Возможные контракции группы SU(2) х U(1)

Специальная унитарная группа SU (2) находит многочисленные применения как в математике, так и в теоретической физике. В частности, классические специальные функции математической физики — многочлены Лежандра и Якоби — выражаются через матричные элементы неприводимых унитарных представлений этой группы [1]. Понятие спина элементарных частиц, а также изотопического спина нуклона, объединяющего в один мультиплет протон и нейтрон, связано с группой SU (2) [2]. Современная электрослабая теория элементарных частиц основана на калибровочной группе SU (2) х U (1) [3]. Напомним, что группа SU (2) локально изоморфна группе вращений SO (3) .

Широкое использование группы SU (2) предполагает детальное изучение не только ее свойств, но и свойств групп, которые получаются из нее предельными переходами или контракциями [4]. С точки зрения физических приложений контракция группы соответствует рассмотрению того или иного предельного случая физической системы, построенной с помощью данной группы или имеющей симметрию, описываемую группой. Если свойства самой группы SU (2) хорошо известны, этого нельзя сказать о свойствах ее контрактированных групп.

В теоретической физике чаще всего фундаментальные представления контрактированной специальной унитарной группы SU(2; j) описываются треугольной матрицей u-(a a)-

det u = | a | ² = 1

с комплексными элементами a, b e C. Однако имеется другой математически более изощренный подход [5], когда группы и алгебры Ли рассматриваются не над вещественным или комплексным полем, а над алгеброй с нильпотентными образующими. В простейшем случае при описании контрактирован-ных групп вместо комплексных матричных элементов появляется матрица с нильпотентными элементами u

det u ( i ) = |a |² = 1 ,

а, в e C ,

где нильпотентная единица i = 0 , но i ² = 0 . Эти две возможности соответствуют несимметричному появлению контракционного параметра j в первом случае, когда только матричный элемент u 12 умножается на j ² = i ² = 0 , и симметричной расстановке параметра j во втором случае, когда матричные элементы u 12 ,u 21 умножаются на j = i .

Группа SU (2; j ) х U (1; j ) над алгеброй Пименова

D 2 ( j )

Рассмотрим алгебру Пименова D 2 ( j 1 ,j 2 ) с элементами вида [6]

a = a 0 + j 1 a 1 + j 2 a 2 + j 1 j 2 a 3, где ak, k = 0, 1, 2, 3 — комплексные коэффициенты, а параметры j принимают по два значения j 1 =

1 ,1 1 , j 2 = 1 ,1 2 . Здесь i n , n = 1 , 2 есть коммутативные нильпотентные образующие с алгебраическими свойcтвами: i П = 0 , но i 1 i ₂ = i ₂ i 1 = 0 . Справедливы следующие эвристические правила: для вещественного или комплексного b выражения b/ι n определены только при b = 0 , однако i n /i n = 1 . Подчеркнем, что сокращать можно только одинаковые нильпотентные единицы (с одинаковым индексом), выражения типа ι 1 /ι 2 не определены, следовательно, не допускаются к рассмотрению.

Из наиболее общего двумерного векторного пространства над алгеброй D ₂ ( j ) , j = ( j 1 ,j ₂ ) выделим пространство C ₂ ( j ) с векторами специального вида

«j tj x ^A      (1)

характеризующиеся распределением параметров j 1 и j 2 в своих компонентах. Под действием преобразований из группы SU (2; j ) х U (1; j ) эти вектора переходят в себя. Действительно, преобразования z ( j ) = u (2; j ) z ( j ) , u (2; j ) G SU (2; j ) , или

/ x ‘ 1 + ij 2 x 2   \ =

V j 1 ⁽ У 1 ^{+ ij} 2 У 2 ) /

/    a i + ij 2 a 2      j i ( в 1 + ij 2 в 2 ) A A x 1 + ij 2 x 2 A

V j 1(-в 1 + ij2в2)    a 1 - ij2a2 / Vj 1(У1 + ij2У2) /’ где групповые параметры подчиняются уравнению a 1 + j 22 a 2 + j 2( в 2 + j 22 в 22) = 1,           (3)

а также преобразования u (1; j ) g U (1; j ) вида

Z ‘ ( j ) = e i ^{2 ф} z ( j ) = (cos j 2 Ф + i sin j 2 ф ) z ( j ) = u (1; j ) z ( j ) ,

(4) где ф g [0 , 2 п ) при j ₂ = 1 и ф g R при j ₂ = 1 ₂ , не только сохраняют распределение параметров j 1 и j 2 , но и оставляют инвариантной величину

\z ( j )1² = x 1 + j 2 x 2 + j 2 ( y 2 + j 2 y 2 ) = inv .     (5)

Заметим, что двумерное комплексное пространство C 2 эквивалентно четырехмерному вещественному пространству R 4 . Нам удобно рассматривать действие групп на вещественном пространстве. Комплексному пространству C ₂ ( j ) (1) соответствует вещественное пространство R 4 ( j ) с векторами вида ( X ) t ( j ) = ( x 1 ,j 2 x 2 ,j 1 У 1 ,j 1 j 2 У 2 ) t . Инвариант (5) есть сфера произвольного радиуса в этом пространстве, а вещественные параметры (3) группы SU (2; j ) лежат на сфере единичного радиуса. Из уравнений (2) получаем действие группы SU (2; j ) в пространстве R 4 ( j )

x1  =  a 1x 1 - j2 a2x2 + j2(в 1У1 - j2в2У2) ’ x'2 = a 2 x 1 + a 1 x 2 + j2( в 2 У1 + в 1У 2),

У 1   =   -в 1 x 1 - j 2 в 2 x 2 + a 1 у 1 + j 2 a 2 у 2 ,

У 2 = в 2 x 1 - в 1 x 2 - a 2 y 1 + a 1 y 2 ,           (6)

а из (4) действие группы U (1; j ) в этом пространстве

′ x1  = x1 cos j2 ф - x2j2 sin j2 ф,

‘                             1 • •                                  ■ x2 = x 1— Sin j2 ф + x2 cos j2 ф, j2

′

У 1   = У 1 ^cos j 2 ф ^- У 2 j 2 ^Sin j 2 ф’

У 2   = У 1— sin j 2 ф + У 2 cos j 2 ф.         (7)

j 2

Рассмотрим однопараметрические подгруппы и алгебры Ли. Поскольку действие группы U(1;j) в комплексном пространстве C2 (j) сводится к умножению на функцию, то генератор (инфинитезимальный оператор) представления пропорционален единичной матрице. Однопараметрические подгруппы фундаментального представления группы SU(2; j) имеют вид u 1(ш 1; j 1) = e" 1T1(j) = ( cos 2 j 1 ш 1

i sin 2 j 1 ш 1

i sin 2 j 1 ш 1 cos 2 j 1 ш 1

,

u 2 ( ш 2 ; j 1 j 2 ) = e " 2 T 2 (» = ( ^cos К' ¹ j ^{2 ш 2     sin} 2 j ¹ j ^{2 ш 2} '

V - sin 2 j 1 j 2 ш 2 cos 2 j 1 j 2 ш 2 ,

" 3 ( ш 3 ; j 2 ) = e " ³ T - j = ( e 2 " ³ e - ; > , 2 „ 3 ) , (8)

а отвечающие им генераторы задаются матрицами

T -® = j 1 2 ( ⁰ 1 ) ’T =^{a )=} j 1 j 2 2 ( ⁰ -,i ) •

T 3®= j 2 2 ( 0 - 0 )            <⁹⁾

с коммутационными соотношениями

[ T 1 ( j ) ,T 2 ( j )] = -j 2 T 3 ( j ) ’ [ T 3 ( j ) ,T 1 ( j )] = -T 2 ( j ) ,

[ T 2 ( j ) ,T 3 ( j )] = -j 2 ² T 1 ( j ) ,              (10)

определяющими представление алгебры Ли su (2; j ) , общий элемент которой имеет вид

T (j) = Y,ak Tk (j) = k=1

= i        j 2 a 3

2 \ j 1 ( a 1 + ij 2 a 2 )

Формулы этого

j11 a--2 aj2 a2))=- < t

описывают прямое произведение классических групп SU(2) х U(1). Обратно из группы SU(2) х U(1) легко получить группу SU(2; j) х U(1; j заменой a 1 ^ a 1, a2 ^ j2 a2, в 1 ^ j 1 в 1, в2 ^ j 1 j2в2, ф ^ j2 ф,

(12) в том числе для однопараметрических подгрупп ш 1 ^ j 1ш 1 ’ ш2 ^ j 1j2ш2’ ш3 ^ j 1ш3.     (13)

Пространство R4 (j) получается из R4 подстановкой декартовых координат x 1 ^ x 1, x2 ^ j2x2, y 1 ^ j 1 y 1, y2 ^ j 1 j2У2. (14)

Помимо замены (12) имеется еще одно преобразование параметров унитарной группы a 1 ^ a 1, a2 ^ j 1 j2a2, в 1 ^ j 1 в 1, в2 ^ j2в2, ф ^ j 1 j2ф, (15)

которое вместе с преобразованием координат пространства R4(j)

X1 ^ X1, X2 ^ j 1 j2X2, y 1 ^ j 1 y 1, y2 ^ j2y2    (16)

приводит к другому согласованному распределению контракционных параметров, а именно z‘(j) = U(2; j)z(j), u(2; j) G SU(2; j), или

/ x‘1 + ij 1 j2x2

V ^j 1 y1 ^{+ ij} 2 y2

/ a 1 + ij 1 j 2 a 2

V   j 1^e 1 ^{+ ij}2 ^e2

^j 1^в 1 ^{+ ij} 2 ^в 2

a 1 — ij 1 j 2 a 2

) -

Kx 1 + ij 1 j 2 x 2 ^j 1 y 1 ^{+ ij} 2 y -2

^, (17)

где a 1 + j2j22 a2 + j2в2 + j2в22 -1 •(18)

Для группы U(1; j) преобразования имеют вид z‘(j) - exp (ij 1 j2ф)z(j) -

- (cos j 1 j2ф + i sin j 1 j2ф) z(j) - u(1; j)z(j),(19)

а инвариантной относительно общих преобразований из группы SU(2; j) x U(1; j) остается величина

2   2  222  2222

z(j) | - X1 + j 1 j2X2 + j 1 y 1 + j2y2 - inv•(20)

Полагая в уравнениях (6),(7) j 1 - j₂- 1, а затем производя замену (15), находим действие группы SU(2; j) в пространстве R4(j)

X1  -  a 1x1 — j2 j2 a2x2 + j2в 1 y 1 — j2в2y2, x2  -  a 2 x 1 + a 1 x 2 + в 2 y 1 + в 1 y 2, y1  -  -в 1X1 — j2 в 2 X 2 + a 1 y 1 + j 2 a 2 y 2, y2  -  в 2 X1 — j2 в 1X 2 — j2 a 2 y 1 + a 1 y 2

и действие группы U(1; j) в том же пространстве x'1   - X1 cos j 1 j2ф — X2 j 1 j2 sin j 1 j2 ф,

‘ x2 - X1— sin j 1 j2 ф + x2 cos j 1 j2 ф, j1 j2

‘           ™„-2 y 1 - y 1 cos j 1 j2 ф — y2j2     sin j 1 j2 ф, j1 j2

y2 - y2 cos j 1j2ф + y 1 jl — sin j 1j2 ф j1 j2

Однопараметрические подгруппы фундаментального представления группы SU(2; j) только распределением параметров j1, j2 отличаются от подгрупп (8)

U1(ш 1; j 1) - еш 1T1(j) - cos 2 j 1 ш 1 i sin 2 j 1 ш 1 i sin 2 j 1 ш 1 cos 2 j 1 ш 1 , Й2(ш2; j2) - еш2T2(j) - cos 2 j2 ш2 — sin 2 j2 ш2 sin 2 j2 ш2 cos 2 j 2 ш 2 )■ из(ш3; j 1 j2) - еШ3 T3(j) - 2i j1j2ω3 ( 0 0 e- 2i j1j2ω3 ) ■ (23) а отвечающие им генераторы задаются матрицами

TW-j 1Ц ⁰1), jj2Ц ⁰—i).

Tj)- j 1 j2 Ц 0 Д )        (24)

с коммутационными соотношениями

[T10),t2 0)1 - —T3(j), [T3(j),T1(j)] - —j2t2(j),

[ T2(j) ■ Tз(j>1 = —j 2 T1(j),              (25)

определяющими представление алгебры Ли su (2; j), общий элемент которой имеет вид

T (j)- Va Tk (j)- k=1

- i ( . j¹j²a³      j¹a¹.^—.ij²a²) - — (T(j))t (26)

2 V j 1 a 1 + ij2 a2     —j 1 j2 a3 /

Разные распределения контракционных параметров в структуре группы проявляются при нильпотентных значениях параметров. Более подробно это различие будет прояснено в следующем разделе.

Контракции фундаментального представления

В традиционном подходе [4] контракции групп осуществляются с помощью предварительно внедряемого в структуру группы вещественного параметра e, который затем устремляется к нулю е ^ 0. В нашем подходе контракциям групп отвечают нильпотентные значения параметров j_k - i_k, которые в случае векторных пространств приводят их к расслоению. Следует отметить, что в обоих подходах получаются одинаковые контрактированные группы. Поэтому иногда удобнее использовать первый подход, больше отвечающий физической интуиции, а иногда второй подход, более математический. Несложный анализ показывает, что одномерные контракции приводят к двум разным группам при j 1 - 11, j₂- 1 и j 1 - 1, j2 - 12 независимо от распределения контракционных параметров, а двумерные контракции (по двум параметрам) j 1 - 11, j2 - 12 дают разные группы для распределения (12) и распределения (15). Рассмотрим эти четыре случая по отдельности.

Евклидова контракция j 1 - 11, j₂- 1

Хорошо известно, что группа SU(2) локально изоморфна группе вращений SO(3) [1], которая при указанной контракции переходит в евклидову группу E(2). Этим объясняется название этой и других контракций данной секции. При j 1 - 11, j₂- 1 согласно (3) имеем detu(11) - |a|²- 1, т.е. a - е^гф, поэтому из (2) получаем матрицу контрактированой группы в виде

u(11) - ( ^егф_Й^{11 в} Y в - в 1 + iв2 G C• (27) V —11 в e ^Ф )

Функция нильпотентного аргумента определяется своим разложением в ряд Тейлора, в частности, cos ix - 1, sin ix - ix, е^1ф - 1 + 1ф^ Тогда однопараметрические подгруппы (8) принимают вид

1 u 1( ш 1;11) -       г ι1 2 ω1 ι1 i ω1 21  r u2 (ш2 ; i1 ) - 1 ι1 12 ω2 ι1 12 ω2 1, uз(шз;11) - ^ e 2i ω3 0 0   ) e- 2i ω3     , (28) а их генераторы — элементы алгебры su(2; i4) — удовлетворяют коммутационным соотношениям

[ T1( 11) ,T₂( 11)] = 0,   [ T3( 11) ,T1( 11)] = -T₂( 11),

[ T2( 11) ,T3 (11)]= -T1( 11)•              (29)

Представление алгебры su(2; i1) в пространстве C2(11) задается матрицами (11) вида i аз iia

^T(‘ ■> = 5( » -\ }• a = C⁽³⁰⁾

Пространство фундаментального представления C2(11) согласно (1) состоит из векторов вида z(11)t = (z 1, 11 z2)t и представляет собой расслоенное полуевклидово пространство [7], [8] с одномерным комплексным слоем {z 1} = {x 1, x2} и одномерной комплексной базой {z2} = {у 1, у2}. Матрица (27) из группы SU(2; 11) действует на C2(i1) по правилу z 1 = z 1 егф, z2 = z2e 'ф - z 1 в, а действие группы U(1; i1) в соответствии с (4) сводится к умножению координат z 1 и z2 на егф. При этом инвариант (5) распадается на два: один в базе \z 112 = x 2 + x2, инвариантный относительно общих преобразований из SU(2; i1) (6) и U(1; i1) (7) при произвольных у 1 ,у2 = 0, и один в слое \z212 = у2 + у2 т.е. при z 1 = 0 или x 1 = x2 = 0.

Евклидова контракция — это единственная контракция унитарной группы, согласованная с комплексной структурой.

Для второго типа распределения контракционных параметров из (18) получаем а 2+в2 = 1, а₂, в 1 е R, т.е. можно положить а 1 = cos ф 1, в₂= sin ф 1 и тогда преобразования (17) запишутся в виде

( x1 + i1 ix2

V ¹1 у 1 ^{+ i}y 2

, , х ( cos ¹ш 2    sin ¹ш 2

и2(ш2; i 1) =        . 1

\ - sin 2 ш2 cos 2 ш2

ι1 ₂ⁱω3

u3(ш3; i 1) = ^ e 0     e-t02„3

а отвечающие им генераторы задаются матрицами

T-<-->=-■ 2 (⁰0), T<-■> = ! (⁰-ii),

T3=112 (1 -")

с коммутационными соотношениями

[ T1( i 1) ,T2( i 1)] = -T3( i 1), [ T3( i 1) ,T1( i 1)] = 0,

[ T"2(11) ,T3 (11)] = -T1(11) •

Из (26) получаем матрицу i        i1a3      i1a1 - ia2

T⁽ⁱ11 a 1 + ia2 -i 1 a3 )’⁽³⁵⁾ определяющую фундаментальное представление контрастированной алгебры Ли su(2; 11).

Ньютонова контракция j 1 = 1, j2 = 12

При указанных значениях контракционных параметров из (3) получаем а2 + в2 = 1, а₂,в₂е R, т.е. можно положить а 1 = cos ф 1, в 1 = sin ф 1, тогда общий элемент группы SU(2; i2) дается матрицей

u(i2) =

cos ф 1 + 12 ia 2

- sin ф 1 + 12 iв 1

sin ф 1 + 12iв2 \ cos ф 1 - 12iа2 ) , а2 ’в2 е R•

Однопараметрические подгруппы легко находятся из (8)

,      .    / cos 1 ш 1 i sin 1 ш 1 \ и 1(ш 1; 12) =      . . 1              1          ,

\ i sin 2 ш 1 cos 2 ш 1 у

(  cos ф 1 + ii 1 а 2

-i 1 в 1 + i sin ф 1

i1 в 1 + i sin ф 1 cos ф 1 - ii 1 а2

К

x1 + i1ix2 i 1 у 1 + iy -2

.

Согласно (16) R₄(11) есть полуевклидово расслоенное пространство с двумерной базой {x1, у2} и двумерным слоем {x₂, у 1}. Группа SU(2; i1) действует в нем по формулам (21)

Г \ f 1      121ш 2 А и2(ш2;12)=( -i22ш2     21    )’ и3(ш3; i2)= ( 1+ П'2ш3 1 0      ) •      (37)

\     ^{0       1 - 1}2 ₂^ш 3 /

Алгебра Ли su(2; 1₂) задается генераторами с коммутационными соотношениями

x1  =  x 1 cos ф 1 - у2 sin ф 1, у2  =  x 1 sin ф 1 + у2 cos ф 1, x2  =  а2 x 1 + в 1 у2 + x2 cos ф 1 + у 1 sin ф 1, у1  =  -в 1 x 1 + а2у2 - x2 sin ф 1 + у 1 cos ф 1.

Для группы U(1; i 1) умножений векторов z(i 1) в C₂(i 1) на exp(11 iф) = 1 +11 iф, ф е R (19) преобразования в R₄(11) следуют из (22)

′′   ′     ′ x 1 = x 1, у2 = у2, x2 = x2 + x 1 ф, у 1 = у 1 - у2 ф.

Вместо одного инварианта (20) получаем два. Инвариантными относительно общих преобразований из группы SU(2; 11) х U(1; 11) остаются x²+у2 = inv1 в базе расслоения {x 1 ,у2} пространства R4(i1) и x2 + у²= inv2 в слое {x2,у 1}, т.е. при x 1 = у2 = 0.

Однопараметрические подгруппы фундаментального представления группы SU(2; i1) равны u1( ш 1;11) = (    1      i12ш 1),

V ⁱ12^ш 1     ¹    /

[T1(i2), T2 (i2)] = -T3 (i2), [T3 (i2), T1(i2)] = -T2 (i2),

[ T2( i 2) ,T3( i 2 )]=0 •                 (38)

При j2 = i2 пространство C2 (i2), состоящее из векторов вида z(i2)t = (x1 + i2ix2, у1 + 12iy2)t, теряет комплексную структуру, а вещественное пространство R4(12) состоит из векторов Xt (12) = (x 1, 12x2,у 1, 12у2)t. Таким образом, это расслоенное полуевклидово пространство с двумерной базой {x1, у1} и двумерным слоем {x2, у2}. Группа SU(2; i2) действует как вращение в базе x1 = x 1 cos ф 1 + у 1 sin ф 1, у 1 = у 1 cos ф 1 - x 1 sin ф 1, и линейное преобразование в слое x2 = x 1 а2 + у 1 в2 + x2 cos ф 1 + у2 sin ф 1, у2 = x 1 в2 - у 1 а2 + у2 cos ф 1 - x2 sin ф 1, а группа U(1; 12) действует по правилу x 1 = x 1, x 2 = x 2 + Фx 1, у 1 = у 1, у2 = у2 + фу 1 •

Относительно общих преобразований из группы SU(2; 1₂) x U(1; 1₂) в базе остается инвариантной величина x2 + у2 _ inv1, а в слое, т.е. при x 1 = у 1 = о, сохраняется второй инвариант x2 + у2 = inv₂.

Второй тип контракций при j 1 = 1, j₂= 1₂не дает ничего нового и приводит в точности к описанным в этом подразделе результатам. Более того, группа SU(2; 12) x U(1; 1₂) изоморфна группе SU(2; 11) x U(1; 11) предыдущего раздела, отвечающей второму типу распределения контракционных параметров.

Галилеева контракция j 1 = 11, j₂= 1₂

При контракции по двум параметрам имеет место два типа контракций группы SU(2), отличающиеся разным распределением контракционных параметров среди матричных элементов её фундаментального представления. В обоих случаях из (3) и (18) получаем |a 1|2 = 1, т.е. a 1 = ± 1, что означает наличие двух связных компонент у контрактирован-ной группы. Для определенности выберем a 1 = 1, тогда из (2) находим матрицу представления группы SU(2; 11 ,i2) = SU(2; i) для контракции первого типа в виде u (i) = (

1 + 12 ia 2

11(—в 1 + 12 ie 2)

11(в 1 + 12ie2) A _

1 — 12 ia 2    у eι2iα2          ι1β1eι2iβ2/β1

^_    _—l 1 в 1 e -2ie2/в 1      e-2ia2     ) , ^a2,^{e 1},^{e2 e} R■

Формулы (8) при j 1 _ 11, j2 _ 12 дают однопараметрические подгруппы u 1( Ш1; 1) _ (    1      112 Ш1 ) ,

V i12Ш1

7     \ A 1        i1i21 ^ 2 \ u 2(„21 )_l —„ 1,22 Ш 2     12

u3(^3; I)_ ( 1+ ‘ 22"3 ,   0 ,    ) ,(40)

У 0       1 — 12 2 x 3 У генераторы которых удовлетворяют коммутационным соотношениям

[T1(i),T2(i)] _ 0,   [T3(i),T1(i)] _ —T2(i),

[ T2( i) ,T3( i )]_0                 (41)

и порождают алгебру Ли su(2; i) с общим элементом вида (11)

T(i)_ Ц   , ^L2a³    . ⁱ¹⁽a^{1 — ii2}a²⁾)_ — (T(i))t.

2 у i1(a 1 + ii2a2)        —i2a3      / v v 77

Пространство представления R4(i) включает вектора типа X(i)t _ (x 1 ,i2x2,i 1 у 1 ,i 1i2у2)t, т.е. содержит две проекции: одна с расслоенной базой {x 1 ,i2x2} и такого же типа слоем {у 1, 12у2}, другая с базой {x 1, 11 у 1} и слоем {x2, 11 у2}. Обе проекции пересекаются по одномерному подпространству {у2}, поэтому R4(i) не может быть интерпретировано как полуевклидово пространство, поскольку последнее характеризуется последовательно вложенными проекциями. Согласно (6) группа SU(2; i) действует в пространстве R4(i) по формуле x'1 _ x 1, x2 _ x2 + a2x 1, у1 _ у 1 — в 1 x 1, у 2 _ у 2 — a 2 у 1 + в 2 x 1 — в 1 x 2, а группа U(1; i) в соответствии с (7) по формуле ′′   ′′ x 1 _ x 1, x 2 _ x 2 + фX 1, у 1 _ у 1, у2 _ у2 + фу 1.

Относительно общих преобразований контрактиро-ванной группы SU(2; i) x U(1; i) имеются четыре инварианта: inv1 _ x 1; inv₂_ x2 при x 1 _ 0; inv₃_ у2 при x1 _ 0; inv4 _ у₂²при x1 _ x2 _ у1 _ 0, на которые распадается инвариант (5). Связь дважды контрак-тированной специальной унитарной группы SU(2; i) с группой движений плоскости Галилея подробно исследована в работе [9].

Для контракций второго типа (15) общий элемент группы SU(2; i) в соответствии с (17) дается матрицей

А( ) _ /   ^{1 + 1}1¹2^ia2    ¹1^в 1 ^{+ 1}2^iв2 A_

У —i 1 в 1 + i2 iв 2   1 — i1i 2 ia 2 у

= (    e¹¹²i^{a 2}      i1 в 1 + i2 iв 2 ) _n R R

V —i 1 в 1 + i2iв2    e-¹¹²i^a2г ^{a2,в 1 ,в2 e} R■

(43) Генераторы однопараметрических подгрупп с коммутаторами

[:T1(i),:T2(i)] _ — T3(i), [T3(i),T1(i) _0,

[ T2( i) ,T3(i)]_0                 (44)

порождают алгебру Ли su(2; ), представляемую согласно (26) матрицами с нильпотентными элементами

^{T(i) _} 2 (

) _ — (T(I))A

ι1ι2a3

11 a 1 + ii 2 a 2

11 a 1 — ii 2 a 2

^—11¹2 a 3

Пространство представления R4(i) включает векторы типа X(i)t _ (x 1, 1112x2, 11 у 1, 12у2)t. Оно не интерпретируется как пространство с полуевклидо-вой геометрией, поскольку содержит две проекции с общим подпространством {x2}. Относительно общих преобразований из группы SU(2; i)

x'1 _ x 1, x2 _ x2 + a2x 1 + в2у 1 + в 1 у2, у1 _ у 1 — в 1x 1, у 2 _ у 2 + в 2 x 1, получаемых из (21), и общих преобразований из группы U(1; i)

′′   ′′ x 1 _ x 1, x 2 _ x 2 + Фx 1, у 1 _ у 1, у2 _ у2, получаемых из (22), вместо одного инварианта (20) имеются четыре инварианта: inv1 _ x21 ; inv2 _ у12 при x 1 _ 0; inv3 _ у2 при x 1 _ 0; inv4 _ x2 при x1 _ у1 _ у2 _ 0.

Следует отметить, что обе дважды контрак-тированные группы (39), (43), а также пространства R4(i) и R₄(i) изоморфны, т.е. с алгебраической точки зрения представляют собой одну и ту же группу, одно и то же пространство. Например, переобозначая в пространстве R₄(i) координату x₂как у₂, а координату у₂какx₂, получаем пространство R4(i). Однако это разные группы и пространства с точки зрения приложений, где каждый генератор, каждый групповой параметр, каждая координата получают определенную интерпретацию, что выражается в присвоении перечисленным конструкциям определенных фиксированных номеров, которые в дальнейшем не меняются.

Работа поддержана программой Президиума Российской академии наук ”Фундаментальные проблемы нелинейной динамики”.