Возможности вычислений на кристаллах

Преобразование пучка света кристаллом обычно связывают с задачей рассеяния, заключающейся в определении изменения пространственного распределения, частоты, поляризации оптического излучения при его взаимодействии с веществом [2, 3] . Последовательное решение задачи рассеяния возможно только в соответствующей квантовой теории — квантовой электродинамике. Элементарный акт рассеяния трактуется как поглощение веществом падающего фотона, а затем спонтанное испускание рассеянного фотона с другими значениями энергии, импульса и поляризации [4 , 5] . В данной работе задача рассеяния рассматривается упрощённо: поскольку исследуются потенциальные вычислительные возможности физических процессов, то детали преобразования пучка света кристаллом игнорируются.

Пусть имеется кристалл или совокупность кристаллов, на который подаётся входящий пучок световых лучей. Кристалл преобразует пучок унитарным образом, после чего параметры исходящего пучка определяются измерительным прибором.

Работа поддержана грантом Министерства Образования и Науки Российской Федерации (id RFMEFI61314X0030).

○c А. А. Демидов, 2015

○c Институт программных систем имени А. К. Айламазяна РАН , 2015

○c Программные системы: теория и приложения, 2015

Вектор поля E монохроматической волны можно представить в виде

• (1)                           E = А е е^{г (кг - Ш}^ ,

где А — амплитуда, e — вектор поляризации, k — волновой вектор, ш — угловая частота [6] [§1.2.1]. Произвольный вектор поляризации e можно разложить по двум ортогональным векторам, например e _x и e y :

• (2)                          e = сц е х + й 2 б ^г5 e y ,

где с 1 = cos Р и й ₂ = sin /3 — действительные коэффициенты, /3 — параметр (при линейной поляризации имеет смысл угла между e и осью ж).

Для описания преобразования пучка, состоящего из множества лучей, целесообразно использовать аппарат квантовой механики. Это же обеспечит полноту исследования возможностей кристаллов. Впоследствии результат можно будет огрубить до классического приближения.

Каждому входящему лучу можно приписать вектор состояния

• (3)                        |е) = й 1 |е _ж ) + с/ ’ |е _у \

Состояние полной системы получается с помощью операции тензорного умножения:

• (4)                         р = e i ® ... ® е „ = |e i ) ... |е „ ).

Результирующее состояние системы в общем случае не раскладывается на состояния подсистем по формуле (4) , являясь несепарабельным . Поэтому часто для описания состояния системы применяют функционал (матрицу) плотности р о [7] , которая задаётся выражением

• ⁽⁵⁾                          Р о = ^рр * = ^|р )( ^р| ,

где звёздочка означает комплексное сопряжение.

Чтобы определить поляризационные свойства каждого луча, необходимо выполнить четыре независимых измерения, например, определить параметры Стокса — интенсивность и три степени поляризации луча [6] [§1.2.5.4]. Далее эти параметры используются как исходные данные для определения матрицы плотности входящего пучка.

Обозначая через U унитарное преобразование, осуществляемое кристаллом заданной конфигурации при определённом положении, можно записать результирующую матрицу

р =U \ ф ){ ^ \ и * .

Состояния исходящих лучей определяются редуцированными матрицами плотности, которые получаются из р взятием частичного следа

р ^(а) = tr _B р = ^2(В _г |р|В _г ),

г

⁽ ^ З \^р ^| ^А:)     ^ ^ ^(В г ^ З ^1р\ В гЩс },

г

где |а_З-), \а&) — базисные состояния интересующей подсистемы, а |В _г ) — базисные состояния остальной части полной системы (см. рис. 11) .

Рис. 1. Операция взятия частичного следа

Состояния (7) в общем случает будут смешанными , то есть не будут представимы в виде тензорного произведения векторов (5) . В некогерентной смеси в определённой пропорции присутствуют компоненты, описываемые различными векторами состояния, причём разложение смешанного состояния на чистые состояния не единственно. Последнее обстоятельство несущественно, поскольку различные пучки, описываемые одинаковой матрицей плотности, во всех опытах будут вести себя тождественно с точки зрения свойств поляризации [6] [§1.1.5.3].

¹ Элементы смежных областей, выделенных одним цветом, суммируются попарно. Операции р ^(а) = tr y р соответствует красный, а p ^{( b}' ) = tr j р — синий

цвет.

Воспользуемся единственностью спектрального разложения матрицы по базису собственных векторов

• (8)                           /з ^(п) = V ЛV ^-1 ,

где V — матрица собственных векторов матрицы / ^(п) по столбцам, Л — диагональная матрица собственных значений матрицы / ^(п) на главной диагонали. Тогда луч п будет описываться совокупностью собственных векторов со статистическими весами, представленными собственными значениями:

• (9)                        O^W = J Л гг |Т^>.

г

Выполнение спектрального разложения — нетривиальная задача для размерности /'" >3, поскольку при поиске собственных чисел в процессе решения матричного уравнения

• (10)             (/ ⁽ⁿ⁾ - XI ) v = 0, det(/ ⁽ⁿ⁾ - XI ) = 0,

возникает алгебраическое уравнение степени |/ ^(п) | (см. [8] ). Поэтому будем выделять в исходящем пуске столько лучей, сколько во входящем. В этом случае размерность матрицы плотности каждого луча l/^Wl = 2.

Вычислительная модель, соответствующая преобразованиям, осуществляемым кристаллом, будет зависеть от того, какое множество объектов взять за основу: можно рассматривать лишь матрицу плотности полной системы, не проводя измерений над отдельными исходящими лучами — формула (6) , или же можно интересоваться состоянием каждого входящего и исходящего луча в отдельности — формула (9) . Первый вариант допустим только для случая каскадного соединения кристаллов, заключительной операцией в любом случае должно быть измерение состояния каждого луча.