Влияния различных формулировок граничных условий на внутреннее акустическое давление и вибронагружение отсека летательного аппарата

Виброакустическое нагружение конструкции отсеков и приборов летательных аппаратов может приводить к усталостным разрушениям первых и нарушению устойчивого функционирования вторых. В этой связи отработка вибропрочности и устойчивости составных частей ракет-носителей (СЧ РН) регламентирована рядом отраслевых и государственных стандартов, а проведение научно-исследовательских работ по указанной тематике позволяет наиболее достоверно определять режимы для испытаний аппаратуры и конструкции, которые в дальнейшем уточняются при лётной эксплуатации [1; 2].

Анализ научных работ, связанных с поиском способов получения взаимосвязи между параметрами внешнего и внутреннего акустического давления и параметрами виброускорения, показывает, что авторы в основном оценивали данные характеристики либо методами математического моделирования [3–8], либо с помощью экспериментального определения названных величин для сегментов конструкции с помощью сдвоенных акустических камер [9; 10], в том числе с помощью проведения интенсивометрии [11; 12], либо методом экспериментального моделирования с последующим пересчётом результатов на натурные конструкции [9; 13], либо при лётно-конструкторских испытаниях [1; 2]. В качестве примеров математического моделирования можно назвать разработанную связанную упругоакустическую модель колебания оболочки в акустической среде, в которой учитывается взаимодействие упругих мод оболочки как с внешним полем нагрузки, так и с акустическими модами воздушного объёма внутри отсека [3; 9]. В настоящее время в связи с широким использованием в инженерной и научной практике современных средств компьютерного моделирования все большую популярность из-за его универсальности обретает метод конечно-элементного моделирования (КЭМ) [6–8]. Суть метода заключается в том, что система уравнений структурных колебаний конструкции и волнового уравнения приводится к матричному виду, описывающему взаимодействие среды и конструкции. Алгоритмы решения систем алгебраических уравнений, соответствующих параметрам определённой задачи, в настоящее время реализованы в программных продуктах, которые при существующем уровне развития компьютерной техники и наличии способов верификации дают широкие возможности для проведения различных междисциплинарных исследований, в том числе виброакустического анализа.

Конечно-элементная модель акустической области

Для оценки распространения акустических волн внутри воздушного континуума была использована КЭМ. Для математического построения модели рассмотрим обобщённое волновое уравнение, связывающее набор параметров, таких как скорость звука, c ₀, плотность среды, ρ₀, динамическую вязкость, ц, искомое акустическое давление p = p ( r , t ) в пространстве r = ( x , y , z ) и времени ( t ) и, например, массовый расход Q = Q ( r , t ), представляющий собой внешнее возмущение [6]:

1 д ² p

Ро c02 дt2

-V

< 1

—Vp ^Ро

-V

f ^V

13Ро

Г 1

1 д p

~dt

L роcо дtJJ

-

V( 4V

Q ■ Q Ро U дt ^Ро

д . д ; д г

V = —i + — j +— k . д x д y д z

Формулы для конечно-элементного анализа получены с использованием метода Галёркина, при котором волновое уравнение (1) умножается на пробные линейно независимые функции Wi = W i ( r), сумма которых является приближением к решению [14]:

p ( t , r) = Х Wi ( r) p i ( t ), Q ( t , r) = ^ w i ( r) Q i ( t ).

Проинтегрируем каждое из слагаемых уравнения (1) по области Ω с границей Г , в которой распространяются акустические волны, используя (2) и предварительно умножив на пробные функции W i = w i ( r ):

1) f   ^dQ = pi f w dQ = pMi;

q Роcо дt            Q Роcо

[ V f—Vp 1 widQ = — f ^pwidr - — f VpVwidQ =

— f ^ pwdr - pi- f V w V wd Q = i        ii

Р о Г ^д n       Р о Q

Q ^Ро J Ро Гдn Ро Q

= ~ J -pwdr - pKi;

i     ii

Ро Г дn

f

• 3)    fV ^V --2 — wdQ = —f—V --у^p wdr-fV --2 — VwdQ = Q 13Ро LРоcо2 дt JJ i 3Ро Гдn ^Роc2 дt J i 3Ро Q LРоc2 дt J i

4-dv JL p wdr - p ici;

3Ро Г дn Lpоcо2 дt

• 4)    -И з И^v

n

Q I

[^p o ]J

wd n = -ЛИ jA_v Q 3 P o Г ^ n Lp o .

Г

wdT + ^ Q [ V w V wd n ;

¹        3 p 0 n i i

• 5)    f—I ^Q l ^wd П = —Ыd П . n ^d t kP o J        P o n

^p o n

Нормальная скорость на границе области может быть вычислена следующим образом [6]:

⁵ Vr

6) — n = 5 1

4 ц d

к

3 p 0 c 2 ^d t P o

+ — n V p + -4Ц- n V Q .

J        3 p o

Сгруппируем получившиеся слагаемы 1–6 и представим их в матричном виде:

[ M f ] {M C f ] ( p } +[ K f ] { p } + P o [ R t ] ( a r } = { f, } •

Индекс f соответствует исходным данным соответствующим рассматриваемому газу (воздуху), [ M f ] – матрица масс акустической среды; [ K f ] – матрица акустической жёсткости; [ С f ] – матрица акустического демпфирования;{ f f } – акустическая нагрузка; [ R^t ] – транспонированная матрица нормальных к поверхности акустической среды компонент векторов; ρ₀ – плотность акустической (воздушной) среды; {p }, { p } , { p } - искомый вектор пульсаций давлений и его производные по времени; { a Г } – вектор ускорений на границе Г, в случае связанной постановки этот параметр является ускорением движения конструкции и содержится в уравнении её движения. Более подробная запись перечисленных величин в формуле (3):

._м я г { w M   г с 1- г Mv w nv w l

[Mf] “J   ^2   dn; [cf]“J, n poco                  n3po

[Kf ] J vw v w dn; [Rf ]t = J{vw}{n.}t{vw}tdn n     p0

{ f f } = J n

{wi}{wi}{Qi} 4ц у dn.

--------------+    {v wi} {v wi}{Qi} po

Уравнение (3) описывает обобщённое движение среды с течением времени, однако если представить зависимость от времени строго гармонической p (r, t) = p ( r) e - i “ t, что в ряде случаев, когда не рассматриваются переходные процессы, оправдано, уравнение (3) может быть переписано в следующем виде:

( -[ M f ]® 2 +[ C f ] i ®⁺[ K f ] ) { p } + p o [ R ] { a r } = { ff } •                  (4)

Решение представленных уравнений реализовывалось в специализированной программе КЭМ [6]. Основные исходные данные для акустической части КЭМ представлены в табл. 1.

Основные настройки и исходные данные для акустической части КЭМ

Таблица 1

Скорость звука	343 м/с
Плотность	1,2 кг/м3
Размер элемента	0,07 м
Количество акустических элементов	45315
Количество акустических узлов	194944
Тип акустического КЭ	Гексогональный 20-узловой (FLUID220)
Форма КЭ	®—X 1  ®    ]   ® T
Коэффициент звукопоглощения на внутренней поверхности отсека	10 % во всем диапазоне частот [15]

Конечно-элементная модель механической области

Получение вибрационного отклика в технике – одна из наиболее распространённых и достаточно сложных задач. В задачах виброакустики взаимосвязь между волновым уравнением и уравнением колебания достигается учётом акустического переизлучения, обобщенная структура уравнения применительно к конструкции ( s ) в матричной форме с учётом акустического пе-реизлучения [ R ]{ p } имеет вид

[ Ms ]{u} + [ Cs ]{u} + [ Ks ]{u } = { fs} + [ R ]{p},                             (5)

где [Ms] – матрица масс; {ü} – вектор ускорений в узловых точках; [Сs] – матрица демпфирования; [R] - матрица нормальных к поверхности акустической среды компонент векторов; {и} - вектор скоростей в узловых точках; [Ks ] - матрица жесткости структуры; {и} - вектор пере мещений узлов; {fs} - вектор внешних механических сил, являющийся функцией времени.

Уравнения (3) и (5)

в случае гармонического закона можно представить в объединённом матричном виде:

-и2

\

M s

Ро R

M f

+ i и

C s 0

0     K s

cf \ [ 0

- R W и\ J fs 1

Kf JJIp П ff J’

Основные настройки и исходные данные механической части КЭМ задавались в соответствии с табл. 2.

Основные настройки и исходные данные для механической части КЭМ

Таблица 2

Плотность	2780 кг/м3
Модуль упругости	7,06·1010 Па
Коэффициент Пуассона	0,33
Размер механических элемента	0,05 м
Количество механических элементов:	136312
Оболочечно-твердотельных, упругих, массовых (отсека)	136059
Балочных, массовых, упругих (ракеты)	253

Окончание табл. 2

Количество механических узлов (всего):	291051
Оболочечно-твердотельных, упругих, массовых (отсека)	290509
Балочных, массовых, упругих (ракеты)	542
КЭ Тип Solid	Гексогональный 20-узловой (SOLID186)	Тетраидральный 10-узловой (FLUID187)
Форма КЭ Solid	®—V         /~® 1 ® 1 ® ;       © 1
КЭ Тип Shell	SHELL181 предназначен для анализа тонкостенных конструкций
Форма КЭ Shell	N ©—z^ ^— zz_0 ® ф I, J, K, L – узлы
КЭ Тип Beam	Балочный элемент с узлами (I, J), который может иметь 6 или 7 степеней свободы в зависимости от настройки параметров. K – узел ориентации элемента, который служит исключительно для определения положения системы координат элемента
Форма КЭ Beam	z I, J, K – узлы
КЭ Тип Mass	MASS21 является массовой точкой с шестью степенями свободы и моментами инерции относительно задаваемого центра. С помощью MASS21 моделировались массово-инерционные характеристики приборов, установленных на отсеке и балочной РН
КЭ Тип Elastic	COMBI250 представляет упругий элемент, определяемый жесткостью, вязким демпфированием или структурным демпфированием в системе координат элемента. Элемент имеет два узла, каждый с шестью степенями свободы. С помощью COMBI250 моделировались упругие свойства установок приборов и агрегатов ракеты
Внешнее воздействие	Плоская волна, воздействующая на внешнюю поверхность стрингерного отсека, с эксплуатационными уровнями акустического давления
Типы граничных условий	1)    фиксация по торцам отсека; 2)    соединение торцевых шпангоутов отсека с балочной моделью ракеты, закреплённой в соответствии с граничными условиями при нахождении на стартовом столе; 3)    соединение торцевых шпангоутов отсека с балочной моделью ракеты с учётом низкочастотных нагрузок от колебаия двигательной установки (ДУ)

На рис. 1 представлена модель исследуемого отсека, закреплённого торцевыми шпангоутами с балочной моделью ракеты-носителя (РН), а своей внутренней поверхностью с контину-мом, представляющим из себя воздушную акустическую среду.

Рис. 1. Общий вид КЭМ балочной РН с исследуемым отсеком:

1 – балочная РН; 2 – воздушная акустическая среда внутри отсека; 3 – корпус отсека с сосредоточенными массами приборов; 4 – сосредоточенные массы установок на РН и заправки её баков; 5 – крепление РН к стартовой площадке через упругие элементы

Fig. 1. General view of the FEM of a beam-type launch vehicle with the compartment under study: 1 – beam-type launch vehicle; 2 – air acoustic environment inside the compartment; 3 – compartment body with concentrated masses of instruments; 4 – concentrated masses of the launch vehicle installations and its fuel tanks; 5 – launch vehicle attachment to the launch pad via elastic elements

Анализ пространственных резонансов

Для анализа спектральных характеристик внутреннего акустического давления проведем расчёты пространственных резонансов полости под отсеком. Продольные частоты вычисляются по формуле

f= fl 2 L ’ где L – длина образующей цилиндра; с – скорость звука в воздухе, i = 1, 2…

Для получения радиальных частот можно воспользоваться спектральным уравнением:

—Jn ( kR ) + J_n ( kR ) j P c

= 0,

где Z – граничный импеданс цилиндра; ρ – плотность воздуха; R – радиус оболочки; k – волновое число; J_n ( kR ), J^r_n ( kR ) - функция Бесселя первого рода и n -го порядка и ее производная n = 0, 1, 2… На рис. 2 представлены графики функций:

Р ⁽ f ) =

—J'

J_n j P c

2 n f         2 n f

I— R 1 + Jnl—R \ c J \ c

В точках соприкосновения функций с осью f получим её нули при n = 0, 1, 2, соответствующие радиальным частотам.

Некоторые пространственные продольные и радиальные собственные частоты и формы колебаний внутри отсека, полученные с помощью КЭМ, представлены на рис. 3.

Рис. 2. Графическое получение собственных пространственных частот цилиндрического отсека: а – n = 0; б – n = 1; в – n = 2

Fig. 2. Graphical derivation of natural spatial frequencies of a cylindrical section: a – n = 0; б – n = 1; в – n = 2

Из рис. 2, 3 видно, что первые две радиальные частоты 50 и 83 Гц соответствуют первым нулям функции Бесселя первого и второго порядка, тогда как первая частота, соответствующая функции Бесселя нулевого порядка, равна 104 Гц, т. е. корень функции нулевого порядка больше, чем первого и второго. На рис. 4 приведен расчётный спектр низкочастотного акустического давления p с учётом влияния балочной части РН с учётом работы ДУ и отсека без балочной части жёстко зафиксированного на торцевых шпангоутах. Результат расчёта для балочной модели до 45 Гц представляет собой «пилообразную» форму в следствие того, что вибрации от ДУ задавались в виде осредненных в диапазонах частот значений виброперемещений. В соответствии с рис. 2 и 3 можно сделать вывод, что резонанс (2) на рис. 4 обусловлен радиальной формой колебания на частоте 50 Гц, соответствующей первому корню функции Бесселя первого порядка, резонанс (3) возникает из-за влияния радиальной формы колебания на частоте 104 Гц, соответствующей первому корню функции Бесселя нулевого порядка, резонанс (4) обусловлен радиальной формой колебания на частоте 145 Гц, соответствующей второму корню функции Бесселя первого порядка.

а

б

в

г

д

Рис. 3. Пространственные продольные и радиальные собственные частоты и формы колебаний внутри отсека, полученные с помощью КЭМ:

а – первая радиальная частота при n = 1; б – первая радиальная частота при n = 2; в – первая радиальная частота при n = 0; г – первая продольная частота при i = 1; д – вторая радиальная частота при n = 1; е – вторая радиальная частота при n = 0

е

• Fig. 3.    Spatial longitudinal and radial natural frequencies and vibration modes inside the compartment obtained using FEM:

a – the first radial frequency at n = 1; б – the first radial frequency at n = 2;

в – the first radial frequency at n = 0; г – the first longitudinal frequency at i = 1;

д – the second radial frequency at n = 1; е – the second radial frequency at n = 0

Рис. 4. Расчётный спектр низкочастотного акустического давления внутри отсека с учётом балочной части РН и низкочастотных колебаний, вызванных работой ДУ и отсека без балочной части жёстко зафиксированного на торцевых шпангоутах:

1 – «пилообразная» форма спектра; 2 – резонанс на 50 Гц; 3 – резонанс на 104 Гц; 4 – резонанс на 145 Гц

• Fig. 4.    Calculated spectrum of low-frequency acoustic pressure inside the compartment, considering the LV beam section and low-frequency vibrations caused by the operation of the engine, and the compartment without the beam section rigidly fixed to the end frames:

• 1    – sawtooth spectrum shape; 2 – resonance at 50 Hz; 3 – resonance at 104 Hz; 4 – resonance at 145 Hz

Анализ структурных частот

На рис. 5 представлены результаты анализа собственных частот и их влияния на акустическое давление внутри отсека РН. На средней его части изображен разброс величины разности соседних собственных частот Δ f_i = f_{i +1} – f_i от частоты f_i .

5000 P

.......Без балочной PH

Рис. 5. Результаты анализа обственных частот и их влияние на внутреннее акустическое давление

Fig. 5. Results of the analysis of natural frequencies and their influence on internal acoustic pressure

Нижний график демонстрирует влияние участков с максимальной плотностью собственных частот P на внутреннее акустическое давление p :

N

P ( Δ f i , N ) = ∑ _{i ∆} ^N _fi ,                                     (6)

где N – количество собственных частот в интересующем диапазоне. Чем меньше величина Δ f i и чем больше собственных частот в интересующем диапазоне N находится в интересующем диапазоне, тем выше плотность P , на соответствующей полосе частот которой должно произойти повышение внутреннего акустического давления. Поэтому для проведения анализа плотности собственных частот эксплуатационный диапазон от 140 Гц, где возникали первые оболочечные формы, до 2000 Гц был разбит на десять равных частей. После этого для каждого из получившихся поддиапазонов была вычислена P = P (Δ f i , N ). Результаты расчётов по формуле (6) представлены верхней частью рис. 5.

Из полученных данных, представленных на рис. 5, можно отметить, что резонансы в спектре внутреннее акустическое давление в окрестности частот 275, 575, 1050 и 1400 Гц являются следствием повышенных значений величины P.

Влияние граничных условий на внутреннее акустическое давление и динамику отсека

При расчёте виброакустического нагружения отсека использовались три вида граничных условий: 1) отсек без учёта балочной РН, зафиксированный по торцам крайних шпангоутов; 2) отсек, закрепленный к балочной модели РН с учётом динамики ДУ; 3) отсек, закрепленный к балочной модели РН без учёта динамики ДУ. Результаты расчётов внутреннего акустического давления p и виброускорений a _r, a _φ, a_z в цилиндрических координатах ( r , φ, z ) представлены на рис. 6.

Анализ результатов позволяет сделать следующие выводы:

• 1)    балочные модели (с учетом работы ДУ и без ее учета) показали одинаковые значения исследуемых параметров на высоких частотах. На низких частотах до 80 Гц для параметра R и a r и до 150 Гц для параметра a φ и a z возникают существенные расхождения, вызванные упругими колебаниями корпуса РН на низких частотах, обусловленные работой ДУ;

• 2)    сравнение балочной модели без учёта ДУ и модели отсека, фиксированного по краевым шпангоутам, показывает, что соответствующие низкочастотные параметры становятся близкими друг другу. Малая динамичность в дорезонансной полосе частот является характерной для замкнутых цилиндрических поверхностей [5; 15]. Однако звукоизоляция здесь определяется не только жёсткостью, но и возникающими внутри отсека пространственными резонансами, что уменьшает её величину по сравнению со случаем, когда поверхность отсека имела бы абсолютное звукопоглощение, при данном расчёте оно полагалось равным 10 % во всем диапазоне частот [15]. Высокочастотное внутреннее акустическое давление для указанных случаев является соизмеримым. Частотный профиль при различных способах крепления может изменяться, например, в рассматриваемом случае пики вибронагружения перераспределились в соответствии с данными, приведенными в табл. 3, при этом амплитудные характеристики виброускорений оказались сопоставимыми. Поэтому для оценки вибродинамики отсека рекомендуется использовать присоединённую балочную модель РН.

Пики вибронагружения при различном закреплении отсека

Таблица 3

Направление действия вибрации	Пиковая частота без балочной РН	Пиковая частота балочной РН
радиальное	400 Гц, 600 Гц	525 Гц
вращательное	500 Гц	350 Гц
продольное	625 Гц 1400 Гц	525 Гц 1200 Гц

г

Рис. 6. Результаты расчётов виброакустического нагружения отсека при различных граничных условиях: а – внутреннее акустическое давление; б – виброускорение в радиальном направлении;

в – виброускорение во вращательном направлении; г – виброускоение в продольном направлении

Fig. 6. Results of vibroacoustic loading calculations for a compartment under various boundary conditions: а – internal acoustic pressure; б – vibration acceleration in the radial direction; в – vibration acceleration in the rotational direction; г – vibration acceleration in the longitudinal direction

Заключение

По итогам проведенной работы получены следующие результаты:

• 1)    разработана представленная на рис. 1 виброакустическая КЭМ, состоящая из балочной модели РН, модели исследуемого отсека и расположенной внутри акустической среды;

• 2)    получены собственные частоты и формы колебания среды внутри отсека. Как показали результаты расчётов, представленные на рис. 2–4, основное влияние имеют радиальные частоты 50, 104, 145 Гц, соответствующие нулям функции Бесселя нулевого и первого порядка;

• 3)    для оценки влияния структурных частот на виброакустическое нагружение отсека в соответствии с формулой (6) введена характеристика для оценки плотности собственных частот Р . Показано, что имеется ряд диапазонов в районе частот 275, 575, 1050 и 1400 Гц, где значения внутреннего акустического давления и виброускорения могут повышаться;

• 4)    проведена оценка внутреннего акустического давления и вибродинамических параметров отсека для различных способов его крепления, которая показала, что низкочастотные колебания могут влиять на низкочастотное внутреннее акустическое давление отсека, что подтверждалось при реальной эксплуатации ракет. Балочная модель без учёта колебаний от ДУ демонстрировала возможность влияния более податливых торцевых шпангоутов отсека на высокочастотную динамику и внутреннее акустическое давление отсека, перераспределяя частоты, на которых возникали пики виброускорения в соответствии с табл. 3. Поэтому для наиболее полного учёта влияния различных факторов на виброакустическое нагружение отсека рекомендуется использовать присоединённую балочную модель РН с учётом динамики от ДУ.

Результаты исследования были получены при финансовой поддержке Российской Федерации в лице Минобрнауки России (грант на проведение крупных научных проектов по приоритетным направлениям научно-технического развития, соглашение № 075-15-2024-558).

Acknowledgments

The research results were obtained with financial support from the Russian Federation through the Ministry of Education and Science of Russia (grant for major research projects in priority areas of scientific and technological development, agreement No. 075-15-2024-558).