«Волновое» асимптотическое решение задачи изоэлектрического фокусирования

Статья посвящена асимптотическому анализу математической модели изоэлектрического фокусирования (ИЭФ) в так называемых «аномальных» режимах. Математическим описанием задачи ИЭФ водного раствора амфолитов является интегро-дифференциальная задача, состоящая из N дифференциальных уравнений, одного алгебраического уравнения и N интегральных уравнений. Графики аналитических концентраций амфолитов (так называемые профили амфолитов), являющиеся решениями задачи, в обычных режимах имеют вид стандартных гауссовских кривых. В «аномальных» режимах, при высоких плотностях тока J, имеет место нарушение гауссовского распределения: на вершинах графиков появляются «плато», расширяющиеся при увеличении J. Поскольку гауссовский закон распределения случайных величин является одним из важнейших и наиболее употребительных в математической физике, его нарушение представляет серьезный научный интерес. Не является ли гауссовское распределение частным случаем некоего «гипергауссовского», более общего распределения? Какая формула выражает это распределение? В настоящей работе получено асимптотическое решение задачи ИЭФ, устанавливающее вид негауссовского распределения концентраций в «аномальных» режимах. Применение метода перевала к интегро-дифференциальной задаче позволяет представить ее решение в виде экспоненциальной функции со степенным («волновым») рядом в показателе. Асимптотическими методами математической физики установлено, что для каждого значения плотности тока J имеется конечное число членов ряда, обладающих существенным вкладом в сумму ряда; остальными слагаемыми можно пренебречь в силу их малости. В частности, для равномерного распределения амфолитов решение представляет собой экспоненциальную функцию с конечным числом четных степеней (x - x k ) 2l в показателе, причем величины l увеличиваются при возрастании плотности тока J. Известно, что «плато» на вершине графика функции exp (-x 2k) тем шире, чем больше значение l в показателе функции. Проведенный анализ объясняет поведение профилей концентраций в «аномальных» режимах и указывает формулу, являющуюся обобщением гауссовского решения для жесткой интегро-дифференциальной задачи ИЭФ.