Влияние поверхностных эффектов в задаче теории упругости для кругового отверстия в полуплоскости

ВЕСТНИК ПНИПУ. МЕХАНИКА № 4, 2020PNRPU MECHANICS BULLETIN

Вблизи поверхностей твердых тел на наноуровне проявляются особые физико-механические свойства, которые могут значительно отличаться от свойств материала вдали от поверхности – начиная отличием в химических связях для приповерхностных атомов и наличия свободных радикалов и заканчивая присутствием оксидных пленок и повышенной концентрацией примесных атомов [1–3]. Один из основных способов для учета поверхностных явлений – использование, помимо уравнений теории упругости, уравнения поверхностной упругости [1–4]. Достаточно общий метод решения задач теории упругости, учитывающий поверхностные эффекты, заключающийся в использовании характерных нестандартных граничных условий, вытекающих из уравнений поверхностной упругости, был развит в работах [1–6]. Однако к настоящему времени число полученных аналитических решений ограничено, что, возможно, связано с весьма «неудобным» видом получаемых граничных условий. Значительная часть полученных решений для задач, учитывающих поверхностные эффекты, ограничено довольно простыми геометриями, такими как сферическая пора [7–9], плоскость с одиночным круговым отверстием [10], одиночная пластина [11], однако отно- сительный вклад поверхностных эффектов для круговых и сферических поверхностей минимален. В работах [12, 13] рассматривались задачи о плоскости с двумя круговыми отверстиями и в неконцентрической трубе, где влияние поверхностных эффектов было более существенным. Из недавних работ, посвященных исследованию вклада поверхностных эффектов, отметим [14–18]. В настоящей работе рассмотрена задача о круговом отверстии в подвергнутой растяжению полуплоскости; в данной задаче, несмотря на довольно простую геометрию, из-за достаточно малого расстояния между границами (т.е. между отверстием и границей полуплоскости) можно ожидать более весомого вклада поверхностных эффектов.

Отметим, что теория поверхностной упругости, используемая в настоящей работе, является наиболее распространенной, но не единственной. В данной теории, ставшей уже традиционной, в дополнение к объемным напряжениям и деформациям, предполагается существование дополнительных поверхностных напряжений, действующих подобно напряжениям в мембранах, совпадающих с внешними поверхностями тел либо внутренними поверхностями раздела. Данные поверхностные напряжения связываются с объемными деформациями посредством аналога закона Гука, а дополнительные поверхностные деформации при этом не вво- дятся. Альтернативные теории (например, [19]) рассматривают дополнительные поверхностные (интерфейсные) деформации, связываемые с объемными напряжениями. Недавно предложены также варианты теории, объединяющие данные подходы [20–22].

Отметим также, что полученные решения представляют интерес не только сами по себе, но и в качестве вспомогательных решений при решении более сложных задач, например, задач о взаимодействии пор с растущими трещинами [23–24].

1.    Геометрия, биполярные координаты, общие соотношения

Рассмотрим полуплоскость, содержащую круговое отверстие и растягиваемую вдоль ее границы постоянными напряжениями, приложенными на бесконечности (рис. 1). В данной задаче выполнены условия плоской деформации, а на контуре отверстия и границе полуплоскости вводятся дополнительные соотношения, характеризующие поверхностные эффекты (см. п. 2). В случае классической упругости задача была решена в [25–27]. В настоящей работе получено обобщение данного решения с учетом поверхностных эффектов на контуре кругового отверстия и границы полуплоскости. Следуя работе [25], введем биполярную систему координат (α, β), связанную с декартовой системой координат ( х , y ) следующим образом:

же оси Ox , координатная линия a = 0 - соответствует оси Ox .

Координатные линии в = const представляют собой дуги окружностей, проходящих через точку O 1 , ортогональные окружностям a = const. Справа от оси Oy значения в >  0, а с левой стороны — в <  0, значение в = 0 соответствует оси Oy , кроме отрезка OO 1 , где координата в терпит разрыв, а именно: слева от оси Oy ( x = -0 ) в = -п , а справа ( x = +0 ) в = + п . Непосредственно в точке O 1 - a = +~ , а в не определено.

Будем считать, что известное постоянное значение a = y соответствует контуру отверстия, тогда, для радиуса отверстия R и расстояния между границей полуплоскости и центром отверстия d имеют место следующие соотношения:

R = %rnh _Y, d = ^{а coth} Y, d/R = ^cosh Y. ⁽³⁾

Компоненты тензора напряжений σ _ij определяются через бигармоническую функцию напряжений Φ(α,β) следующим образом [26]:

А2Ф = 0, d4 „ d4      d4

+ 2 + d a ⁴ д a ² д в ² д в ⁴

- 2 X + 2 X + 1 d a ² д в ²

d a ²

( g Ф ) = 0.

x + iy = - a coth I i

a + i в

| x + i(y + a) a + i в = ln

^ x + i (y - a)

a σ

αα

(cosh a - cos в) -^-7- sinh a—-

^{(              Р)} д в²           d a

где a e ( -^, +^ ) , в е [ -п, +п ] .

Полюс O 1 расположен на расстоянии a от полуплоскости. Масштабный коэффициент имеет вид

- sin в-- + cosh a д в

⁽ g ^ф ) ,

a ° ₽₽ =

(cosh a - cos в) -^-7- sinh a—-

(            P) da2         da

g = 1/

cosh a - cos в

a

- sin в-- + cos в д в

⁽ g ^ф ) .

Рис. 1. Геометрия задачи

Fig. 1. The problem geometry

Координатные линии a = const представляют собой набор окружностей с центрами на оси Oy. Окружности, у которых значение α соответствуют положительным значениям, лежат выше оси Ox, а отрицательным – ни- д2

а ^с =в = ^- ( ^{cosh a - cos в} )т^"( g ^ф ) . д a д в

Бигармоническая функция напряжения Φ(α, β) для плоской задачи, в которой содержится круговое отверстие, представляется в виде суперпозиции двух функций [27]:

gф = g ф0 + apgF, ф0 = 2 py ,

где функция Φ₀ удовлетворяет заданным напряжениям на бесконечности, а функция F подбирается так, чтобы бигармоническая функция Φ удовлетворяла известным условиям на контуре отверстия и равнялась нулю на бесконечности, т.е.

⁽ gF ) „ =⁽ gF ) _а = в = 0 = °.

Для рассматриваемой задачи функция Φ(α, β) имеет вид [27]

g Φ ap

sinh2 α 2coshαcosβ

+ J a ( cosh a - cos в ) +

+ ( A cosh 2a + B 1 + C 1 sinh 2a ) cos в +

^

+ T f n ( a ) cos n в, n = 2

f (a) = An cosh(n + 1)a + Bn cosh(n - 1)a +

+ C_n sinh ( n +1 ) a + D_n sinh ( n -1 ) a.          (7)

Для удовлетворения граничных условий на контуре отверстия (a = y) и на границе полуплоскости (a = 0) представим напряжения в виде рядов Фурье:

^

a ° aa = c 0 ⁺ E c n ^{cos n в}, n = 1

^

a °O3 = EK ^{sin n в},                ⁽⁸⁾

n = 1

^ a C pp = d ₀ + E d_n cos n в, n = 1

где коэффициенты c k , b k , d k выражаются через параметры A n , B n , C n , D n J .

• 2.    Постановка задачи

Задача рассматривается в постановке плоской деформации. Всюду внутри тела предполагаются выполненными основные уравнения теории упругости (уравнения равновесия, совместности и закона Гука), что автоматически обеспечивается введением бигармониче-ской функции (4).

В случае классической упругости (т.е. без учета поверхностных эффектов) граничные условия имеют вид

° aa ( ^a = ⁰ ) = ° aв ( ^a = ⁰ ) = ° aa ( ^a = Y ) = ° aв ( ^a = Y ) = ^0.

Целью задачи является нахождение неизвестных коэффициентов A n , B n , C n , D n J и вычисление значения O pp на контуре отверстия. Однако если учитывать поверхностные эффекты на границах, то данные граничные условия могут не равняться нулю. Для решения задачи необходимо определить граничные условия с учетом поверхностной упругости.

В рассматриваемой теории изменения любых физических свойств, в частности упругих постоянных, с уменьшением размеров тела моделируются введением дополнительных свойств, приписываемых бесконечнотонкой поверхности, а объемные свойства предполагаются не зависящими от размера тела. Таким образом, с уменьшением размеров тела относительный вклад его поверхности возрастает, что приводит к изменению эффективных свойств с уменьшением размера.

В общем случае, с использованием обобщенного закона Лапласа – Юнга [28], граничные условия на поверхностях, редуцирующихся вследствие выполнения условий плоской деформации в линии границы полуплоскости и контура отверстия, представимы в виде о • n = -V s о', (9)

где σ – тензор объемных напряжений; n – вектор нормали к границе; σ ^s – тензор поверхностных напряжений; V _s - поверхностный градиент [28]. Для криволинейной границы поверхностный градиент поверхностных напряжений V _s о ⁵ представляется следующим образом:

° > ₊ ° R 1 R 2

V , О

e d( h2 °? 1 ) d( h1° 21 )   д h s    д h  s +—— —---- + —---- + —L o;2--- °22 + h h2 da1        da2     da2      da1 + e^- д( h1°22 )   д( h2°s2 ) дh s дh s ----- + ------ +-- °21--°11 , (10) h1h2 дa2        дa1 дa1 дa2 1’ где R1, R2 – радиусы кривизн; h1, h2 – метрические коэффициенты; e1, e2 – орты криволинейной ортогональной системы координат (а1, а2). Для рассматриваемой геометрии расчетной области (см. рис. 1), когда цилиндрическая поверхность образована окружностью контура отверстия, для a = y в биполярной (бицилиндриче-ской) системе координат (9), параметры имеют вид [29]

a 1 = a; a₂ = z ; R 1 = R ; V R = 0; h = у ; h 2 = 1, (11)

° aa = R ° в ,

_ 1 cosh a - cos в ^д ° вв ^aв R sinh a     дв

Аналогично для границы полуплоскости, для a = 0 параметры имеют вид a1 = a; a2 = z;

h 2 = 1,    (13)

о = 0, αα ,

° . = 0.                        (14)

Следовательно, компоненты σ_αα, σ_αβ на границе полуплоскости не испытывают влияния поверхностных эффектов и равны нулю. Учитывая это, можно упростить выражение для бигармонической функции (7). Подставив (7) в (5) при a = 0, учитывая (14), получаем

A n + B n = ( n +1 ) C n + ( n -1 ) D n = 0, n > 1,     (15)

тогда выражение для бигармонической функции можно переписать в виде gΦ ap

sinh ² α 2coshαcosβ

+ J a ( cosh a - cos в ) +

σ

^{( m} )

αα

= Га^{( m -1)} _ °pp

M

+ A (cosh 2a -1) cos в + £ [ An (cosh(na + n=2

+ a) - cosh ( n -1 ) a) +

+ E _n ( ( n - 1 ) sinh ( n + 1 ) a - ( n + 1 ) sinh ( n - 1 ) a J , (16)

σ

^{( m} ) _ ap

cosh a - cos P d l ( m - 1 ) sinha    d p ° "

m >  1.

где A n , E n , J – коэффициенты, подлежащие определению. Объединив два уравнения в (12), получим

cosh a - cos в d o _aa sinh a д в

Здесь поверхностное напряжение σ _β ^s _β по-прежнему остается неизвестным. Для получения граничного условия выразим поверхностное напряжение через известные соотношения (законы Гука и Шаттлворса):

° PP    ^ PPPP ⁶ "" , ^£ вв    e L ° PP ^V°aa J ,          ⁽¹⁸⁾

где C _β ^s _βββ – тензор модулей поверхностной упругости; £ pp - окружная поверхностная деформация; E , v - соответственно модуль Юнга и коэффициент Пуассона (в данной формуле нет суммирования по повторяющемуся индексу). Из уравнений (18) следует

σ ββ                         C ββββ

R    ^b LO pP ^aa J , ⁸ ER

.

Для характерных значений модуля Юнга и констант поверхностной упругости величину R всегда можно выбрать такой, чтобы параметр ε был малым. С учетом выражения (19) граничные условия (12), (17) выражаются следующим образом:

° aa = ⁸ [ ° PP - ^V° aa J ,

cosh a - cos P dr -i

°aP = 8---------^L^PP - VOaa J • sinh a    dpL J

Решение уравнений (20), (21) получаем путем разложения напряжений по малому параметру ε:

NN

О = £ 8 m О jm ) , b = £ 8 m b ⁽ mm m = 1                  m = 1

NN

C = £ 8 m C ⁽ m ) , d = £ 8 m d ⁽ m ) . m = 1                  m = 1

Приравнивая члены с равными степенями малого параметра при ε, получаем рекуррентные системы для определения коэффициентов A n , E n , J :

a(0) = 0 c(0) = 0

° aa 0, ^U aP 0,

„( 1)_J0 ) J1)_ cosha-cospd ( 0 )

°” ", ° sinh a     d p° ^PP ,       ^{( )}

3. Нулевое приближение (классическая упругость)

Нулевое приближение поставленной задачи (23) является решением задачи классической упругости [26] и имеет вид

^{- 2} y A (^o) = e -------, 2cosh2γ

. (0 )      n ² sinh ² у - n sinh у cosh у + e ^{- n y} sinh n у      _

A n =---------- 2 . ,2 A ----------, ⁿ > 2,

2 ( sinh n у - n sinh y )

E(o) =________n sinh2 y________ n    2 (sinh2 ny - n2 sinh2 y)

J ^{( 0 )} =

1 cosh2γ

В данных выражениях коэффициенты, являющиеся аналогами коэффициентов в уравнении (16), отмечены дополнительным верхним индексом 0, указывающим на соответствие классическому известному решению [26] т.е. решению без учета поверхностных эффектов. Выражения (24) являются нулевым приближением в разложении по параметру ε решения задачи, с учетом поверхностной упругости.

3. Применение рекуррентных соотношений

С помощью соотношений (23) задача сводится к решению набора последовательных задач для каждого члена разложения по малому параметру ε. Если известно ( m - 1)-е решение (т.е. известны а П ^{m - 1)}, е П ^{m - 1)}, J ^{( m - 1)}) для компонент напряжения, то аналогично (8), с помощью (5), (6) получаем

(m-1)       (m-1) ,        (m-1)          О a°aa )= c0 )+ £cn ) cos n", n=1                             (25)

M a o(m-1) = d 0 m-1) + £dnm-1) cos n ", n=1

где cnm-1), dnm-1) имеют вид c0m-1) = 2 A1(m-1) sinh2 y - J(m-1) sinh y cosh y, сПm-1) = 8n 1( J(m-1) sinh y - 4аПm-1) sinh2 y cosh y + ((n +

+ 2)(cosh ( n + 1 ) y sinh y е П m ₁ - ^{1 )} ( n + 1 ) 2 -

- е П m - ¹ ) ( n + 1 ) sinh ( n + 1 ) y cosh y +

+ а П m ^{- 1} ) sinh y sinh ( n +1 ) y ( n +1 ) ))) +

+ 5 n 2 ((2 n cosh n y sinh y x

x ( - E nm - 1 ) ( n ² - 1 ) cosh y - А Пm - 1 ) sinh y ) +

+ 2sinh n y E n^{m - 1 )} ( n ² - 1 ) - 2sinh n ysinhycoshy A nm ^{- 1 )} n ² ) +

+ ( n + 2 ) (cosh ( n + 1 ) y sinh y E n+T'¹ ( n + 1 ) 2 - E m¹ ( n +

+ 1) sinh ( n + 1 ) y cosh y + A nm । ¹' sinh y sinh ( n + 1 ) y ( n + ' ) ))) + + (2 n cosh n y sinh y ( - E nm ^{- 1 )} ( n ² - 1 ) cosh y - A nm ^{- 1 )} sinh y ) + + 2sinh n y E nm ^{- 1 )} ( n ² - 1 ) - 2 A n^{m - 1 )} n ² sinh n ysinhycoshy) +

+ ( ( n + 2 ) (cosh ( n + 1 ) y sinh y E n + ₁ ^{- 1 )} ( n + 1 ) 2 - E nm ₁ ^{- 1 )} ( n + +1)sinh ( n +1 ) y cosh y + A nm ₁ ^{- 1 )} sinh ( n +1 ) y sinh y ( n +1 ) )) +

+ ( ( n - 2 ) (cosh ( n - 1 ) y sinh y E n^m ₁ ^{- 1 )} ( n - 1 ) 2 - E n^m ₁ ^{- 1 )} ( n - -1)sinh ( n -1 ) y cosh y +

+ A nt^m ' ^- ' ⁾ sinh y sinh ( n - 1 ) y ( n - 1 ) )), n >  1.      (26)

d0m-1) = -2 A1(m-1) cosh2 y + J(m-1) cosh y sinh y, dnm-1) = 5n 1 (4Anm-1) cosh3 y + J(m-1) sinh y +

+( ( n + 2 ) ( E n^{m - 1 )} ( n +1 ) cosh ( n +1 ) y sinh y + ( A nm ₁ ^{- 1 )} sinh y -

- E nm - ¹ ) cosh y)sinh ( n + 1 ) y) -

• - (2 A nm - ¹ ) ( n + 1 ) cosh y cosh ( n + 1 ) y +

+ E nnm - ¹ ( n + 1 ) ( ( n + 1 ) 2 - 1 ) cosh ( n + 1 ) ysinhy +

^{+ (} E n + 1 ^{- 1 ) cosh} y⁽ ( ^{n + 1} ) ^{2 -}

• - 1) + A nm ₁ ^{- 1 )} ( ( n + 1 ) 2 + 1 ) sinhy)sinh ( n + 1 ) y))) +

^{+ 5} n2 (2 A nm ^cosh2y ⁺

+( ( n + 2 ) ( E n + ₁ ^{- 1 )} ( n +1 ) cosh ( n +1 ) y sinh y + ( A nm ₁ ^{- 1 )} sinh y -

- E nm - ¹ ) cosh y)sinh ( n + 1 ) y) -

• -    (2 A nm - ¹ ) ( n + 1 ) cosh y cosh ( n + 1 ) y +

+ E nm ₁ ^{- 1 )} ( n + 1 ) ( ( n + 1 ) 2 - 1 ) cosh ( n + 1 ) ysinhy +

+ (Enm1-1) ((n +1)2 -1) cosh y + Anm1-1) ((n +1)2 +1) sinh y )x x sinh (n +1) y)) +

• + 2( - sinh y( A n ^{m - 1 )} n cosh n y sinh y + + ( A nm ^{- 1 )} cosh y + E nm ^{- 1 )} sinh y( n ² -

• - 1)) sinh n y) + cosh y (2 A n m ^{- 1 )} n cosh n y sinh y +

+ E nm ^{- 1 )} n cosh n y sinh y( n ² -

• - 1) + ( E n^{m - 1 )} ( n ² - 1 ) cosh y + A n^{m - 1 )} ( n ² + 1 ) sinh y ) sinh n y))) + +( ( 2 - n ) ( E nm ₁ ^{- 1 )} ( n -1 ) cosh ( n -1 ) y sinh y + ( A n;m ₁ ^{- 1 )} sinh y -

• - Enn m1-1) cosh y)sinh (n -1) y) -
• - (2Anm1-1) (n -1) cosh y cosh (n -1) y +

+ E nm ₁ ^{- 1 )} ( ( n - 1 ) ² - 1 ) cosh y +

+ A nm ₁ ^{- 1 )} ( ( n - 1 ) ² + 1 ) sinhy)sinh ( n - 1 ) y)) +

+( ( n + 2 ) ( E nm ₁ ^{- 1 )} ( n +1 ) cosh ( n +1 ) y sinh y + ( A n;m - ¹ ) sinh y -

• - E nn m - ¹ ) cosh y)sinh ( n + 1 ) y) -

• - (2Anm-1) (n +1) cosh y cosh (n +1) y +

+ E nm - ¹ ) ( n + 1 ) ( ( n + 1 ) 2 - 1 ) cosh ( n + 1 ) ysinhy +

^{+ (} E n m 1 ^{- 1 ) cosh} y⁽ ( ^{n + 1} ) ^{2 -}

• - 1) + A n ( m - ¹ ) ( ( n + 1 ) 2 + 1 ) sinh y)sinh ( n + 1 ) y)) +

+ 2( - sinh y( A n^{m - 1 )} n cosh n y sinh y +

( A n^{m - 1 )} cosh y + E n^{m - 1 )} sinh y( n ² -

• - 1) sinh n y) + cosh y (2 A n^{m - 1 )} n cosh y cosh n y +

+ E n^{m - 1 )} n cosh n y sinh y( n ² -

• - 1) + ( E n^{m - 1 )} ( n ² - 1 ) cosh y + A n^{m - 1 )} ( n ² + 1 ) sinh y ) x

x sinh ny)), n > 1,(27)

где δ _nm – символ Кронекера.

Граничные условия (последние два уравнения в (23)) могут быть представлены следующим образом:

MM a °0m) = Esnm)cos ne, a G0e)=Etnm)sin ne, n=0

где

• (m) _ ,(m-1) _

sn      dn        V cn, tnm)= 2sinh7 [(n -1) dnm'1^ n +1) dnm-1)-2ndnm-1) cosh y] -

• ^-, .^v, Г ( n ^{- 1} ) c n^m 1 ^{- 1 ) +} ( n ^{+ 1} ) c n^m 1 ^{- 1 ) - 2} nc n^{m - 1 )} cosh y 1 .⁽²⁹⁾

2sinh γ

Последние уравнения в (29) образуют систему для нахождения коэффициентов A(m), E^m), J(m), через

A ^{( m - 1)}

г⁽ m - 0

E_n ,

J ^{( m - 1 )} :

aOW = Ersnm) cos nP = 2A

• - J⁽m) sinh y cosh y + J⁽m) sinh y cos в -

• + 4 A(m) sinh2 y cosh y cos в + 3f2(m) (y) cos в +

+т E[( n-1)( n - 2) ^(. y) +

• ²n=1

+ (n +1)( n + 2) fCK. y )-

-2(n²-1)coshyfn^m) (y)-2sinhyfn*^m) (y)]cosnв,

M a °am)=rtnm) sin nв= n=1

= -( cosh y (J^(m) - 2 A₁^(m) sinh2y) + f₂^(m) (y)) sin в +

J⁽m² cin 2в

⁺-------£[(n^-1) fn-m²(Y)^{- 2}n cosh Yf„⁽m²( y)⁺

²        n=2

+ (n +1) fn+m⁾( Y1] s"2n^e,               (30)

где fn m2 ( y ) = АП m2 (cosh (n +1) Y - cosh (n -1) Y2 +

251 + 4 A1 sinh²y cosh Y, n = 2,

^{2 (}n^-1) ⁵n-1 -(1 ^{- 8}2, n-2)^Vn-2 ⁺

рП⁴⁾ =

⁺(1^{- 8}2, n-1 ) V n-1 ^{+ 2sinh} YрП-⁺

+ (-282 _n-251 - 82 _n-28A1 sinh²y cosh Y +

+ 482, _n-1 cosh y 51 +

+Ennm²((n-1) sinh (n +1) y -(n +1) sinh (n -1) y ). (31)

+2cosh y8_{2 n}-18A sinh²ycosh y), n > 2.

Приравнивая коэффициенты при синусах и косинусах в (30), аргументом функции которой является вторая координата β в биполярной системе координат (в дальнейшем для упрощения записи опуская верхний индекс (m)), получаем

250 = 2 A1 sinh²y - J sinh Y cosh Y,

²n⁵n = vn-1 ⁺Vn+1 ^{- 2} Vn c°^sh Y ^{- 2}^nsinh Y ^{+ 28}1,n^(J sinh Y ^-

-4A1 sinh²y cosh y + 3 f, ( y2),

^-2tn = Vn-1 ⁺Vn+1 ^{- 2}Vn^cosh Y ^-

-2(-81 _n (cosh y(J - 2A sinh2Y) +

+f'( Y)) + 82,n 2 J),                 (32)

где

V n =(^{n -}1)ⁿ (^{n +}1) fn (Y), Vn = nf'( Y).      ⁽³³⁾

Таким образом, используя уравнения (31), (34), находим оставшиеся неизвестные коэффициенты

A1 = ^^,

2sinh2γ

A— g ⁽¹\|/ +<7(²)Y — Г q^¹ p^¹q^² p^3 ]j + q²'2 p'¹²-2 q²¹4 p'⁴², nn qn T n qn T n I qn ^pn ^qn ^pn I qn ^pn ^qn ^pn ,

En = qn² vn⁺q²n²vn =

= Гq⁽²11¹'² + ⁽⁴⁾p²3² ] J + q¹²p⁽2² + ⁽⁴⁾p⁽4², n > 1, (38) I qn ^pn qn ^pn I qn ^pn qn ^pn ,       ,

где

(12 _ n cosh ny sinh Y - cosh Y sinh nY qn " n³cosh2Y-n(n²-1 + cosh2ny),

q? =

Предположив J известным и применяя процедуру [26], а именно - умножая третье уравнение из (32) на e^-”^Y и суммируя для всех n, а также учитывая условие сходимости рядов lim v_n = 0, получаем n ^м м

V1 = J - 2cosh y (J - 2 A1 sinh2Y) e^Y- 2 e 2^Y^t_ne^-nY. (34) n=1

Qn =^-

(4) qn -

sinh γsinhnγ n³ cosh 2y - n (n²-1 + cosh 2ny )

sinhγsinhnγ n3 cosh2Y - n (n2 -1 + cosh 2ny )

sinh ((n +1) y 2

n (n²-1) (1 - n²+ n² cosh2Y + cosh 2ny)

Кроме того, используя уравнение (35) и первое уравнение в (38), определяем коэффициенты J, A1:

Из первого уравнения (32) непосредственно следует равенство

2 A1 sinh²y - 50 sinhγcoshγ

При n > 1 значения vn, vn вычисляются непосредственно уП = pn j+рП2); vn = рП3)j+рП4),n > 1,      (36)

где pn*2 = sinh-1 Y(2sinh (n - 2) y - 2cosh y sinh (n -1) y --2cosh y sinh (n - 2) 7eY), p^ = sinh-1 y(4A1 cosh y sinh 2y sinh (n -1) y +

+4A1 cosh ysinh2Ye^Y sinh(n - 2) 7-

-2e^2Ysinh (n - 2) y£t_ke^-k - 2^, sinh (n - k) y), k=1               k=1

Г                   -2sinh Y, n = 2, p ( 1 = I

• ⁿ    1282 _n-₂sinh y - 482 _n-1 cosh 7 sinh 7 + 2 sinh 7рП-, n > 2,

2 (i “Vrl Et,e-^h sinh y - 25₀cosh y I, sinh3Y ( k=1 J

A = ²E^M=₁tk^e-k^{7 coth} Y ^{- 5}0 ^sinh-2 Y

¹          2 (1 + 2cosh2Y 2

.

Подставляя найденные коэффициенты (38), (40) в уравнение (27), получим необходимую компоненту напряжения σ_ββ. Полученное решение (38), (40) можно рассматривать как обобщенное решение в [26].

5. Результаты

Для решения задачи упругие постоянные материала принимались соответствующими константам алюминия: E = 70,3 ГПа, v = 0,345, а константы, характеризующие свойства поверхности, – упругими постоянными, полученными в [5]:

Z = 6,8511 Н/ , p, =-0,376 Н/ , sмsм откуда модуль поверхностной упругости рассчитывался как

Свеве = X , + 2^ , = 6,0991 НМ.

Концентрации напряжений в точках A, B (см. рис. 1) вычислялись для различных значений относительного расстояния между отверстием и границей полуплоскости X = ^d/R (рис. 2). Радиус отверстия для расчетов полагался равным R = 2 нм.

Рис. 2. Расположение отверстия в полуплоскости

Fig. 2. Location of the hole in the half-plane

На рис. 3, а, б представлены зависимости концентрации напряжений с учетом и без учета поверхностного напряжения в точках А и В соответственно. Зависимости b1, a1 соответствуют значениям концентрации напряжения с учетом и без учета поверхностного напряжения в точке A; b₂, a₂, – в точке B (см. рис. 3, б).

б

Рис. 3. Концентрации напряжений с учетом (a_1,2) и без учета (b_1,2) поверхностного напряжения: а – в точке А; б – в точке В

• Fig. 3.    Concentration of stresses with account of (a1,2) and without account of (b1,2) of the surface stress, (a) is in the point A, (b) is in point B

На рис. 4 представлены зависимости с1, с2, соответствующие значению поверхностного напряжения на контуре отверстия при относительно малом (X = 1,1) и относительно большом (X = 10) расстояниях между отверстием и границей полуплоскости.

Из полученных графиков видна разница между концентрациями напряжений с учетом и без учета поверхностного напряжения. При отдалении кругового отверстия от границы полуплоскости наблюдается уменьшение влияния границы полуплоскости на концентрацию напряжения на круговом отверстии.

С1---с2

Рис. 4. Поверхностное напряжение в зависимости от координаты β на контуре отверстия

• Fig. 4.    Surface stress depending on coordinate β at the contour of the hole

Заключение

Получено и исследовано решение задачи теории упругости о полуплоскости, содержащей круговое отверстие с учетом поверхностных эффектов. При помощи разложения в ряды Фурье переменных, представленных в биполярной системе координат, с использованием уравнений теории упругости, дополненных уравнениями поверхностной упругости, рассчитаны величины концентрации напряжений на контуре отверстия. Полученные выражения можно рассматривать как обобщенное решение задачи в традиционной постановке, не учитывающей вклад поверхностных эффектов. Проведены сравнения концентраций напряжений с учетом и без учета вклада поверхностных эффектов в различных точках контура отверстия. Рассмотрен вклад, вносимый поверхностными эффектами в зависимости от относительного расстояния между отверстием и границей полуплоскости. Показано, что, несмотря на довольно простую геометрию, благодаря достаточно малому расстоянию между отверстием и границей полуплоскости значения концентрации напряжений с учетом и без учета поверхностных эффектов существенно отличаются друг от друга.

Работа выполнена по теме государственного задания ИПМех РАН АААА-А20-120011690136-2.

Acknowledgement

The work was carried out on the topic of the state assignment of the IPMech RAS AAAA-A20-120011690136-2.