Влияние волнообразного износа рельса на виброакустические характеристики при движении подвижного состава

Введение. Наличие волнообразного износа рельса оказывает значительное влияние на шум и вибрацию при движении поездов. Например, по данным работы [1] при увеличении микронеровностей от 30 до 50 мкм уровни шума возрастают на 6 дБ. Эти данные получены экспериментальным путём. Следует отметить, что теоретические исследования процессов виброакустической динамики при движении подвижного состава по рельсам, имеющим волнообразный износ, не проводились. Кроме этого, волнистая поверхность характеризуется не только амплитудой отклонений, но и шагом волнистости, что, в свою очередь, определяет частоту силового возмущения на элементы колебательной системы.

Результаты исследований. При движении состава по рельсам, имеющим волнообразный износ, зададим профиль поверхности следующим образом:

.   . L       2nz )

h = h 1 - cos---- , oi                     i *

где h ₀ — амплитуда волны, м; z = Vt — координата приложения силового воздействия, м; 1* — шаг волны, м.

Потенциальная энергия деформации рессор при движении состава:

п = у (У + Ф1 - h )2 + С2 (У + Ф212 - h )2 + + ck (У + Фkк - hk )2,             W где hk — подъём соответствующей колёсной пары, м; ck — жёсткость рессоры, Н/м; φk — угол подъёма колёсной пары, рад;

(       2_П Vt ^           Г        2п ( Vt + 1 ) )          Г        2п ( Vt + 1 ) )

h = h 1 - cos ; h = h ¹ - cos— —’-1 ; h = h 1 - cos — I ,

V            ¹     )            (                ¹        )            (                ¹        )

где l k — расстояние между колёсными парами, м.

Кинетическая энергия системы определяется следующим образом:

T = тУ 2 ₊ т ф 2

mV ²

+--

Используя уравнения Лагранжа, получим следующую систему дифференциальных уравнений:

y + C + c 2 + - + c k _y + c i l i + c 2 l 2 + - + c k l k _ф = c i l i h i + c 2 l 2 h 2 + - + c k l k h k . mm  m

, + c i l i ^{+ C} 2 ^/ 2 ⁺ - ⁺ c k l k + c i ¹ " ^{+ C} ^l ⁺ - ⁺ c k l k = c i l i h i ^{+ C} 2 ^/ 2 ^h 2 ⁺ - ⁺ c k l k h k φ     Jy    J φ     J

Данные уравнения представим в виде:

y ” + a_u У + а ₁₂ф = b i

^{- b} 2

2π V

cos

/ •

t + b ₃ sin

2π V

/

t ;

Ф" + a 2i y + a 22 Ф = b i

-

2πV b cos —^t + b’3 sin

l

*

2π V

/ •

t ,

где a ₁₁

C i + C 2 + - + Ck .     _C i l i ^{+ C} 2 ^/ 2 ⁺ - ⁺ c k l k .

--------™--------; ^a i2 =--------------------- ;

^C i l i ^{+ C} 2 l 2 ⁺ - ^{+ C} k ^/ k .

=------------;------------;

^C i+ ^C22

a ²² J

kk . b = Cl ^{+ C} 2 ¹ 2 ⁺ • ^{- + C} k ^/ k h . ь    h 0

1           m         0   2 m

2π l

2п /              2п Л .)

C + C cos—^L + - + C cos — k ;

i 2        / *            К / V

, h f ■ 2n l            . 2п / ).

^C i l i ^{+ C} 2 ^/ 2 ⁺ - ^{+ C} k l k ь ■ h 0 ;

• b , = — C sin—^L + - + C sin —- ; b =

• ³    m ( ² Г          ^k Г ) ⁱ

h ( ,      . 2nl           .      2n/k Y       h ( . . 2nl           . . 2п/ b' = — Cl + Cl cos—L + - + C/ cos —k ; b = — C/ sin—L + - + CbL, sin —k

• 2    j I i i 2 2         /               k k 1 j ³ J I 2 2        / *               k k         / *

Решение системы уравнений (4) получим в следующем виде:

• f _д 2n V, _D . 2n V,

• y = y 0 + A ^cos - /^ t + B sin -p-1

  
  

2п V „ _D . 2п V,

• ф = ф_п + A cos---- 1 + B sin---- 1

• ■       ■ U i /* i /*

где A = I [ ^a i2 b i ^{- b} 2 ( ^a 22 ^{- M}2 ) ]; A i = I [ ^a 2i ^b 2 ^{- b} 2 ( a n ^{- M}2 ) ]; B = I [ ^b 2 ( ^a 22 ^{- M}2 ) ^{- a} i2 ^b 3' ];

B i    I [ ^b 3 ⁽ a ii  ^Ш )   a 2i ^b 3 ] ^{; y} 0 = | [ ^b i ^a 22    ^b i a i2 ] ^{; ф} и = | [ b i a ii    ^b i a 2i ] ^;

Д = ( a n ^- М 2 ) ( a 22 ^- М 2 ) ^- a i2 a 2i ; ^ i = ^a ii ^a 22 - ^ai2^a2i ; “ = -^^ .

Используя известное соотношение a sin x + b cos x = a2 + b2 sin | x + arctgb получим амплитудные значения ускорений

„ (2пVY           -22nV ,)

• y = ---- A А + B ² sin ---- 1 + ф .

'        \ /)                         \ / *

Тогда значения силового воздействия определяются по формуле:

„ f 2п V )2            -22nV.

Ф = m ---- АА + B ² sin ---- 1 + ф ,

'          \ / i\ / *

где ф = arctg —.

В этом случае уравнения изгибных колебаний рельса на балластном слое примут вид:

^dS + dt ²

4+ dt ²

EJ x

x^ COS

+ j

p „

$ = —У

/ к * -

Г к 2 Y п И---t — ф

*

EJ y

+ j

p * Ю

$ = xy

/ к * -

I        Г к 2 Y x COS П И---t - ф

I            I /    / ^J

sin I к 1 + sin^ ( / • + / ;) +  + sinl /L ( / • + / ;)

- cos

п И Г ^к + 2 ) t + ф i ;

I /    / ) I

sin I к J + sin^ ( / • + / ;) ₊ ... + sin^ ( / • + / ;)

- cos

Г к 2 Y п И — + — t + ф

V / / J

Решение уравнений относительно скоростей колебаний получено в следующем виде:

V k ₁

d ξ dt

р у пИ

/к*

exp i arctg

EJ x

V

IlV

Y

—

Y

+

V

—

P J x

+ F п И

k

V

l

—

l

+

V k 2

d ε

dt

+

x

x

_   Г n k )4   -

^EJx П 1 V / J ⁺ ЗП 2

)

+ j — P

^

⁺ F

+ j — P 7

^

⁺ F

EJ x η 1

• sin

x, Г к 2 Y п И---t + ф

V / / J

+

x exp i arctg^— EJ x

V

P M

/ к *

exp i arctg

EJy

V

f

V

x exp i arctg

—

Г

P J x

V

+ F п И | - + ^k

/ /

+

• sin

x

k

—

P ^Jy

V

l

*

—

l

+

Гn k 7   .

^EJy П 1 V T J ⁺ j n 2

— P

J y

V

Г " k J

+ F J п И 7

—

k l

• sin

π V

k l

+

Г 2 V /

Гn k V •

EJ y П 1 V / J ⁺ j n 2

EJ y η 1

₂ ) — °,5

+ j n 2    r

X

Y

— P

J y

V

Г "4 7

^

⁺ F

X, Г 2 k п И —+ —

V / /

• sin

x, Г к 2 Y п И — + — t + ф

V / / J

Для рельса на железобетонных шпалах при волнообразном износе, на основе данных работы [2],

выражение скоростей колебаний получено в следующем виде:

V k 1

κV3m l ■ г

EJ x

(

P J x

V

I

+ F n V

У

- 0,5

r

■ 2,5 ■ 10 31 —

' И

k l

x

x sin

.,( k 2 L nV---t + ф

V г г ’ J

exp i arctg

- EJ x П

+

V k ₂

EJ x

- P

J

+ F

у

г ’

to

+ Z | EJ

z

x

(

-

P J x

I

+ F n V

- 0,5

3 _c ( 2 k 1

2,5 ■ 10 3 — + — x '           V г *      г J

V

у

■ Г !/( k    2' x sin n V —+ — _ V г   г j

( n k I"                \ 1     .                              x P ( г J                     \ ■ nkz t + ф exp i arctg                      V                       sin i + J              n k n k I          ( n k I         ..( 2 k }        ' EJ x l г J - P J x 1 г J + F nV 1 г + г J V               J

(

PJ x

V

κ V ³ m г ■ г

EJ x

I

+ F n V

у

x sin

-

to

w ( 3 k π V

V г

■ ZI EJ x

k = 1

x sin

κ V ³ m г ■ г

^to z ] k = 1

EJ x

-

2 Z — t + ф

| . J

(

-

P J x

V

t + ф

■ exp i arctg

- EJ x П

+ F n V

exp i arctg

( 3n k Y

V г J

+ F n V J

у

EJ x

EJ x

(3k  2 L - , xsin nVi г -г^!t+ф ■ expi arctg

^to + z ] k = 1 I

EJ x

( 3n k Y

V г J

-

(

P

V

J

x

⁺ F

у

-

- 0,5

x

-

sin

3πkz l л —0,5

( 3 k

V г

—

г

-

8 I

² I 3H A I I                    I 2     3 k I

+ ( ^EJ x n ) V—J r   ^2,8 ■ ¹⁰2 V _л   г J

■ EJ " n ( 3T k ]⁴

J f 3n k J + F n V

3 k l

-

— +

1 г -J

V

у

■ 2,8 ■ 10 ²

2  3 k

— +

г

l

V k ₃

f 3 k 2 Ъ           .

^x sin ^{п И} |-^ + -I t + ф exp i arctg

м

(

к

—

+ 8,5 ■ 10 2 £ j EJ x

к = 1

x sin п И

3 k

l

—

—

P J x

+ F п И

—

м

■ 3 EJx

к = 1

к

_c, f3п к

^— EJ x n I _/

P J x

3π k

л

к

l

+ F п И | - + 3 k

l

*

l

3 k

l

—

l

*

+ ( EJ x n )

2 f п к

l

— 0,5

π kz

Sin —— +

3 k

l

—

l

*

X

2 Y

1 * 1 t + Ф exp i arctg

— EJ x n

г

л

—

к

—

P J x

к

EJ x

—

P ^J x

+ F п И

3 k

к

l

—

l

*

+ F п И ^+—

l

l

*

' EJ П )

2 f п к

l

— 0,5

3 k

—- +-

l

l

*

X

_v f 3 k  2 Y . ,

^X sin ^{п И} I _ ⁺ _ _ l t ⁺ ф exp i arctg

— EJ x n

(

к

sin

3π kz

κ V ³

m

м

/ ■ /

*

Z j EJ y

к = 1

x sin п И

k

l

—

—

P J y

к

м

EJ x

—

P J x

к

к

+ F пИ

+^ EJ y

—

к = 1

X sin

+

2 к.                  .      .

- I t + ф exp / arctg

EJ y

—

(

к

P J y

+ F п И

к

+ F п И | 3 ^к + -2

— EJ y n

г

P ^J y

к

l

l

*

— 0,5

>

2,5 ■ 10³

— 0,5

l

l

*

;

—

k

l

X

+

k

-- + -7

/*

l

X

f к 2 к.

п И — + — t + ф к / к)

κ V ³ m

/ ■ l

EJ y

—

ρ

x sin

exp i arctg

— EJ y n

—

+ F

>

2,5 ■ 10³

πkz sin —— +

W f 3к πV к /

—

exp i arctg

f

^J y

к

к

к

+ F пИ

к

—

EJ y

— P

—

^{+ F}

/

№

—

■ Ц EJ ,

к = 1

π k

l

—

Р J ,

π k

л

V

l

+ F п V I ^{З к} + —

l

l

*

+

EJ п У

. 2 Г п к

l

— 0,5

>

3 k

—— + —

l

l

*

■ Г3к 2 Y           .    , sin п V I у + у* 11 + Ф exp i arctg

— EJ , п

π k

—

Р J ,

π k

V

l

l

3 k  2

+ F п V I + —

sin

3π kz

l

;

l

l

*

V k 4

κ V ³ m

№

l • l

*

к = 1

EJ ,

3π k

l

—

Р J ,

3π k

V

l

+ F п V

3 k

l

—

l

*

+

( EJ , п У

,2 Г 3п к

l

— 0,5

X

х 2,8 • 10 2

l

*

—

3к I ■ т ISin п V

3 k

l

—

2 Y

у * 1 1 + Ф exp i arctg

— EJ , п

3π k

l

№

+ ^ EJ ,

к = 1

—

Р J ,

3π k

+

V

l

+ F I п V

3 k

3π k

l

—

Р J ,

3π k

V

l

С I .,Г 3 к 2

+ F I п V I — + —

l

l

*

+

( EJ , п У

.2 Г 3п к

l

— 0,5

2,8 • 10 2

l

—

l

*

3 k

— + —

l

*

l

X

■    „ Г 3 к 2 Y          .

х sin ^{п V} I т ₊ _ _ I t + ф exp i arctg

— EJ , п

3π k

№

+ 8,5 • 10² ^ ^ EJ ,

к = 1

х sin п V

3 k

l

№

—

■ ^ EJ ,

к = 1

—

Р J ,

V

π k

l

π k

—

/

l

3π k

l

С I 1/Г 2   3 к

+ F I п V I — + —

πkz sin —— +

l

—

Р J ,

π k

л

V

l

+ F п V

3 k

l

*

l

l

—

l

*

+

( EJ , П У

, 2 Г п к

l

— 0,5

3 k

l

—

l

*

X

2 Y . .

у * 1 1 + Ф exp i arctg

— EJ , п

π k

г

—

Р J ,

π k

л

г

—

Р J ,

π k

V

l

l

—

V

l

+ F п V I — + —

l

l

*

+

( EJ , п У

+ F I п V

, 2 Г п к

l

3 k

— 0,5

l

—

l

*

3 k

— + —

l

l

*

х

.    „ Г 3 к 2 Y          .

х sin ^{п v} I т + у * I t + ф exp i arctg

π k

^{— EJ} , п I Т

—

Р J ,

π k

sin

3π kz

V

l

С I ./Г 3 к 2

+ F I п V I — + —

l

l

*

l

.

Заключение. Полученные зависимости существенно уточняют закономерности шумообразова-ния рельса. Они объясняют высокочастотный состав спектра излучаемого шума и увеличение интенсивности звукового излучения. Действительно, учёт волнообразного износа рельса объясняет высокую частоту воздействия при движении подвижного состава. В данном случае частота воздействия определяется как fe=h'

где V — скорость движения, м/с; h — шаг волны, м.

Эти данные хорошо согласуются с результатами экспериментальных исследований, приведённых в работе [3], в частности, в том, что интенсивное звуковое излучение рельса происходит в частотном диапазоне выше 800 Гц. При наличии волнистости рельса скорость движения состава в большей степени оказывает влияние на виброакустические характеристики подвижного состава, что также согласуется с экспериментальными данными.