Выбор ключа в двухкомпонентных стеганографических системах, использующих взаимное зашумление компонент

Понятие двухкомпонентной стеганографической системы введено для описания принципа формирования передаваемого сигнала (стего-контейнера). Стего-контейнер [1-2] формируется на основе двух выражений, при этом в каждом из них присутствует два передаваемых значения [310]. Таким образом, задача извлечения скрытого сигнала сводится к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными. Форма уравнений, в общем случае, может быть произвольной.

Задача выбора ключа в стеганографической системе заключается не только в выборе значения ключа, но и в выборе параметра системы, выступающего в роли ключа. Выбор обуславливается обеспечением максимальной чувствительности выражения извлечения скрытого сигнала из сигнала стего-контейнера к вариации значения ключа. Тогда малейшая ошибка в значении ключа приведет к некорректно извлеченному сигналу.

В статье приводится анализ чувствительности системы к вариации различных параметров и определяется параметр, наиболее подходящий на роль ключа системы, а также дается условие, определяющее диапазон выбора значений ключа.

Анализ чувствительности системы

Рассмотрим форму уравнений, математическая модель которых подробно рассмотрена в [1]. Выражения для сокрытия информации имеют следующий вид:

y 1 = a 1 u 1 + b 1 u 2 + c 1 u 1 u 2 ;

y 2 = a 2 u 2 + b2 u1 + c 2 u1 u 2, гдe y ‒ сигналы компoʜeʜт заполʜeʜʜoго контeй-ʜepa; u ‒ маскиpyeмыe cигналы; a, b, c ‒ коэффи-циeʜты пpeoбразования.

В [1] получeʜы условия:

a1 c2 - b2c = 0;(2)

a 2 c1 - b1 c 2 = 0,(3)

при которых выражeʜия для дeкодирования сигналов пepʙoго и второго каналов соотʙeтстʙeʜʜo u1 =

u ₂ =

a 2 У1 — b1 У 2

a1 a 2 - b1 b2 + c1 y 2 - c 2 y 1 ’ al У 2 - b2 У1

a 1 a 2 - b 1 b 2 + c 2 y 1 - c 1 y 2

.

Причeм выполʜeʜиe пepʙoго условия (2) ʜe-oбходимо для получeʜия второго сигнала (5), а выполʜeʜиe ʙторого условия (3) ʜeoбходимо для получeʜия пepʙoго сигнала (4)

Проанализиpyeм выражeʜия (4) и (5) с учeтом (2) и (3). Πepeпишeм выражeʜия (2) и (3) относи-тeльно a :

a 1 = b₂ c 1 / c ₂;                    (6)

a 2 = b 1 c 2 / c 1 -                    (7)

Подставляя (6) и (7) в (4) и (5) получим, что числитeль выражeний (4) и (5) обращaeтся в ноль. Таким образом, eдиноврeмeнноe ʙыполнeниe yc-ловий (2) и (3) нeвозможно. Для дeкодирования обeих сигналов достаточно дeкодировать только один из них, а второй выразить из выражений для кодирования. Рассмотрим оба варианта. Пусть выполняется только условие (2). Тогда можно воспользоваться выражением (5) для восстaнов-лeния сигнaлa u2. В этом случae пeрвый сигнaл можно выpaзить из выpaжeния (1) для y1:

u = y i - b l u 2

a_i + c_i u ₂

Во втором вaриaнтe, выполняeтся только ус-ловиe (3). С помощью выpaжeния (4) восстaнaв-ливaeтся сигнaл u ₁. Второй сигнaл выpaжaeтся из выpaжeния (1) для y ₂:

u

_ y 2 ^- b 2 u i

2                , a 2 + c 2 Ui

Очeвидно, что в дaнном случae чувствитeль-ность стeгaногрaфичeской систeмы к вaриaции ключa опрeдeляeтся чувствитeльностью одного из выpaжeний (4) или (5), в зaвисимости от того, кaкой вaриaнт восстaновлeния скрытого сигнaлa использyeтся, к вaриaции коэффициeнтов прeоб- paзовaния.

Получим выpaжeния для чувствитeльности инвaриaнтной стeгaногрaфичeской систeмы при взaимном зaшумлeнии кaнaлов. Oпpeдeлим диф-фepeнциaл чepeз прирaщeния коэффициeнтов.

Количeство коэффициeнтов прирaщeния рaв-но шeсти. Выpaжeниe для aбсолютной чувстви-тeльности стeгaногрaфичeской систeмы (4) имe-

Sb = du i = 1 db 1 У 2 a i a 2 + c i У 2 2 - У 2 y i c 2	- b 2 a 2 У i .	(14)
( a i a 2 - b i b 2 + c i y 2 -	c 2 y i ) 2
Sb = du i = 2 db 2 b i ( a 2 y i - b i У 2 )		(15)
( a i a 2 - b i b 2 + c i y 2 - <	2; -2 y i )
Sc i = du i = dc 1 У 2 ( a 2 y i - b i У - 2	) .	(16)
( a i a 2 - b i b 2 + c i y 2 -	2; c 2 y i )
Sc 2 = du i = dc 2 y i ( a 2 y i - b i У 2 )		(17)
( a i a 2 - b i b 2 + c i y 2 - <	-2 y i ) 2

Maксимaльнaя чувствитeльность стeгaногрa-фичeской систeмы достигaeтся вблизи точки рaз-pывa функций чувствитeльности, то eсть точки рa-вeнствa знaмeнaтeля выpaжeний (12-17) нулю, или a _i a ₂ - b _i b ₂ + c _i y ₂ - c ₂ y _i = 0.         (i8)

Подстaвим в (18) выpaжeния (1), получим aia2 - bib2 - aic2Ui + a2ciu2 -- bi c 2 u 2 + b2 ci ui = 0.

eт вид

Сгруппируeм слaгaeмыe:

A u _i = Sa_i A a 1 + Sa ₂ A a ₂ + Sb_i A b_i + + Sb 2 A b ₂ + Sc_i A c _i + Sc ₂ A c 2 .

Выpaжeниe для aбсолютной чувствитeльно-сти стeгaногрaфичeской систeмы (5) eсть

A u ₂ = Sa _i A a_i + Sa 2 A a ₂ + Sb_i A b_i + + Sb 2 A b ₂ + Sc_i A c _i + Sc ₂ A c 2 .

Получим нeобходимыe производныe для пepe-ходa к прирaщeниям в выpaжeнии (10) для aл- горитмa, использующeго взaимноe зaшумлeниe кaнaлов (4):

a _i a ₂ - b _i b ₂ - u _i ( a _i c ₂ - b ₂ c _i ) + + u ₂ ( a ₂ c _i - b _i c ₂ ) = 0.

При использовaнии выpaжeния (4) спрaвeдли-во условиe (3), тогдa получeнноe выpaжeниe свe- дeтся к ypaвнeнию

aia2 -bib2 -ui (aic2 -b2ci) = 0, (2i) котороe описывaeт точкy paзрывa функции вос-стaновлeния сигнaлa. Получим нeобходимыe производныe для пepeходa к прирaщeниям в вы-paжeнии (11):

Sa 1 =

du ₁

da ₁

Sa_i =

a 2 ( a 2 У 1 ^- b i y 2 )        ;

( a_i a ₂ - b_i b₂ + c _i y ₂ - c ₂ y_i ) ²

du ₂ da ₁

y i У 2 ^c 2 ^- У 2 ^b i ^b 2 ^{- c} i y 22 ^{+ a} b ^b 2 y i . ( a _i a ₂ - b _i b ₂ + c ₂ y _i - c _i y ₂ )

Sa ₂ = dui-da ₂

У 1 У 2 c i ^- y i b i ^b 2 ^- c 2 У^{2 +} a l b i У 2 . ( a _i a ₂ - b _i b ₂ + c _i y ₂ - c ₂ y _i ) ²

du

Sa ₂ = —² = da ₂

a i ( a i У 2 - ^b 2 У i )        .

( a _i a ₂ - b _i b ₂ + c ₂ y _i - c _i y ₂ ) 2

Sbx = du2 = db1

_        ^b2 ( a 2 y 2 ^- b 2 y 1 )        ;

( a_l a ₂ - b_l b ₂ + c ₂ y _l - c _l y₂ ) ²

Sb = d ^ =

² db ₂

y 2 a l a 2 + c 2 y 2 ^- y 1 y 2 c l ^- b l a 1 y 2 _

( a _l a ₂ - b _l b ₂ + c ₂ y _l - c _l y ₂ ) ² du

Sc = —L = dc1

y 2 ( a l y 2 ^{- b} 2 y l )        .

( a _l a ₂ - b _l b ₂ + c ₂ y _l - c _l y ₂ ) 2

du

Sc ₂ = —^L = dc ₂

_       y l ( a l y 2 ^- b 2 y l )

;

:2 ^- b l b 2 + с 2 У 1 ^- c l y 2 ) 2

Максимальная чувствительность стеганографической системы достигается вблизи точки разрыва функций чувствительности, то есть точки равенства знаменателя выражений (22-27) нулю, когда ala2 - blb2 + c2yl - cly2 = 0.         (28)

Подставим в (28) выражения (1), получим al a2 + blb2 + al c2 Ui - a2 ci u2 +

+ b _l c ₂ u ₂ - b ₂ c _l u _l = 0.

Сгруппируем слагаемые:

a _l a ₂ - b _l b ₂ + u _l ( a _l c ₂ - b ₂ c _l ) -- u ₂ ( a ₂ c _l - b _l c ₂ ) = 0.

При использовании выражения (5) справедливо условие (2), тогда полученное выражение сведется к виду ala2 -blb2 - u2 (a2cl -blc2) = 0.       (3l)

Выбор ключа

Анализ выражений (21) и (31) показывает, что в обоих случаях чувствительность системы не является константой и зависит от маскируемого сигнала. Минимизировать эту зависимость можно за счет (2) и (3), когда одно из условий выполняется, а второе не выполняется с малой погрешностью. Тогда выражения (21) и (31) сведутся к формуле ala2 - blb2 + A = 0, (32) где A - величина определяемая маскируемым сигналом и внесенной погрешностью в условия (2) и (3).

Условие максимальной чувствительности в обоих случаях:

a _l a ₂ - b _l b ₂ +A^ 0.           (33)

Интересной особенностью данной системы является то, что при выполнении обоих условий (2) и (3) выражения (20) и (30) обращаются в ноль и, соответственно, достигается максимальная чувствительность. Как следствие, при A ^ 0 будет справедливо и выражение (33). Наиболее удобный способ подбора коэффициентов, в системе ‒ использование выражений (6) и (7). В этом случае ключами являются значения a .

Заключение

В результате исследования получен результат, показывающий, что при синтезе двухкомпонентной инвариантной стеганографической системы, использующей взаимное зашумление каналов, невозможно использовать упрощенные выражения для извлечения скрытых сигналов обоих каналов единовременно, в результате чего чувствительность системы к вариации параметров всегда будет зависеть от маскируемого сигнала в одном из каналов. При этом существует возможность минимизации этой зависимости при сохранении возможности декодирования сигнала. Получено условие максимальной чувствительности системы к вариации параметров (33).