Введение пространства L2,w при построении проекционной оценки плотности вероятности

В статье рассмотрена задача восстановления функции плотности вероятности непрерывной случайной величины из конечного независимого образца. Автор исследует построение проективной оценки функции плотности вероятности в случае, когда плотность вероятности f (x) не квадратично интегрируема, i. е. функция f (x) находится вне функционального гильбертова пространства L 2. В этом случае условие сходимости оценки плотности к истинной плотности не выполняется даже с использованием оптимальных коэффициентов. Функции плотности вероятности, находящиеся вне пространства L 2, встречаются даже в модельных распределениях, например, в распределении хи-квадрат с числом свобод k = 1. Для решения этой задачи вводится функциональное пространство L 2, w, которое расширение пространства L 2. Свойства введенного пространства исследованы в работе. Один показывает, что для любой положительной измеримой по Лебегу функции w (x) она также является гильбертом. Более того, различимость элементов остается верной при расширении от L 2 до L 2, w. Утверждение о том, что функция плотности вероятности любой непрерывной случайной величины принадлежит некоторому пространству L 2, w, доказано. Кроме того, определение разделимости вводимого пространства оказывается важным, поскольку только в этом случае последовательность проективных оценок сходится к истинной плотности. Автор доказал, что любое пространство L 2, w kind, которое содержит L 2, является сепарабельным, поэтому в этом пространстве можно построить проективное оценивание функции плотности вероятности. Полученные теоретические результаты были испытаны на серии численных экспериментов. Результаты включены в документ. В этой статье представлены результаты, которые касаются оценки функции плотности вероятности распределенной случайной величины хи-квадрата, а также переменной, имеющей плотность вероятности, которая находится вне L 2 и содержит две точки, где она сходится к + ¥. Результаты позволяют сделать вывод о том, что предложенный метод можно использовать при оценке плотности вероятности, даже в тех случаях, когда эта плотность находится вне L 2.