Влияние поперечной нагрузки на устойчивость сжимаемого продольной силой стержня
Автор: Тарасов В.Н.
Журнал: Известия Коми научного центра УрО РАН @izvestia-komisc
Рубрика: Научные статьи
Статья в выпуске: 4 (62), 2023 года.
Бесплатный доступ
Работа посвящена исследованию влияния нормальной нагрузки на устойчивость сжимаемого продольной силой стержня. Рассматриваются два вида граничных условий: граничные условия жесткой заделки и условия шарнирного опирания. Отмечается, что в случае граничных условий шарнирного опирания форма упругой линии стержня качественно зависит от величины продольной силы.
Упругая энергия, вариационная задача, упругая линия, уравнение эйлера, критическая сила
Короткий адрес: https://sciup.org/149143592
IDR: 149143592 | DOI: 10.19110/1994-5655-2023-4-18-22
Текст научной статьи Влияние поперечной нагрузки на устойчивость сжимаемого продольной силой стержня
Исследование задач устойчивости гибких элементов конструкций и упругих систем в настоящее время занимает одно из центральных мест в механике деформируемого твердого тела и представляет значительный интерес. Теория устойчивости упругих систем берет свое начало с работ Эйлера по теории продольного изгиба [1]. Проблемы упругой устойчивости исследовались многими авторами [2–5]. Вариационный подход к данным задачам был развит С.П. Тимошенко [6], который решил ряд задач устойчивости стержней, пластин и оболочек. На основе вариационного подхода можно доказать теорему существования решения уравнений равновесия. Также можно убедиться, что в устойчивом положении равновесия функционал полной энергии достигает локального минимума. Общая концепция упругой бифуркационной устойчивости предложена в монографии В.В. Новожилова [7]. В связи со стремительным развитием вычислительной техники и появлением универсальных численных алгоритмов решения краевых задач (метод граничных элементов, метод конечных элементов), к настоящему времени имеются комплексы программ, позволяющие рассчитывать упругие конструкции на устойчивость, например [3].
В общем случае проблемы упругой устойчивости сводятся к нахождению точек бифуркации некоторых нелинейных уравнений, или к нахождению параметров, при которых некоторая вариационная задача имеет несколько решений.
Предположим, что полная потенциальная энергия упругой конструкции имеет вид
Ф( u, X ) = F ( u ) + G ( u,X ) , (1)
где u – функция, характеризующая состояние упругой системы (это может быть, например, вектор перемещения, тензор деформации и т.д.), F ( u ) - упругая энергия системы, G(u, X ) - работа внешних сил, X - параметр, характеризующий внешнюю нагрузку. Пусть уравнение Эйлера для функционала (1) записывается в виде
L ( u,X ) = 0 , (2)
где L – дифференциальный, вообще говоря, нелинейный оператор. Поиск критического параметра λ сводится к нахождению точек бифуркации уравнения (2) .
Одной из важных проблем является задача изучения влияния односторонних связей на устойчивость упругой конструкции. Наличие таких связей приводит к появлению неравенств, которым должны удовлетворять перемещения.
Интересные задачи устойчивости упругих систем при односторонних ограничениях на перемещения решены В.И. Феодосьевым [4]. Он рассмотрел задачу плоского изгиба упругого стержня, находящегося в первоначальном недеформированном состоянии между двумя жесткими стенками на одинаковом расстоянии от каждой из них, исследована задача устойчивости тонкостенного кольца, сжимаемого накинутой на него абсолютно гибкой нерастя- жимой нитью, натягиваемой силой, а также кольца, вставленного в жесткую обойму. Влияние односторонних связей на устойчивость цилиндрических оболочек при осевом сжатии изучалось в работе [8]. Анализ упругих систем на устойчивость при наличии односторонних (неудерживающих) связей сводится к определению параметров, при которых задача оптимизации имеет не единственное решение. Это, в свою очередь, приводит к необходимости решать невыпуклые задачи математического программирования с применением методов глобальной оптимизации. Общая теория и методы решения задач устойчивости упругих систем при наличии односторонних связей изложены в работе [9]. Во многих случаях системы, ограниченные односторонними связями, сводятся к идентификации условной положительности квадратичных форм на конусах. Алгебраический критерий условной положительности в самом важном случае, когда конус есть неотрицательный ортант в Rn, предложен в работах В.Л. Крепса [10] и Л.Б. Рапопорта [11]. Систематическому применению неравенств в механике посвящена монография П. Панагиотопу-лоса [12].
Некоторые контактные задачи, в том числе и задачи устойчивости упругих систем при наличии односторонних ограничений на перемещения, и методы их решений рассмотрены в трудах [13], [14].
В данной работе показано влияние поперечной нагрузки на устойчивость сжимаемого продольной силой стержня. Предполается, что прогибы стержня с одной стороны ограничены жестким препятствием.
Гибкий стержень, нагруженный продольной сжимающей силой и поперечной нагрузкой
l и (i; w ) = / EJ^2-2-p (1 -cos
Ф )+ qw ds ^ min , w,φ
где E — модуль Юнга, J — момент инерции поперечного сечения стержня, l — длина стержня. При этом выполняются геометрические равенства
w ’ s = sin ф, z ‘ s = cos ф. (4)
Предположим, что сила P больше первой критической силы Эйлера и выполнено неравенство 4 п 2 EJ/l 2 < P < 16 п 2 EJ/l 2 . Пусть ( l 1 ,l 2 ) — интервал максимальной длины, на котором w ( s ) > 0 . Ясно, что ф ( l 1 ) = ф ( l 2 ) = 0 , w ( l 1 ) = w ( l 2 ) = 0 , поэтому можно считать, что l 1 = 0 , l 2 > l/ 2 и w ( s ) = 0 , s Е [0 , l 2 ] . Определение перемещений на интервале [0 ,l 2 ] сводится к задаче изопериметрического типа
U ( w, l 2 ) ^ min , w,φ,l 2
l 2
j sin фds = 0
при условиях (3), (4).
Составим по обычным правилам вариационного исчисления функционал Лагранжа
L ( w,ф,l 2 ) = U ( w,l 2 ) +
l 2
+ J ( A ( w S
— sin ф ) + m 1 sin ф ) ds.
Система уравнений Эйлера для функционала L ( w,ф,l 2 ) имеет вид
Рассмотрим стержень длины l, нагруженный продольной сжимающей силой P и поперечной силой q > 0 . Пусть w = w ( s ) , z = z ( s ) — координаты точек упругой линии, s — длина дуги, w ( s ) — прогиб, ось z совпадает с первоначальной недеформированной осью стержня (рис. 1).
EJф'a s + P sin ф — m 1 cos ф + A cos ф = 0 ,
A ’ = q. (7)
Из второго уравнения получаем A = — qs + m 2 . Сделаем замену переменных s = l 2 т и введем обозначения

Рисунок 1. Направление действующих сил и форма прогиба стержня.
Figure 1. The direction of the acting forces and the shape of the deflection of the rod.
Предположим, что прогиб стержня ограничен с одной стороны жестким препятствием, так что w ( s ) > 0 . Обозначим через φ угол между касательной к упругой линии и осью z. Для определенности предположим, что выполнены граничные условия жесткой заделки
k 2
Pl 2
EJ ,
= ql 3
p EJ'
m =
( m i — m 2 ) l 2 1
EJ + 2 P"
Первое из уравнений (7) записывается в виде
φ ′′
—k 2 sin ф — p ( т —
cos ф + m cos ф,
Ф = 0 , w = 0 при s = 0 ,l. (3)
Определение упругой линии стержня сводится к следующей вариационной проблеме
где штрих обозначает производную по τ . Из условия минимума функционала (6) по переменной l 2 (если l 2 < l ) получаем еще одно граничное условие ф (1) = 0 . Уравнение (9) не интегрируется в квадратурах.
Умножая обе части уравнения (9) на ф ( т ) и интегрируя в пределах от 0 до 1, получим ф 2 (1) = ф 2 (0) . Ясно, что ф (0) > 0 и ф (1) > 0 , ибо в противном случае в достаточно малой окрестности концов интервала [0 , 1] прогиб будет принимать отрицательные значения. Но тогда ф (0) = ф (1) . Из последнего равенства следует, что функция w ( т ) симметрична относительно середины интервала [0 , 1] , т.е. для т Е [0 , 2 ]
w (2 —т )= w (2+ т ) , ф (2 —т )= — ф (2+ т ) •
Интегрируя уравнение (7) в пределах от 0 до1, получим, что 1
m J cos фdт = 0 , а значит, и m = 0 .
Граничные условия жесткой заделки
Пусть ф(а; т) — решение уравнения (9) при m = 0 c начальными условиями ф(0) = 0, ф'(0) = а (решение τ задачи Коши) и w(а; т) = / sin(ф(а; t))dt. Обозначим 0
ш ( а ) = ф ( а ; 1) , ф ( а ) = w ( а ; 1) , тогда
£ ( а ) = V w 2 ( а ) + ш 2 ( а ) .
При фиксированных значениях k и ρ находим все значения параметра α, при которых
С ( а ) = 0 , (10)
т.е. одновременно ^ ( а ) = 0 и ш ( а ) = 0 . Если w ( а ; т ) > 0 для всех значений т Е [0 , 1] , то при заданных к и р найдено допустимое положение равновесия.
Графики функции £ ( а ) представлены на рис. 2 и 3. Результаты вычислений для к = 2 . 05 п приведены в табл. 1.

Рисунок 2. График функции ξ ( α ) при k = 2 . 05 π, q = 0 для граничных условий жесткой заделки.
Figure 2. Graph of the function ξ ( α ) for k = 2 . 05 π, q = 0 for boundary conditions of rigid termination.

Рисунок 3. График функции ξ ( α ) при k = 2 . 05 π, q = 0 . 5 для граничных условий жесткой заделки.
Figure 3. Graph of the function ξ ( α ) for k = 2 . 05 π, q = 0 . 5 for boundary conditions of rigid termination.
Таблица 1
Результаты вычислений при k = 2 . 05 π , граничные условия жесткой заделки
Table 1
Calculation results for k = 2 . 05 π , boundary conditions of rigid termination
ρ |
0 |
0 . 5 |
1 |
1 . 3 |
р* = 1 . 6 |
α 1 |
0 |
0 . 471 |
0 . 414 |
1 . 414 |
2 . 26 |
U 1 |
0 |
- 0 . 05 |
- 0 . 268 |
- 0 . 499 |
- 1 . 27 |
w max |
0 |
0 . 025 |
0 . 054 |
0 . 1285 |
0 . 115 |
α 2 |
3 . 958 |
3 . 02 |
6 . 55 |
6 . 4 |
2 . 26 |
U 2 |
- 3 . 868 |
- 2 . 693 |
- 2 . 69 |
- 2 . 256 |
- 1 . 274 |
w max |
0 . 1909 |
0 . 179 |
0 . 163 |
0 . 151 |
0 . 115 |
При р = 0 существуют два корня уравнения (10): первый корень а 1 = 0 соответствует тривиальному решению ф(т) = 0, w(т) = 0, т Е [0, 1], второй корень дает нетривиальное положение равновесия стержня. При при увеличении ρ появляется два нетривиальных решения уравнения (10) (рис. 3).
При ρ > ρ∗ у уравнения (10) нет решений. При мень- ших значениях ρ имеются два корня α1 и α2, α1 < α2, (а2 — а 1) ^ 0 при р ^ р*. Первый корень а 1 возрастает, второй корень а2 убывает, а при р = р* они сливаются в один. В табл. 1 приведены U1 и U2 — значения интеграла U(w) = J фр'2 — к2 (1 — cos ф) — рw^dт. Этот интеграл с точностью до положительной константы совпадает с полной энергией системы. U1 соответствует корню α1, а U2 — корню α2.
На рис. 4 представлена упругая кривая при граничных условиях жесткой заделки. На этом и последующих рисунках по оси абсцисс отложена координата z ( т ) , а по оси ординат — координата w ( т ) .

О 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
Рисунок 4. Упругая кривая {z ( т ); w ( т ) }, т Е [0 , 1] , к = 2 . 05 п, ρ = 0 . 5 для граничных условий жесткой заделки.
Figure 4. Elastic curve {z ( т ); w ( т ) }, т Е [0 , 1] , к = 2 . 05 п , р = 0 . 5 , for boundary conditions of rigid termination.
Граничные условия шарнирного опирания
Эти условия означают, что на концах стержня отсутствуют перемещения и изгибающие моменты равны нулю, т.е.
w (0) = 0 , w " (0) = 0 , w (1) = 0 , w '' (1) = 0 . (11)
Из (4) следует, что (11) эквивалентно условиям ф'(s) = 0, w(s) = 0 при s = 0,l.
На рис. 5 представлена упругая кривая при к = 1 . 3 п, q = 0 .

0.05 0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
Рисунок 5. Упругая кривая {z ( т ); w ( т ) }, т Е [0 , 1] , к = 1 . 3 п, ρ = 0 для граничных условий шарнирного опирания.
Figure 5. Elastic curve {z ( т ); w ( т ) }, т Е [0 , 1] , к = 1 . 3 п, р = 0 for boundary conditions of the hinge support.
При данных значениях параметров ( к = 1 . 3 п, q = 0) существует единственная кривая, которая является формой равновесия. Как и в случае граничных условий жесткой заделки при q > 0 , обозначим w ( а ) = ф ( а ; 1) , ^ ( а ) = w ( а ; 1) , £ ( а ) = ^ w 2 ( а) + w 2 ( а ) . Далее находим все значения параметра а , при которых £ ( а) = 0 , т.е.
w (0) = 0 , w ‘ (0) = 0 , w (1) = 0 , w ‘ (1) = 0 . (12)
Результаты вычислений при к = 1 . 3 п приведены в табл. 2.
Таблица 2
Результаты вычислений при k = 1 . 3 π для граничных условий шарнирного опирания
Table 2
Calculation results for k = 1 . 3 π for boundary conditions of the hinge support
ρ |
0 |
20 |
30 |
30 . 45 |
40 |
α 1 |
0 |
1 . 05 |
1 . 38 |
1 . 38 |
1 . 55 |
U 1 |
0 |
- 0 . 381 |
- 0 . 116 |
0 . 0089 |
1 . 05 |
w max |
0 |
0 . 297 |
0 . 353 |
0 . 373 |
0 . 358 |
α 2 |
1 . 93 |
2 . 12 |
2 . 30 |
2 . 325 |
2 . 56 |
U 2 |
- 11 . 9 |
- 8 . 79 |
- 8 . 39 |
- 8 . 45 |
- 9 . 07 |
w max |
0 . 403 |
0 . 396 |
0 . 38 |
0 . 373 |
0 . 358 |
Как и в случае жесткой заделки при q > 0 (не очень больших), найдется два решения уравнения (12) α 1 и α 2 , графики которых представлены на рис. 6 и 7 при к = 1 . 3 п, р = 30 .

Рисунок 6. Упругая кривая {z ( т ); w ( т ) }, т Е [0 , 1] , к = 1 . 3 п, q = 30 , α 1 = 1 . 38 для граничных условий шарнирного опирания.
Figure 6. Elastic curve {z ( т ); w ( т ) }, т Е [0 , 1] , к = 1 . 3 п, q = 30 , α 1 = 1 . 38 for boundary conditions of the hinge support.

Рисунок 7. Упругая кривая {z ( т ); w ( т ) }, т Е [0 , 1] , к = 1 . 3 п, q = 30 , α 2 = 2 . 30 для граничных условий шарнирного опирания.
Figure 7. Elastic curve {z ( т ); w ( т ) }, т Е [0 , 1] , к = 1 . 3 п, q = 30 , α 2 = 2 . 30 for boundary conditions of the hinge support.
Таблица 3
Результаты вычислений при k = 1 . 1 π для граничных условий шарнирного опирания
Table 3
Calculation results for k = 1 . 1 π for boundary conditions of the hinge support
ρ |
0 |
2 |
2 . 5 |
3 . 0 |
4 . 0 |
α 1 |
0 |
0 . 408 |
. 5495 |
- |
- |
U 1 |
0 |
- 0 . 291 |
- 0 . 546 |
- |
- |
w max |
0 |
0 . 128 |
0 . 549 |
- |
- |
α 2 |
1 . 21 |
1 . 07 |
0 . 801 |
0 . 801 |
0 . 801 |
U 2 |
- 3 . 67 |
- 2 . 55 |
- 2 . 09 |
- 1 . 24 |
- 1 . 15 |
w max |
0 . 329 |
0 . 301 |
0 . 284 |
0 . 23 |
0 . 241 |
Результаты вычислений существенно зависят от величины продольной силы k. Для небольших значений k при увеличении поперечной нагрузки q первый корень α 1 исчезает (табл. 3). В частности, при к = 1 . 1 п, q > 3 остается только один корень уравнения (12). Если k достаточно велико, то начиная с некоторых q первому корню будет соответствовать положительное значение полной энергии. Например, при к = 1 . 3 п , р > 301 . 45 , что говорит о неусточивости такого положения равновесия. Поэтому на практике оно не реализуется.
Список литературы Влияние поперечной нагрузки на устойчивость сжимаемого продольной силой стержня
- Николаи, Е.Л. Труды по механике / Е.Л. Николаи. – Москва: Гостехиздат, 1955. – 583 с.
- Вольмир, А.С. Устойчивость деформируемых систем / А.С. Вольмир. – Москва: Наука, 1967. – 984 с.
- Перельмутер, А.В. Устойчивость равновесия конструкций и родственные проблемы / А.В. Перельмутер, В.И. Сливкер. – Москва: Издательство СКАД СОФТ, 2010–2011. – Т. 1. – 686 с.
- Феодосьев, В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов / В.И. Феодосьев. – Москва: Наука, 1967. – 376 с.
- Келлер, Дж.Б. Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения / Дж.Б. Келлер, С. Антман. – Москва: Мир, 1974. – 254 с.
- Тимошенко, С.П. Устойчивость упругих систем / С.П. Тимошенко. – Москва–Ленинград: Гостехиздат, 1946. – 531 с.
- Новожилов, В.В. Основы нелинейной теории упругости / В.В. Новожилов. – Москва: Гостехиздат, 1948. – 211 с.
- Алфутов, Н.А. Влияние односторонних связей на устойчивость цилиндрических оболочек при осевом сжатии / Н.А. Алфутов, А.Н. Еремичев // Расчеты на прочность. – Москва: Машиностроение, 1989. – С. 179–180.
- Тарасов, В.Н. Методы оптимизации в исследовании конструктивно-нелинейных задач механики упругих систем // В.Н. Тарасов. – Сыктывкар: Коми научный центр УрО РАН, 2013. – 238 с.
- Крепс, В.Л. О квадратичных формах неотрицательных на ортанте / В.Л. Крепс // Журнал выч. матем. и матем. физики. – 1984. – Т. 24, № 14. – С. 497–503.
- Рапопорт, Л.Б. Устойчивость по Ляпунову и знакоопределенность квадратичной формы на конусе / Л.Б. Рапопорт // Прикл. матем. и мех. – 1986. – Т. 50, вып. 4. – С. 674–679.
- Панагиотопулос, П. Неравенства в механике и их приложения. Выпуклые и невыпуклые функции энергии / П. Панагиотопулос. – Москва: Мир, 1989. – 494 с.
- Andryukova, V. Nonsmooth problem of stability for elastic rings / V. Andryukova, V. Tarasov // Abstracts of the Int. Conf. “Constructive Nonsmooth Analysis and Related Topics” dedicated to the memory of Professor V.F. Demyanov. Part I. – Saint-Petersburg: Institute of Electrical and Electronic Engineers, 2017. – P. 213–218.
- Tarasov, V. Nonsmooth problems in the mechanics of elastic systems / V. Tarasov // Abstracts of the Int. Conf. “Constructive Nonsmooth Analysis and Related Topics” dedicated to the memory of Professor V.F. Demyanov. Part I. – Saint-Petersburg: Institute of Electrical and Electronic Engineers, 2017. – P. 252–256.