Вторичное уплотнение узкополосных сигналов в радиоканалах с неограниченной памятью

Современные тенденции развития телекоммуникационных систем связаны с повы- шением их пропускной способности, приданием им свойств большей эффективности и экономичности. Одним из альтернативных способов повышения пропускной способности телекоммуникационных систем является вторичное использование каналов, позволяющее организовать передачу дополнительной информации без расширения используемой полосы частот. Идея данных методов не нова и широко используется в системах телевизионного вещания для передачи звуковой и сервисной информации. Недостатком подобных систем является их узкая направленность на реализацию в конкретном стандарте вещания. Более эффективными методами повышения пропускнойспособности современныхсистем связи являются методы вторичного уплотнения [1]. Основная идея методов заключается в наложении друг на друга эргодических, неортогональных в гильбертовом пространстве сигналов основного и вторичного каналов с пересекающимися частотно-временными характеристиками, при условии ограничения их взаимного шумового влияния.

Стоит отметить, что ранее не рассматривалась задача вторичного уплотнения каналов с учетом модуляционных преобразований сигналов. Следовательно, актуальной является задача разработки методов вторичного уплотнения и выделения (синтез фильтра выделения вторичного сигнала) каналов с учетом модуляционных преобразований сигналов. Решаемую задачу можно отнести к задаче условной оптимизации Винера-Хопфа.

Постановка задачи

На рис. 1 представлена модель вторичного уплотнения телекоммуникационных сигналов в радиосистемах. Пусть на вход узкополосного модулятора (с несущей частотой ®н ) подается первичный случайный центрированный сигнал x ( t ) с известной функцией спектральной плотности мощности (СПМ) Флт(>) . На выходе модулятора осуществляется смешение модулированного сигнала Х„(0 и сигнала вторичного канала y ( t ). Групповой сигнал

z(O = ^m(O + XO, (1)

подается в канал связи. В приемной части при помощи передаточной функции фильтра выделения ^U™) осуществляется выделение сигналов основного и вторичного каналов.

Рис. 1. Модель вторичного уплотнения

В связи с тем, что спектральные характеристики сигналов x_м ( t ) и y ( t ) пересекаются, сигналы основного и вторичного каналов оказывают взаимное искажающее действие друг на друга. Другими словами, вторичный сигнал y ( t ) выступает по отношению к x_м ( t ) в качестве помехи. Задача формирования вторичного канала связи состоит в определении желаемой СПМ ФугО^ю) сигнала y ( t ), при которой обеспечивалось бы его ограниченное воздействие на основной и вторичный сигнал оставался бы малозаметным на фоне основного. С математической точки зрения необходимо обеспечить выполнение функционального равенства вида:

У. =--- limM^ —------^!----- >dito=c‘, (2)

1 2п/_^^ [ Т J где E\jto^X

= И>Ж U^mVHN]" ^, и®\

^Б}Ы – спектральная характеристика ошибки рассогласования e₁(t) между сигналами на выходе первого виртуального элемента сравнения (см. рис. 1); с – известная величина, имеющая размерность единиц мощности, определяющая степень скрытости вторичного сигнала; j = 4^\ -мнимая единица; х(М – изображение по Фурье оценки сигнала основного канала на выходе фильтра выделения; X_м(jω) – изображение по Фурье модулированного сигнала основного канала; Y(jω) – изображение по Фурье сигнала вторичного канала; T – время наблюдения.

С другой стороны, x_м(t) также искажает сигнал вторичного канала связи y(t). Для того чтобы обеспечить уверенное выделение сигнала вторичного канала связи, из суммы z(t) на приемной стороне необходимо обеспечить минимум функционала вида:

т    ¹  ' f г алГ^(7®)’^(-7®)1        ■  , .х

J₂=  hmM^ ‘   —-    ^to^min, (4)

~ 2kj J т^ L              J где    Е, (у бу) = X (j®) - У (» =       (5)

= ^(убу)[Хм (убу)+ У(Убу)]- У(Убу), где E2tN – спектральная характеристика ошибки рассогласования e2(t) между сигналами на выходе второго виртуального элемента сравнения (см. рис. 1). Таким образом, математическую задачу синтеза вторичного радиоканала связи сформулируем следующим образом: найти функцию СПМ сигнала вторичного канала и передаточную функцию фильтра выделения с учетом известной функции СПМ сигнал основного канала и ограничений (2) и (4).

Решение

В качестве исходных данных для синтеза вторичного канала выступает спектральная плотность мощности немодулированного сигнала основного канала. В дальнейшем для удобства все расчеты будут производиться для модулированного сигнала с учетом «переноса спектра», поэтому увяжем СПМ немодулированного и модулированного сигналов.

Согласно [2] спектральная плотность узкополосного модулированного сигнала x_м(t) может быть определена следующим образом:

^Sm IN = °’⁵^ U^to"" 7®_н ) + °,⁵Sx (-/co- j®_H); (6)

где 0,5 SN->_B) – спектральная плотность амплитуд узкополосного аналитического сигнала -Y_M(6; 0,55, (-/co-/co_h) – спектральная плотность амплитуд узкополосного комплексно-сопряженного аналитического сигнала Хм№; ®_H – несущая частота сигнала.

Определим спектральную плотность мощности основного модулированного сигнала с учетом переноса спектра на несущую частоту ®H в канале с неограниченной памятью, для этого воспользуемся соотношением [3]:

м XX ^7 ) (7)

где T – время наблюдения. Подставим выражение (6) в выражение (7) и, с учетом свойств аналитического сигнала [2], получим

• 1    . p

Ф_м w(j®)=^^фп (У®-У®,,)+-Ф1т(-y®-y®„), (8) где Фл-а(>-М)– функция СПМ узкополосного аналитического сигнала x_м(t), равная

Ф at (yco - y®_H)

где Oxx(-jto-jN - СПМ узкополосного комплексно-сопряженного сигнала x_м(t):

Флт(-У®-У®н)

= lim^ M S.x- (-у® - У®_н) • к (У®+У®„) .

С учетом узкополосности сигнала два слагаемых в формуле (8) не «перекрываются» по спектру. Исходя из вышеизложенного, рассматриваемую задачу можно представить как линейную, пользуясь при этом низкочастотными эквивалентами моделей канала и сигналов основного и вторичного каналов. Для удобства вычислений введем обозначения:

у® - У®н;

-у® - у®н.

Дальнейший синтез искомых параметров вторичного канала будем производить относительно переменной У® . Решение задачи проводится на основе метода проектирования оптимальных линейных систем и заключается в отыскании минимума функционала вида:

J = Jx*aJ.=— Ф7(У®*)^®*, (9) 1kJ где а – неизвестный множитель Лагранжа, подлежащий определению; ФДУ®) – некоторая подынтегральная функция скалярного функционала.

Отметим, что в силу четности дробно-рациональных функций СПМ сигналов их можно представить в виде произведения двух функций (факторов) [1]:

ф (у®’) = ф" ,-(ую‘)ф- Д-jVy,

ф)г(7ю*) = ф((уоУ)ф;(-у™*), где Фу (У®*) – известная функция, нули и полюсы которой лежат в левой части комплексной полуплоскости; Фу(-У®‘)- известная функция, нули и полюсы которой лежат в правой части комплексной полуплоскости.

Рассмотрим подынтегральное выражение (9):

ф J Uro*) = l,im ^ м(е, (УбУ* )Е_Х (-jto*) + + а[^₂(Убу‘)^₂(-У»*)])-

= lim mJ 5x (y® - yro_H) • 5л- (-(У® - У®„)) I, Г^ос у |                                                  I

Подставим в формулу (10) выражения (3) и

(5) для E_xkNy ^2(7®*) и комплексно сопря-

дФJ №YH®‘)

= ФмЛ-(Х )X

X [(a +1>(-j® ) W(y co*) - a ^(у оз* )-W(-у оз*) ]+ + [(1 + а)/С(уоз* ^(-уоз*) -afWf-yto*)+^(уоз*) - l)]x

хФХуоз*)-^(-ую*);

м АЙ-(Х) + ^Фм _хН®*Жи®) +

дФ, апч-уи)

= W(J®>

+^фм л О’ Ж W®)+Ф_}7 О*))]

- [^Фм XX U® ) + ^Фм X 0®" Ж (-J® ) +

+ Ж v Н®’ Ж О*) + ф п- О* ))]= ^2 (-7ю*), где Жю‘) и ^("У®’) – неизвестные функции, полюсы которых находятся в правой полуплоскости комплексной плоскости. Приведенные ниже выражения (11)-(12) можно рассматривать как модификацию известного [3-4] уравнения Винера-Хопфа в комплексной области. В итоге получим систему из уравнений:

ФмЖЮ)Х

х[(а+#(-уоз*)^(у^ю*)-

(Н)

4(1+а)170ю*)1Ж7ю*)-^^

хФ^ЖЖСО*);

^(y"to*)x

х[(а+1)(ф_{м лх}.О'^ю*)+Фм xW® ЖО*)+

+Ф) v(>* )Ф~(^             (12)

-[^ф« ла(У^ю*)+^Фм Ж^Ю*Ж(-7^Ю*) +

+^аЖ а-(-7^ю* )^фу(7^ю*)+^фуу(7^ю*))]=^2 (-7^ю* )•

Покажем, что (11)-(12) в общем случае имеют ненулевое решение, то есть Ф;(7^ю*) * О и ^(уго* ) ^ 0. Сначала докажем факторизуемость коэффициентов, заключенных в квадратные скобки при Ф;.(уоз*) и ^(ую*) уравнений (11) и (12) соответственно.

Утверждение 1. Если ^(у'со) дробно-рациональная функция, то функция вида F(yco) =FF(y®) + ^(-усо) является четной.

Доказательство. Так как ^(ую)- дробно-рациональная функция, то ее можно представить в виде ^(7^Ю) = aUtoMbU«>V где многочлены a(jto) и й(ую) представлены в виде равенств:

a(jto) = ^ a^jtoY и й(уоз) = ^ 6/усо)', /=0                                ./=0

где а_; и bj — некоторые действительные числа.

Согласно условию утверждения имеем, что

. «(уоз) а(-уоз)

F( /го) = ——+--= ьи®) b(-ja) (13)

= ay®)bHtoFra(^^ b^jto^b^-jto)

Из (13) видно, что четность знаменателя F(jto) не вызывает сомнения. Докажем четность числителя F( j®) ■ Подставим в числитель (13) вместо a(yco), a(-yco) и b(j®), b(-j®) соответствующие выражения многочленов и раскроем скобки. В результате получим aU®)b(-jto) + a(-jtoMM =

= ^((-l)'a,Z3/yto)'+/ +(-l)/a,Z,/yto)'+^ (14)

где I = 0,77 и у = 0,777 . Из (14) видно, что если один из индексов i или j четный (нулевой индекс будем считать четным), а другой нечетный, то выражение под знаком суммы равно нулю. Действительно, пусть 7 = 2k - четный, y = 2/ + l- нечетный (k и l – некоторые целые числа), тогда т/^Дусо)^' - ajbjUtoY^' = 0, при этом показатель степени при переменной 7 to – нечетный: z + j — ^k + /) + 1 • Следовательно, слагаемые числителя (14) с нечетными степенями при переменной У CD равны нулю. Аналогично можно показать, если оба индекса i и j нечетные (или четные), то в этом случае слагаемые при y'to будут иметь четные степени. На самом деле, если i = 2k +1 и y = 2/ + l – нечетные, то

• - a_ib_j(jtoy^+J - а-.Ь^]^^¹ -

• = -2ti/Z>y(yco)/+y,

где в общем случае -2a_ib_i(jtoY⁺ⁱ + 0 и при этом сумма z + у — 2 ^k + / + 1) принадлежит множеству четных чисел. Таким образом, из четности числителя и знаменателя F(yco) следует, что эта функция является четной.

Так как слагаемые коэффициента при ФуО®*) представляют собой четные функции, к выражению

[(1+аУо* WH® ) - а(^Н® ) + Mj® ) -1)]

можно применить операцию факторизации.

Докажем существование ненулевого решения уравнения (11) методом от противного, то есть допустим, что ф^(Х)=о, ф:и»о и для простоты положим а = 1. Из условия а = 1 легко следует факторизуемость коэффициента при Ф^О®)-Тогда уравнение (11) можно представить в виде:

[2Ж(/со^У<о*)-(1^

[2^0* Wjto vVu^WH®))]” ’ где обозначения [ Л(» ]+ и [ AQto) ] указывают на то, что нули и полюсы выражений под этими знаками лежат соответственно в левой и правой частях комплексной полуплоскости. Левая часть этого уравнения имеет все полюсы в левой полуплоскости, а правая часть уравнения – все полюсы в правой полуплоскости. Поэтому функция комплексного переменного (15) должна быть аналитической во всей плоскости. Из свойства аналитичности функции комплексного переменного уравнения (13) (согласно теореме Лиувилля [4]) получим, что

Ww-Mj^w^ ₍₁₆₎ ^мИУ® )=°-

Так как выражения 2^(уФ*Ж(-уФ*) и wo*wh^ отличаются друг от друга многочленами в их числителях, следовательно, в общем случае можно утверждать, что

IW^tE W<-j№ ) * WQV) + W(-jro ) откуда следует

Vwuto^-jtoMWU»Vw<-j^x ^»xU®V^

и далее согласно условию Kx^n 0 следует, что в (16) имеется противоречие, что и доказывает существование ненулевого решения (11). Существование ненулевого решения уравнения (12) доказывается аналогичным методом.

После проведения соответствующих операций факторизации и сепарации искомые решения (11) и (12) определяются следующими выражениями:

Фу(У®) =

+аИу<0* )F(-JCO*) -a^(->*)+W^j® ) -1| Ф+^(Уо>*)((а+#О^^^^^

(M ^Фм Х)У®^,+<11ч A_xU® W-jm^'tito)

(^Фм.а^^лЪю^/ю)^^®^^^^

где обозначение [^(7®)]+ указывает на то, что полюсы выражения, заключенного под этим знаком, лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости. Выражения (17) и (18) являются формальным (общим) решением системы уравнений (11)-(12). Выражение (17) является фактором СПМ, поэтому для нахождения СПМ вторичного сигнала (на положительных частотах) необходимо воспользоваться соотношением [3]:

Ф}у(7Ф* ) = Фу О* )Фу (-jto ), где Ф; (-усо*) = Фу (-у<в*).

Найденная функция Фу (уф*) сигнала вторичного канала связи и передаточная функция взвешивающего фильтра ^(уф*) зависят от множителя Лагранжа а, который можно определить в результате подстановки (17)-(18) в выражение (2) и решения полученного равенства.

Утверждение 2. Система уравнений (11) и (12) имеет ненулевое решение: ф+(уф*) У О и ^(уФ*)#0.

Доказательство. Вернемся к функционалу (2):

1 ^vr       Г E_x(jtoyE_x(-jcoy\        1

J, =  limM^———-—¹—-—->dKO = cx

2тд_™” I ^т J

С математической точки зрения выбор параметра c произволен, поэтому а = /(с²), откуда следует, что выбор а также произволен. Примем а = 1 и покажем, что система имеет ненулевое решение.

Подставим в (12) значение a= 1:

ВДх

х[2(фм лхОф*)+ф; х-Х)фЖ)+

+ф: х^ w-nwyyU® ))]-   (19)

-кxx-Uto )+ф„_хо*)ф;(-Х)+

+ (^Фм X Н® Ж U® ) + Ф>тО®* ))] Ж (“У® )"

Так как слагаемые (или их сумма) коэффициента при ^(уф*) представляют собой четные функции, то к выражению

²(^Ф м XX U® ) + Ф м X W® )^Ф У U®‘ ) +

Ф М х U® )Ф у (-У®*) + Ф it U® ))

можно применить операцию факторизации. Тогда (19) может быть представлено в виде:

вторичного сигналов на приемной стороне линейная зависимость не является оптимальной.

Пример

Рассмотрим случай a ^ 1. Передаточную функцию фильтра будем искать в виде дробно-рациональной функции. Сигнал основного канала физически реализуемый процесс. Так как в общем случае мы имеем систему из двух уравнений с четырьмя неизвестными, то непосредственно из уравнений (11)-(12) определить Ф№*) и WU®)в общем случае не представляется возможным, поэтому будем искать частные решения этой системы.

Пусть ф:.у0ф*)=1, передаточную функцию резонансного фильтра выделения будем искать в виде «низкочастотного» эквивалента:

2Щ>*)х

wu®) =

а + jto*

Ф_мЛаЖ Н^ _х^® Ш® )+< _x^W-j®W_Y^

^Фм ХХ^®^^ X^toWtito^+^M ^-jtSWjtih+^Y^i⁶^

Для определения фу (У®* ) воспользуемся выражением (17), в которое подставим (23). Задача определения же®*) и ф;о’) сводится к нахождению параметра a. После подстановки для фу (уф* ) получим

^Фм X^J®^)+Фм X )+^фм А^ЭД^ФФу}^'⁰^

Оба члена левой части данного уравнения имеют все полюсы в левой полуплоскости, а правая часть уравнения – все полюсы в правой полуплоскости. Поэтому функция комплексного переменного (20) должна быть аналитической во всей плоскости. Из свойства аналитичности функции комплексного переменного (согласно теореме Лиувилля [4]) получим, что

2ИУ/оГ)х

^Фм^“ ^)+al« ^"J®Wi®^)+ай xU®W-j^^+tI,y^Jto)

Ф_{м x)}ptoV^ xti® WA/to )+^ xH® ^'б^+Фу^'б?)

Отсюда следует, что

Для нахождения Фу ( jo) ) подставим (21) и a = 1 в (17):

ф;о*) = 2[ф: д-О*)^ =2Ф: _хи® ). (22)

Из (22) следует, что зависимость между вторичным и основным сигналами линейна. Заметим, что с точки зрения разделения основного и

Подставим (24) в уравнение (12) и решим его.

В итоге получим для параметра a:

Чтобы получить выражения для 1Г(Х) и фу ОФ*), необходимо подставить найденный параметр а в (23) и (24). Полученная функция фу (уф* ) сигнала вторичного канала связи и передаточная функция фильтра выделения ^(уф*) зависят от множителя Лагранжа a, который можно определить в результате подстановки этих соотношений в (2) и решения полученного равенства.

В ходе дальнейших исследований системы уравнений (11)-(12) было установлено, что порядок знаменателя передаточной функции фильтра выделения должен быть минимум на единицу больше порядка знаменателя ф: л(уф*)- Так, на-

+ . * x- пример, если м Л a A- jto то передаточную функцию фильтра выделения необходимо

D

WUtoV           • искать в виде         (b+jto*Xc+/co*)

На основе полученных данных было проведе- но моделирование синтезированной системы в математическом пакете MATLAB. В ходе модели- рования сравнивались синтезированная система и система вторичного уплотнения, в которой параметры приемного тракта (фильтра выделения) не синтезировались: было показано, что в синтезированной системе передачи отношение сигнал/ шум больше на 7,38 дБ, что свидетельствует о повышении качества передачи; кроме того, исходя из значения дисперсии второго разностного сигнала (это значение меньше как минимум в 10 раз), можно заключить, что при приеме возможно обеспечение более уверенного выделения сигнала вторичного каналов, чем в системе, в которой параметры приемного тракта (фильтра выделения) не учитываются.