Возбуждение магнитосферного МГД-резонатора стохастическими гидромагнитными волнами внемагнитосферного происхождения

Настоящая статья является заключительной в цикле работ автора, включающем в себя также работы [Мазур, 2009а] и [Мазур, 2009b], и публикуется непосредственно за ними. Поэтому мы будем использовать модель среды и обозначения, введенные в этих работах, не повторяя их описание. Кроме того, будут широко использоваться результаты этих работ.

В настоящей статье рассматриваются стохастические колебания, поля возмущения которых являются случайными функциями времени. Стохастические свойства в той или иной степени проявляют все колебания магнитосферы. Мы ограничимся стационарными стохастическими колебаниями, спектр которых не зависит от времени. К колебаниям такого рода можно отнести большинство геомагнитных пульсаций из классов Pc, в том числе главный тип геомагнитных пульсаций – дневные Рс3, практически постоянно присутствующие в дневной магнитосфере.

Статистическая модель источника колебаний

Зависящее от времени решение ς( x , t ) в предыдущей работе [Мазур, 2009b] мы представили в виде интеграла Фурье

_? ( x , t ) = j %( x , _Ю ) e ^— i ™ ^td to,                            (1)

—TO а соответствующую фурье-гармонику – в виде

%( x , to) = C W (to) g( x , to).                              (2)

Здесь ςˆ( x , ω) – стандартное решение для монохроматической волны с заданной частотой ω, имеющее вполне определенную амплитуду. Мы его определили таким образом, что в области солнечного ветра оно имеет вид

?(x, to) = [Po(x)cs(x)]1/2 X x{exp [—itoTS (x)] + R (to) exp [ itoTS (x)]}.           (3)

После этого величину С _W (ω) можно рассматривать как амплитуду фурье-гармоники. Выбор стандартного решения в виде (3) удобен тем, что поток энергии падающей и отраженной волн в области солнечного ветра дается простыми формулами

¹ %       ²

^S in = ^S W ⁼ "T | C W^{( to )}| ,

⁴                                       (4)

S out = 4 1 R (to)| ² | w (to)| 2 = R I² S W .

Напомним, что множители 1/4 обусловлены усреднением по координатам y и z . В силу принципа суперпозиции функция (1) является возможным колебанием среды при произвольной функции С _W (ω).

Для стохастических колебаний ς( x , t ) является случайной функцией времени, соответственно ς%( x , ω) – случайная функция частоты. Поскольку в соотношении (2) ςˆ( x , ω) есть вполне определенная функция своих аргументов, то случайной функцией частоты является С _W (ω) . Будем предполагать, что ансамбль случайных функций С _W (ω) обладает следующими свойствами:

С C w (to)) = 0,                                        (5)

(C _w(to) C _w(to)) = 4 5 (и)5(и - to ’ ).               (6)

Здесь угловые скобки означают усреднение по ансамблю. Множитель 4 введен в формулу (6), чтобы сократить множители 1/4 в формулах типа (4). Статистический ансамбль, обладающий свойствами (5) и (6), называется стационарным белым шумом [Корн Г., Корн, 1984]. В нем полностью отсутствует корреляция колебаний на разных частотах.

Корреляционная функция (6) позволяет вычислять одновременные средние билинейных комбинаций возмущенных полей, в частности, такие величины, как среднюю плотность энергии, средний поток энергии или среднюю диссипируемую мощность. Пусть

a ( x , ‘ ) = J C ( x , to) e - i ^to ‘ d to = J C _w(to) a ( x , to) e - i ^to ‘ d to,

-∞                  -∞

∞∞

b ( x , t ) = J b ( x , to) e - i ^to ‘ d to = J C _w(to) b ( x , to) e - i ^to ‘ d to

-∞                  -∞ суть два возмущенных поля (компоненты возмущенных электрического или магнитного полей, смещения, плотности и т.п.). Легко убедиться, что тогда

∞

^a " ( x , ‘ ) b ( x , ‘^ = 4 J 5 (to) а • ( x , to) b ( x , to) d to.

-∞

С использованием этого соотношения из формул для монохроматической волны легко получить соответствующие формулы для рассматриваемого стохастического ансамбля. Если для монохроматической волны некоторая билинейная комбинация возмущенных полей представляется в виде a (x, to)b%(x, to) = |Cw(to)| F(x, to) = 45w(to)F(x, to), то одновременное среднее по ансамблю от соответствующей билинейной комбинации зависящих от времени полей есть

С а ■ ( x , ‘ ) b ( x , ‘ )) = 4 J 5 (to) F ( x , to) d to.                (7)

-∞

Подынтегральное выражение в (7) (вместе с коэффициентом 4) следует трактовать как спектральную плотность. Таким образом, замена

5 _w ^ 5 (to)                                    (8)

в формуле для некоторой билинейной комбинации полей монохроматической волны превращает ее в формулу для спектральной плотности этой величины для стохастического ансамбля.

В частности, для потока энергии в солнечном ветре из (4) получаем

\ ⁵x /      \⁵ in / + \ ⁵ out / ,

∞∞

55^ = J 5 (to) d to,  ( 5 out) = J R (to)|² 5 (to) d to.

-∞                      - ω

Отсюда видно, что корреляционная функция 5 (to), фигурирующая в определении (6), представляет собой спектральную плотность потока энергии падающей волны.

В предыдущих статьях [Мазур, 2009а] и [Мазур, 2009b] мы видели, что модуль коэффициента отражения R _w(to)| существенно отличается от единицы только вблизи собственных частот магнитосферного резонатора. Используя формулу (21) статьи [Мазур, 2009b], имеем

| R w (to)| 2 = 1 - 4 ^ n

^V An ^V w n ⁽ to ^- to n ^{) 2} + ^v„²'

Предположим, что спектральная функция 5 (to) меняется медленно по сравнению с последним членом в этом выражении. Тогда

Q w -< 5 in)-( 5 out) = 4п £ 5 (to n ) ^V A n ^{V w n} .

^X ' ^X ' V      ^V A n + ^V w n

Величина Q _w есть поток энергии, проникающий в магнитосферу, т. е. мощность накачки магнитосферного резонатора.

Возбуждение магнитосферного резонатора

Пространственная плотность энергии монохроматической волны в магнитосферном резонаторе дается формулой (75) статьи [Мазур, 2009а]. В соответствии со сформулированным выше правилом, ее спектральную плотность для стохастических колебаний можно представить в виде

w ( x , to) = 5 (to)

Т g (to)v g ( x , to)

у   2v wn n (to - ton )2 + V2'

Для частотной зависимости здесь использовано выражение, справедливое вблизи собственных частот при |to - to _n | <<  т - n . Для наших целей такого выражения вполне достаточно, так как при интегрировании по частотам основной вклад в интеграл дают малые окрестности этих частот: |ю - to _n | <  V _n . Отметим, что в рамках используемого нами приближения ВКБ функцию w ( x , to) следует считать равной нулю в области непрозрачности при x_R(to), или, что то же самое, при to<ktc_A(x).

Функция w ( x , to) является спектрально-пространственной плотностью энергии резонатора. Интеграл от нее по частотам дает пространственную плотность

∞

W ( x ) = J w ( x , to) d to =

-∞

∞

= J d to 5 (to)

-∞

Т g (to)v g ( x , w)

^   2v wn n (to - ton )2 + Vn

При вычислении интеграла в (10) ограничимся рассмотрением двух противоположных случаев.

Если спектральная плотность потока энергии падающей волны 5(to) имеет острый максимум на некоторой частоте to0, так что ширина этого максимума Ato много меньше интервала между собственными частотами Aton ~ т-n, то мы возвращаемся к формулам для монохроматической волны. Стохастические колебания с такой спектральной функцией 5(to) по своим проявлениям принципиально не отличаются от монохроматической волны. Одно, не очень важное, отличие состоит в следующем. Если центральная частота ю0 близка юn и ширина спектра Аю>>vn, то в выражении для спектральной плотности энергии в резонаторе в резонансном знаменателе следует заменить vn^Аю.

В противоположном случае, когда характерная ширина спектра падающей волны Аю>Аю _п , спектральная функция S (ю) меняется медленно по сравнению с резонансным множителем. Тогда интеграл в (10) легко берется:

W ( x ) = 2п £ S (ю , ) —^VWn --¹-----.    (11)

n         ^V a , + v _w , ^T g _n v g ⁽ x , ^ю , )

-                1         £_в 1

w(x, ю) = S (ю)------— х п (x — xА(ю)) + eP1А

vV 2V An VWn / Y An х У / x 2    ?.

n ^{( ю — ю} n ) ^{+ V} n

Функции x = x _А(ю) и ю=ю_А( x )= k z c _A( x ) являются взаимно-обратными, и в малых интервалах изменения x и ю связаны линейным соотношением

® a ( x ) = ю 1

—

x — x _А(ю) 2 1 A

.

Используя это соотношение, выражение (14) пе-

В этом случае пространственная плотность энергии есть сумма плотностей энергии отдельных собственных мод, уровень возбуждения которых определяется значениями спектральной функции S (ю _n ) на собственных частотах.

Интеграл от функции w ( x , ю) по координате x дает спектральную плотность энергии, заключенной в резонаторе:

W r (ю) = S (ю)£  --- ^{2 V} W2---2- .               (12)

п ^{( ю} - ^ю , ) ⁺ V ,

В соответствии с общим правилом, это выражение также можно получить из соотношений (83) и (84) статьи [Мазур, 2009а] с помощью замены (8). При широком спектре падающих волн (Аю>Аю _п ) выражение (12) имеет острые максимумы на собственных частотах.

Полную энергию, заключенную в резонаторе, можно получить либо интегрированием выражения (11) по координате, либо интегрированием выражения (12) по частоте:

E _r = j W ( x ) dx = j W R (ю) d ю. x R               = ^м

Для узкого спектра падающих волн, Аю<<Аю , , )

Г   о      ^VV W п

^E R = S ,          -.2     2 ,

^{( ю} 0 ^{— ю} п ) ^{+ V} n где

S = j S (ю) d ю,

—м а под номером п следует понимать номер той собственной моды, частота которой ближе всего к центральной частоте спектра падающих волн ю0. Для широкого спектра (Аю>Аюп) имеем

E r = 2п У S (ю п ) ^{V W п}   .                   (13)

п        V An ⁺ V W п

репишем в виде

w(x, ю) = S (ю)-----х neP1A

_х Y a у    ^V a , ^V w n

(ю — ю а ( x ))² + Y A n n (ю — ю n )² + V n

Спектральную плотность энергии, локализованную в окрестности альфвеновских резонансов, получим интегрированием по x выражения (14):

W _A (ю) = J w ( x , ю) dx = S (ю) ^ ^2V A n ^{V W} n ₂/ ^{Y n} ₂ .

—t                   « (ю ^— ю , )^{2 +} v n

Для широкого спектра падающих волн эта функция представляет собой совокупность острых пиков на собственных частотах магнитосферного резонатора, высота которых пропорциональна значениям S (ю _п ).

Пространственную плотность энергии вычислим, интегрируя по частоте выражение (16). Используя соотношение

м г , Y                V dω

—м    (ю — ю а ) + Y (ю — ю п ) + V

Y + V

П            9           У,

(ю а — ю , ) + (Y + V )

γ

имеем для широкого спектра падающих волн

м

W ( x ) = j w ( x , ю) d ю =

—м

= У S (юn )4- ^AnVW^ х n        eP1A V An + V Wn х_________YAn + V An + VWn_________

^{( ю} А⁽ x ) ^{— ю} n ^{) 2 + ( Y} A n ^{+ V} A n ^{+ V} W n ^{) 2}

С помощью соотношения (15) это выражение можно переписать в виде

W ( x ) = У S (ю , )

n

^{2 V} A n ^V w ,

e , 1 a

Y An ^{( V} A n ⁺ V w п ) ⁽ x ^— x а⁽ ю , ^{)) 2 + e} 2 ¹ А'

Здесь обозначено

Энергия в окрестности альфвеновского резонанса

Спектрально-пространственную плотность энергии в окрестности альфвеновского резонанса получаем с помощью замены (8) из формулы (76) статьи [Мазур, 2009а]:

ё     YAn + V A + V W n e n = 2                 .

ω _n

Полная энергия, локализованная во всех альфве-новских резонансах, дается выражением

E_a = 2пУ S (ю„)--- ^V A ^{V W n}---

A n n         Y A n ^{( V} A n ⁺ V W n )

.

Каждый из членов в этой сумме есть энергия отдельного альфвеновского резонанса. Он связан с соответствующим членом в сумме (13) соотношением v A n E R n =γ A n E A n . Что вполне естественно, так как это соотношение выполняется для любой фурье-гармоники (см. формулу (82) работы [Мазур, 2009а]).

Спектрально-пространственная плотность мощности, диссипируемой в альфвеновском резонансе, связана со спектрально-пространственной плотностью энергии соотношением

q ( x, to) = 2y a ( x) w ( x, to).

Это позволяет легко написать соответствующие выражения для диссипируемой мощности. Отметим только одно из них – для полной диссипируемой мощности:

Q a = 4n £ 5 (to n )

n

^V An ^V W n

.

V An + V W n

Подчеркнем, что эта величина (так же как и спектральная плотность диссипируемой мощности) не зависит от декремента затухания альфвеновских волн γ _А . Она совпадает с мощностью накачки магнитосферного резонатора (9), т. е. вся энергия, проникшая в магнитосферу, в конечном счете диссипирует в окрестностях альфвеновских резонансов.

Заключение

Сформулируем основные результаты работы

• 1.    При падении из солнечного ветра на магнитосферу стохастических гидромагнитных волн, обладающих статистическими свойствами широкополосного (Δω≥ω n ) белого шума, только малая часть их энергии порядка v_n /Δω _n проникает в магнитосферу.

• 2.    Проникшее возмущение возбуждает в магнитосферном резонаторе узкополосные собственные моды с шириной полосы порядка v n . Уровень возбуждения определяется значением спектральной функции на собственной частоте S (ω n ) и декрементом радиационного затухания собственной моды v Wn , который можно рассматривать как характеристику «проницаемости» магнитопаузы для гидро-магнитных волн.

• 3.    Каждой собственной моде, возбужденной в резонаторе, соответствует свой пик альфвенов-ского резонанса вблизи точки x _{A n} = x _A(ω _n ) шириной S n^z A = 2 1 A (Y A n + V An + V W n ) / to n . Энергия колебаний диссипирует в этих окрестностях, причем суммарная мощность диссипации равна мощности накачки магнитосферного резонатора.

• 4.    При рассмотрении в предыдущей статье [Мазур, 2009b] нестационарных колебаний, возбуждаемых падающим на магнитосферу коротким волновым импульсом, можно было отделить возмущение, отраженное от магнитопаузы сразу при падении волнового импульса, от возмущения, проникшего в магнитосферу и затем длительное время излучаемого обратно в солнечный ветер. Поэтому потери энергии магнитосферного резонатора складывались из поглощения в точках альфвеновского резонанса и потерь на излучение. Для рассматриваемых в настоящей статье стационарных колебаний отраженное сразу возмущение и последующее излучение сосуществуют постоянно и их разделение физически бессмысленно. Поэтому как отраженное возмущение следует трактовать их сумму, что и подразумевается в настоящей статье. При таком понимании уже вся проникшая в магнитосферу энергия падающих волн диссипирует в точках альфвеновского резонанса.

Три работы представленного цикла ([Мазур, 2009а, 2009b] и настоящая статья) образуют чисто теоретическое исследование свойств магнитосферного МГД-резона-тора и его влияния на процессы, связанные с падением на магнитосферу гидромагнитных волн из солнечного ветра. Возникает естественный вопрос – насколько результаты этого исследования соответствуют свойствам реальных МГД-колебаний магнитосферы? По мнению автора, ответ на этот вопрос выходит за рамки настоящего исследования. Ему должна быть посвящена специальная работа, которую автор планирует опубликовать в ближайшее время.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, гранты № 07-05-00185 и № 09-02-00082.