Выбор оптимального варианта конструкции из бальзы

Одиссея Разума – международная интеллектуальная программа [1], целью которой является развитие креативности (нестандартного мышления) у детей и молодежи (начиная с детского сада и оканчивая университетом) посредством решения нестандартных проблем. В процессе решения предложенных проблем участники развивают творческое мышление, которое может быть применено в реальной жизни. В данной программе участвует более 20 стран мира.

Интеллектуальный конкурс «Одиссея разума» состоит из 3 частей: долгосрочная проблема, представление (так называемый «стиль») и спонтанный конкурс (решение логической задачи за короткий промежуток времени с использованием представленных подручных средств). Наша команда занимается долгосрочной проблемой № 4.

Задача команды – спроектировать и построить конструкцию из бальзы (порода древесины с плотностью в пределах 120–300 кг/м3) и клея, которая сможет выдержать как можно больший вес. При этом каждый год формулируются дополнительные условия, которые разнообразят задание и повышают интерес к соревнованиям. В сезоне 2011/2012 особенность проблемы заключается в том, что конструкция попадет в одну из трех весовых категорий и будет оцениваться в соответствии с ней: масса конструкции может быть до 9 г, в этом случае при начислении очков вес, который она выдержит, удвоится; до 12 г – в этом случае вес, который она выдержала, увеличится в полтора раза, или до 15 г – в этом случае очки будут начислены за реальный вес, выдержанный конструкцией, и он не будет увеличен. При создании конструкции должны быть использованы только бальза и клей. По высоте конструкция должна быть не меньше 20,32 см и при тестировании должна иметь сквозное отверстие по всей высоте так, чтобы «трубка безопасности» диаметром не менее 5,1 см смогла проходить сквозь него. Конструкция склеивается из бальзовых прутиков с размерами поперечного сечения 0,32 × 0,32 см.

В расчетах были рассмотрены четыре варианта конструкции. Их параметры: высота – 20,5 см, средняя плотность материала – 220 кг/м³, модуль упругости Е = 230 000 т/м² (получен экспериментальным путем в результате испытаний на сжатие склеенных из бальзы образцов с размерами 0,96 × 0,96 × 1 см). Раскосы и горизонтальные связи во всех четырех конструкциях имеют квадратное поперечное сечение 3,2 × 3,2 мм. Кроме того, во всех вариантах на расстоянии 1 см от концов стоек и в их середине имеются вставки длиной 1,5 см.

В первом варианте конструкции масса до 9 г. Для стоек было принято сечение в виде креста (масса 8,95 г) (рис. 1, а). Параметры поперечных сечений стоек представлены на рис. 1 (здесь и на рис. 2–4 размеры сечений указаны в миллиметрах).

Научно-методический раздел

а)

б)

Рис. 1. Поперечные сечения стоек конструкции массой 8,95 г: а – основное сечение стоек; б – сечение стоек в местах вставок

Объемная и конечноэлементная модели конструкции представлены на рис. 2. Для следующих вариантов конструкций они аналогичны с учетом изменения поперечных сечений стоек.

Эксперимент показал, что предел прочности бальзы при сжатии составляет около 120 кг/см2. При этом из расчета на прочность конструкция должна выдерживать 3 • 4 • 0,322 -120 = 147,5 кг.

а)

б)

Рис. 2. Объемная (а) и конечноэлементная (б) модели конструкции массой 8,95 г

При расчете на устойчивость, который выполняется с использованием программного комплекса «Лира 9.6» [2], определяющим показателем является коэффициент запаса K , который представляет собой отношение критической нагрузки к действующей. Если K >  1, то конструкция не потеряет устойчивость. Если K < 1, то конструкция потеряет устойчивость при заданной нагрузке. При нагрузке 147,5 кг K = 0,241. Значит предельная нагрузка при расчете на устойчивость составит

147,5·0,241 = 35,6 кг. Деформированная схема и форма потери устойчивости конструкции приведены на рис. 3.

а)

б)

Рис. 3. Деформированная схема (а) и форма потери устойчивости (б) конструкции массой 8,95 г

При массе до 12 г рассмотрим два варианта сечения стоек. В первом случае масса конструкции составляет 11,65 г, а во втором – 11,85 г. Параметры поперечных сечений стоек представлены на рис. 4.

г)

Рис. 4. Поперечные сечения конструкции массой 11,65 и 11,85 г: а, в – основное сечение стоек конструкций массой 11,65 и 11,85 г соответственно; б, г – сечение стоек конструкций массой 11,65 и 11,85 г соответственно в местах вставок

в)

Высоковский В.Л., Зямбаев Н.А.

Расчет на прочность показал, что обе конструкции должны выдерживать 3 • 6 • 0,32 2 - 120 = = 221 кг (площадь поперечного сечения стоек у них одинакова).

Из расчета на устойчивость видно, что при нагрузке 221 кг у первой конструкции K = 0,24, т. е. предельно допустимая нагрузка равна 221·0,24 = 53 кг; у второй – K = 0,481, т. е. предельно допустимая нагрузка равна 221·0,481 = = 106,2 кг. Деформированные схемы и формы потери устойчивости конструкций аналогичны приведенным на рис. 3.

Четвертый вариант конструкции – масса до 15 г. Параметры поперечных сечений стоек представлены на рис. 5.

Рис. 5. Поперечные сечения стоек конструкции массой 14,5 г: а – основное сечение; б – сечение в местах вставок

Условию прочности соответствует нагрузка 8 • 3 • 0,32 2 - 120 = 295 кг.

Выбор оптимального варианта конструкции из бальзы

Расчет на устойчивость показал, что при нагрузке 295 кг K = 0,406, т. е. предельно допустимая нагрузка равна 295·0,406 = 119,7 кг. Деформированная схема и форма потери устойчивости конструкции также аналогична приведенным на рис. 3.

Итак, произведенный расчет показал, что конструкция массой 8,95 г выдерживает около 35,6 кг, конструкция массой 11,65 г – 53 кг, массой 11,85 г – 106,2 кг, а конструкция массой 14,5 г – 119,7 кг соответственно. Учитывая условия конкурса «Одиссея разума», в первом случае команда получит 35,6·2 = 71,2 очка, во втором – 53·1,5 = 79,5 очков, в третьем – 106,2·1.5 = 159,3 очка, а в четвертом – 120,7 очков соответственно. Таким образом, по результатам расчета самым выгодным вариантом оказалась конструкция массой до 12 г с поперечным сечением стоек, изображенным на рис. 4, в, г. Преимущество третьего варианта конструкции, кроме коэффициента, увеличивающего полученные командой очки в 1,5 раза, объясняется бóльшим радиусом инерции сечения стоек по сравнению со вторым вариантом.