-

α 2

1 . 21

1 . 07

0 . 801

0 . 801

0 . 801

U 2

- 3 . 67

- 2 . 55

- 2 . 09

- 1 . 24

- 1 . 15

w max

0 . 329

0 . 301

0 . 284

0 . 23

0 . 241

Результаты вычислений существенно зависят от величины продольной силы k. Для небольших значений k при увеличении поперечной нагрузки q первый корень α 1 исчезает (табл. 3). В частности, при к = 1 . 1 п, q >  3 остается только один корень уравнения (12). Если k достаточно велико, то начиная с некоторых q первому корню будет соответствовать положительное значение полной энергии. Например, при к = 1 . 3 п , р >  301 . 45 , что говорит о неусточивости такого положения равновесия. Поэтому на практике оно не реализуется.

Список литературы Влияние поперечной нагрузки на устойчивость сжимаемого продольной силой стержня

  • Николаи, Е.Л. Труды по механике / Е.Л. Николаи. – Москва: Гостехиздат, 1955. – 583 с.
  • Вольмир, А.С. Устойчивость деформируемых систем / А.С. Вольмир. – Москва: Наука, 1967. – 984 с.
  • Перельмутер, А.В. Устойчивость равновесия конструкций и родственные проблемы / А.В. Перельмутер, В.И. Сливкер. – Москва: Издательство СКАД СОФТ, 2010–2011. – Т. 1. – 686 с.
  • Феодосьев, В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов / В.И. Феодосьев. – Москва: Наука, 1967. – 376 с.
  • Келлер, Дж.Б. Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения / Дж.Б. Келлер, С. Антман. – Москва: Мир, 1974. – 254 с.
  • Тимошенко, С.П. Устойчивость упругих систем / С.П. Тимошенко. – Москва–Ленинград: Гостехиздат, 1946. – 531 с.
  • Новожилов, В.В. Основы нелинейной теории упругости / В.В. Новожилов. – Москва: Гостехиздат, 1948. – 211 с.
  • Алфутов, Н.А. Влияние односторонних связей на устойчивость цилиндрических оболочек при осевом сжатии / Н.А. Алфутов, А.Н. Еремичев // Расчеты на прочность. – Москва: Машиностроение, 1989. – С. 179–180.
  • Тарасов, В.Н. Методы оптимизации в исследовании конструктивно-нелинейных задач механики упругих систем // В.Н. Тарасов. – Сыктывкар: Коми научный центр УрО РАН, 2013. – 238 с.
  • Крепс, В.Л. О квадратичных формах неотрицательных на ортанте / В.Л. Крепс // Журнал выч. матем. и матем. физики. – 1984. – Т. 24, № 14. – С. 497–503.
  • Рапопорт, Л.Б. Устойчивость по Ляпунову и знакоопределенность квадратичной формы на конусе / Л.Б. Рапопорт // Прикл. матем. и мех. – 1986. – Т. 50, вып. 4. – С. 674–679.
  • Панагиотопулос, П. Неравенства в механике и их приложения. Выпуклые и невыпуклые функции энергии / П. Панагиотопулос. – Москва: Мир, 1989. – 494 с.
  • Andryukova, V. Nonsmooth problem of stability for elastic rings / V. Andryukova, V. Tarasov // Abstracts of the Int. Conf. “Constructive Nonsmooth Analysis and Related Topics” dedicated to the memory of Professor V.F. Demyanov. Part I. – Saint-Petersburg: Institute of Electrical and Electronic Engineers, 2017. – P. 213–218.
  • Tarasov, V. Nonsmooth problems in the mechanics of elastic systems / V. Tarasov // Abstracts of the Int. Conf. “Constructive Nonsmooth Analysis and Related Topics” dedicated to the memory of Professor V.F. Demyanov. Part I. – Saint-Petersburg: Institute of Electrical and Electronic Engineers, 2017. – P. 252–256.
Еще
Статья научная