Влияние поверхностных эффектов в задаче теории упругости для кругового отверстия в полуплоскости

Поверхностные эффекты важны для моделирования некоторых структур, таких как нанопленки, нанопористые материалы и другие наноразмерные структуры. В данной работе рассмотрена задача теории упругости - задача о полуплоскости, содержащей круговое отверстие, растягиваемой постоянными напряжениями, приложенными на бесконечности, c учетом таких эффектов, как поверхностная упругость и поверхностные напряжения. Решение задачи получено при помощи разложения в ряды Фурье переменных, представленных в биполярной системе координат (что упрощает решение задачи, в силу того что на контуре отверстия одна из координат становится константой), а компоненты напряжений определяются через бигармоническую функцию напряжений. Коэффициенты в рядах Фурье определяются так, чтобы удовлетворить граничным условиям на контуре отверстия. Для решения задачи, помимо уравнений теории упругости, использовались уравнения поверхностной упругости, в частности, с помощью обобщенного закона Лапласа - Юнга и закона Шаттлворса вычислялось непосредственно поверхностное напряжение на контуре отверстия. Величины концентраций напряжений получены с помощью рекуррентных соотношений для компонент напряжения на границе. Полученные выражения можно рассматривать как обобщение решения задачи традиционной теории упругости. Проведены сравнения концентраций напряжений с учетом и без учета поверхностных эффектов в различных точках контура отверстия. Рассмотрено влияние, оказываемое поверхностными эффектами в зависимости концентраций напряжений от значения относительного расстояния между отверстием и границы полуплоскости. Обнаружено, что, несмотря на довольно простую геометрию в данной задаче, из-за достаточно малого расстояния между отверстием и границей полуплоскости значения концентрации напряжений с учетом и без учета поверхностного напряжения существенно отличаются друг от друга.