Влияние сухого трения на устойчивость приборов с автоматическим уравновешиванием

Сухое трение в подвижной части прибора не только определяет его нечувствительность к измеряемой величине, но также может вызывать автоколебательный режим, что часто является недопустимым при эксплуатации прибора. Влияние сухого трения на устойчивость прибора с уравновешиванием рассмотрим на примере прибора для измерения силы [1].

ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПРИБОРА

При построении математической модели прибора очень важно правильно учесть сухое трение в подвижной части прибора, что определяется целью исследования. Для рассматриваемого случая необходимо учитывать сухое трение при его некулоновской идеализации [2]. Структурно-функциональная схема типового прибора представлена на рис. 1.

Звено 1 преобразует разность сил f = f _вх - f ос в перемещение x (см. рис. 1). Динамическая характеристика звена 1, преобразующего силу f в перемещение x , определяется способом крепления подвижной части. При закреплении подвижной части в подшипниках движение звена (с уче-

Рис. 1. Структурно-функциональная схема прибора том сухого трения) может быть представлено следующим описанием:

d² x _      d x _ _ы „

M-jT=0если 0 и f

dt2d d2x    dxd

M —- + T — = f, если —^ 0 или(1)

dt2      dtd если dx = 0 и И - FтP.0, dt где Md2 x /dt2 — даламберова сила (сила инерции); Tdx /dt — сила демпфирования; Ftp0 — сила трения покоя (сцепления), существующая до момента движения (страгивания) подвижной части прибора; M — масса подвижной части (н • с2 / м); T — коэффициент успокоения (н • с2 / м); x — перемещение подвижной части (м); f = fвх - fос — разность измеряемой и уравновешивающей сил ( н ).

Звено 2 обычно включает в себя модулятор (преобразователь недокомпенсации с коэффициентом передачи Kпн), усилитель (с коэффициентом передачи Kус) и демодулятор (с коэффициентом передачи Kд). Пренебрегая инерционностью звена, можно считать, что u = Kx, где K = Kпн K ус Kд .(2)

В приборе без корректирующих звеньев динамические свойства звена 3 определяются уравнением

_ „ . , т d i„ d u = Ri + L--E —,(3)

dtd где u — напряжение на входе звена (B); i — ток на выходе звена (A); R — активное сопротивление выходной цепи (Ом); L — индуктивность выходной цепи (Гн); E — электродвижущая сила, индуктируемая в обмотке обратного преобразова- теля при движении подвижной части (В).

Звено 4, преобразующее ток i на выходе звена 3 (см. рис. 1) в уравновешивающую силу f_ос , является безынерционным и характеризуется коэффициентом передачи K_ос .

При проектировании приборов данного типа стремятся уменьшить параметр M (массу подвижной части прибора) по сравнению с параметром T (коэффициентом успокоения) и увеличить глубину уравновешивания K_ос .

Пренебрегая инерционными свойствами подвижной части прибора (M = 0) и используя в уравнениях (1)–(3) символ дифференцирования p = d / dt, динамику прибора можно охарактеризовать кусочно-линейной моделью [3] вида, представленного на рис. 2.

Существенная нелинейность N ( f ) (см. рис. 2) определена учетом сухого трения в подвижном элементе прибора при пренебрежении его инерционными свойствами. Аналитическое описание нелинейности следующее

N(f) = 0, если |f| < F_ф.о и N(f) —= 0;

N(f) = f, если N(f) - * 0 или (4) если N^(f) — = 0 и |^f| > Fтр.0.

ВЛИЯНИЕ СУХОГО ТРЕНИЯ НА ВОЗНИКНОВЕНИЕ АВТОКОЛЕБАНИЙ

Динамическая модель данного вида (см. рис. 2) была исследована методом точечных отображений на трехлистной фазовой плоскости [4]. Применительно к рассматриваемой задаче результаты исследования следующие. Динамическая модель устойчива "в целом" (при любых начальных условиях все движения притягиваются состояниями равновесия), если

а) при (TR + KосE)²> 4TLKосK выполняется условие

f А D — X \

A + 1 - D > (D - 1)exp|--ln-----

( A -1 D - A J

б) при (TR + Kос E)2 < 4TLK_осK выполняется

условие

2 - D >

> 7(1 - D)²+ Ai² ехр

A1

| arctg

I

1 - D

A1

+211 /J

в) при (TR + K_осE)²= 4TLK_осK) — условие

D < 1.782...,                      (7)

где N(f) _ — предыстория состояния элемента с трением.

где D = 1.782... определяется из выражения

2 - D = (D - 1)exp|

D -1

В выражениях (5)–(7) обобщенные параметры A, A1, D определяются как A1 = - в / a, A = a1 / a, D = K_осE / aLT. При этом в и а (при определении параметра A₁ ) — соответственно мнимая и вещественная части комплексно-сопряженных корней Я1 2 = а ± je уравнения TL^ + + (TR + K_осE)Л + K_осK = 0; и а = Х1, а1 = Х2 (при определении параметра A) — вещественные корни (причем а > а1) этого же уравнения.

При невыполнении любого из условий (5)–(7) сухое трение вызовет в модели автоколебания. В пространстве других параметров (a,d ) условия представлены на рис. 3, где a = K_осE / TR ; d = = K_ос (KL - ER)/TR².

Допустим, что исходные коэффициенты (за исключением коэффициента K ) определены так, что a = 10, d = 0.25K -10 = 15, тогда значение коэффициента K должно быть выбрано K < 100 (см. рис. 3).

Условия (5)–(7) для принятой модели являются необходимыми и достаточными. При учете в законе сухого трения, помимо силы трения покоя (сцепления) также и силы трения движения (скольжения), условия являются достаточными.

Рис. 3. Структура разбиения пространства параметров модели на области качественно различного динамического поведения

Условия (5)–(7) сохраняются для любых значений ^Fтр.0 ^.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Достаточно распространенное моделирование сухого трения в виде кулоновской идеализации (не учитывающей превышение сил трения покоя над силами трения движения) не позволяет выявить причину возникновения автоколебательных режимов.

Решение задачи по влиянию сухого трения на возникновение автоколебательных режимов с помощью некулоновской идеализации можно осуществить аналитически, если допустимо пренебречь инерционными свойствами подвижного элемента прибора. Этот прием и продемонстрирован в статье.