Выбор оптимальной модели волатильности с применением критерия отношения правдоподобия Вонга и модифицированного критерия Шеннак-Вильгельма для рядов доходностей акций



Каримулаева Р.М.

студент 2 курса магистратуры

Финансовый университет при Правительстве РФ

Россия, г. Москва

ВЫБОР ОПТИМАЛЬНОЙ МОДЕЛИ ВОЛАТИЛЬНОСТИ С ПРИМЕНЕНИЕМ КРИТЕРИЯ ОТНОШЕНИЯ ПРАВДОПОДОБИЯ ВОНГА И МОДИФИЦИРОВАННОГО КРИТЕРИЯ ШЕННАК– ВИЛЬГЕЛЬМА ДЛЯ РЯДОВ ДОХОДНОСТЕЙ АКЦИЙ

Как известно, поиск удовлетворительного количественного описания процесса изменения цен на фондовых рынках – одно из основных направлений исследований в области финансов. Ключевой задачей в этом направлении остается задача моделирования волатильности.

В данной статье будут представлены шесть моделей волатильности, проведен необходимый для их сравнения в рамках концепции отношения правдоподобия, а также приведены результаты применения изложенного теоретического подхода к выбору модели волатильности к анализу рядов доходностей акций компаний, входящих в индекс ММВБ.

Простейшая модель волатильности. Геометрическое броуновское движение (GBM)

Вероятно, первой статистической моделью, призванной описывать движение цен на фондовых рынках, была модель геометрического броуновского движения, описанная в известнейшей работе Л.Башелье. Согласно этой модели:

^{y t} =^ln@'

y_t~N(V,v ² )

В дальнейшем мы будем использовать обозначение ILNM (independent lognormal model) для этого класса моделей.

Многие эмпирические исследования показывают, что так называемые независимые логнормальные модели (ILN-models), хотя и достаточно правдоподобно описывают движение цен на небольших временных интервалах, оказываются неприменимы к решению задач, ассоциированных с более длинными промежутками времени.

Ниже мы приводим анализ некоторых альтернативных моделей волатильности, введенных в разное время с целью обеспечить наиболее точное и вместе с тем легко интерпретируемое описание процессов на фондовых рынках.

Модель смеси нормальных распределений (GMM (K) – gauss mixture model)

Пожалуй, лучше всего сообразующаяся с интуицией и вместе с тем одна из простейших моделей – это модель смеси нормальных распределений, впервые предложенная Баллом и Торосом в 1983г и Коном в 1984г.[21].

Конечная смесь нормальных распределений, как известно, имеет функцию плотности вида:

f(x) ^^pMx),                 (1)

где к E N

число компонент, ^ i (x) =

±ф( ?-^\-

^ i        v i

функции

плотности компонент, p_t - веса соответствующих компонент;

ф(х) = ^2= exp {-“] - плотность

стандартного нормального

распределения вероятностей.

Мы будем использовать чисто-масштабные смеси, т.е. смеси с a_t = 0, i = 1, ., К, являющиеся, в отличие от смесей вида (1), идентифицируемыми.

Оценка параметров модели (1) производится с помощью стандартного EM-алгоритма, стартующего из точки, соответствующей оценкам, полученным сеточным методом максимального правдоподобия.

Одной из основных целей работы является сравнение различных моделей волатильности применительно к финансовым временным рядам. Для этих целей мы будем использовать критерий отношения правдоподобия Вонга и его модификации, описанные в [28],[24].

В соответствующих процедурах выбора модели важное место занимают математические ожидания матриц Гессе и информации Фишера относительно истинного распределения:

(2a)

(2b)

*^ = е ⁰ [^“|

₀ 51ogmiZ_t;e) 51ogmiZ_t;e)l

^B f ⁽⁰⁾=^{E [}---^--- W ---Г

Известно, что при выполнении ряда условий состоятельные оценки этих матриц находятся по формулам:

■    _1 ^ ^ ² log/(^ t |^ t ;* n ) ]

^f’ⁿ n\Z a       д0д0'      J'

Как уже было отмечено, ключевым свойством финансовых временных рядов является изменчивость волатильности. Классический подход для ее описания, принятый в эконометрике – это концепция авторегрессионной условной гетероскедастичности. Модель ARCH и ее обобщение, модель GARCH, были предложены Энглом (1982 г.)[26] и Боллерслевом (1986 г.)[23].

Приведем спецификацию модели GARCH (p,q):

y t = ^s t = ^t , ^£ t l^ t-i ~^(0,a t ² )

°t² = ы + ^₌₁а^_ч²+1^1?!^^      (3)

где y_t = s_t - доходность¹⁰ в момент времени t , z_t — независимые случайные величины, распределенные по стандартному нормальному закону, I_t-1 - информация о наблюдаемом процессе на момент t — 1, a² — волатильность (условная дисперсия) в момент времени t. Изменение волатильности во времени описывается уравнением регрессии в модели (3). На коэффициенты этого уравнения дополнительно накладываются следующие ограничения (условия стационарности), с тем, чтобы обеспечить существование и конечность моментов второго порядка:

м > 0 , а,? >0, ^₌₁ a j + Е ^ ₌₁ ? к <  1-

Практика показывает, что даже простейшая модель GARCH(1,1) с нормальными остатками позволяет моделировать характерные для распределений доходностей тяжелые хвосты.

Поскольку GARCH модель с нормальными инновациями предполагает меньший эксцесс, чем наблюдается на реальных данных, в разное время был предложен ряд моделей класса GARCH с распределением остатков, отличным от нормального. Одной из первых была введена так называемая t-GARCH модель с инновациями, распределенными по Стьюденту (Боллерслев, 1987г.).

yt = st = zt^t, at2 = w + ast-i2 + ?^t-i2,                   (4)

С одной стороны, модель показывает высокий уровень согласованности с реальными данными, с другой – очевидным ее недостатком является сложность интерпретации в терминах финансовых рынков. Кроме того, аналитический вывод формул для производных функции правдоподобия представляет большую сложность, и при работе с моделями данного класса приходится пользоваться исключительно численными методами. В частности, использования численных приближений не удастся избежать, если данная модель будет использоваться в оценке опционов. За неимением простых аналитических выражений для цены опциона в рамках этого подхода к моделированию волатильности, соотнести полученные значения цен с BSM11-ценами не представляется возможным.

Модель GARCH c инновациями, распределенными как чисто масштабная смесь нормальных распределений (symmetric NM-GARCH)

Замечания о рассмотренных выше модификациях GARCH-модели приводят к выводу о преимуществах модели смеси распределений перед моделями, в основе которых лежит распределение Стьюдента.

Модель наиболее общего вида, NM(k)-GARCH(p,q), была введена в [18]. Мы же будем рассматривать упрощенную форму этой модели, согласно которой:

y t = £ t >

к

^Vt-i -GM^,..., р к , 0 i , -., 0 к v? t > -> °Кд> ^ P i = ¹ i=i

^ it² = ^ i +^ i ^ i-i +P i ^l t-i ,    i = i-,K.

Данная модель, как несложно увидеть, имеет 4К — 1 параметров: О = (P i , •••, Р к-i , ^ i , « i , P i , . , Ы к , Я к , Р к) -

Следуя [10], будем использовать для получения оценок вектора градиента, а также матриц Гессе и информации Фишера аналитические выражения для производных. Они приведены в Приложении 1.

Мы ограничимся рассмотрением смесей из двух компонент, поскольку большее количество параметров ведет к возрастанию стоимости вычислений и может привести к переопределенности.

В качестве начального приближения в процедуре оценки параметров используется сочетание оценок параметров смеси распределений и коэффициентов модели GARCH(1,1) с гауссовскими инновациями.

Использование данных оценок в качестве начального приближения при оценке параметров модели (8a) позволяет сократить время вычислений; кроме того, поскольку класс моделей NM(2)-GARCH(1,1) близок к классам моделей GMM(2) и GARCH(1,1), представляется обоснованным использовать в качестве начальной точки сочетание параметров, оптимальных в известном смысле для вложенных моделей.

Соотношения между классами моделей и выбор процедуры сравнения

Выбор применимой процедуры сравнения моделей в схеме Вонга зависит от взаимоотношения между классами моделей. Наиболее благоприятный для исследователя случай – это случай непересекающихся классов моделей. В этом случае статистика критерия в классическом тесте Вонга имеет при верной нулевой гипотезе (заключающейся в эквивалентности моделей) нормальное распределение.

В случае пересекающихся и, в частности, вложенных классов моделей классическая схема Вонга предполагает проведение предварительного тестирования гипотезы о равенстве нулю дисперсии статистики отношения правдоподобия. Предельное распределение статистики критерия для проверки данной гипотезы – это взвешенное хи-квадрат распределение, веса которого зависят, в том числе, от оценок матриц (2a),(2b).

Несмотря на ряд хороших свойств, критерий Вонга имеет существенный недостаток. Даже теоретически непересекающиеся классы моделей могут быть достаточно близкими в терминах расстояния Кульбака– Лейблера. Это обстоятельство ведет к излишне частому (по сравнению с выбранной вероятностью ошибки первого рода) отвержению гипотезы об эквивалентности моделей. Поэтому, помимо классической схемы Вонга, мы будем пользоваться также модифицированным критерием отношения правдоподобия, предложенным Шеннак и Вильгельмом [24]. Нашей целью будет также сравнить результаты применения этих двух подходов к анализу финансовых данных.

Учитывая все замечания, совершенно ясно, что необходимо определить соотношения между рассматриваемыми классами моделей. Так, несложно понять, что класс ILN-моделей, хоть, вообще говоря, и не является вложенным в класс моделей GARCH(1,1) c нормальными остатками (в силу строгой положительности коэффициентов в уравнении регрессии в модели (3)), при малых значениях коэффициентов дисперсия статистики отношения правдоподобия может быть сколь угодно мала. Кроме того, ILNM является вложенным в класс смесей нормальных распределений (GMM). Последняя модель, в свою очередь, пересекается с классом моделей NM(2)-GARCH(1,1).

Очевидно, соотношения между распределением Стьюдента и t-GARCH аналогичны соотношениям между ILN и GARCH с нормальными инновациями. Заметим также, что эти две модели не пересекаются ни с одним другим классом, однако, при большом количестве степеней свободы могут быть сколь угодно близки к классам ILNM, GARCH(1,1) и NM(2)-GARCH(1,1).

Выбор модели

Выбор модели осуществляется с помощью следующих критериев:

• 1)    Классический тест Вонга

• 2)    Модифицированный тест Вонга (простой параметрический тест Шеннак–Вильгельма)

• 3)    Информационные критерии:

• a.   AIC (Информационный критерий Акаике)

• b.   BIС (Байесовский информационный критерий)

Применяя немодифицированный тест Вонга, мы применяем алгоритм для непересекающихся классов моделей при работе со всеми парами моделей, одна из которых имеет в основе распределение Стьюдента. Во всех остальных случаях проводится последовательный тест для пересекающихся классов моделей.

При использовании теста Шеннак–Вильгельма мы будем использовать оптимальное значение взвешивающего параметра во всех случаях, за исключением сравнения моделей, основанных на распределении Стьюдента. В последнем случае мы принимаем 6 = 0.5, по примеру оригинальной работы [24].

Описание данных и результаты

Модели сравнивались на данных о доходности компаний, входящих в индекс ММВБ, за период с 2005 по 2015г.

Ниже, в таблицах 1-2 приведены результаты попарного сравнения моделей 1-6 на рядах доходностей 25 компаний, входящих в индекс ММВБ.

Результаты сравнения моделей с помощью немодифицированного теста Вонга (с учетом взаимовложенности моделей):

Таблица 1 Немодифицированный критерий Вонга

Результаты попарного сравнения моделей	ILN M	Studen t-locatio n-scale	GMM( K)	GARCH(1 ,1)	NM(2)-GARCH(1 ,1)	t-GARC H	Кол-во "побед ", итог
ILNM	0	0	0	0	0	0	0
Student-location-scale	25	0	3	0	0	3	31
GMM(K)	25	7	0	1	0	3	36
GARCH(1,1)	25	11	14	0	0	0	50
NM(2)-GARCH(1,1)	25	24	23	18	0	18	108
t-GARCH	25	18	20	0	0	0	63
Кол-во "поражений", итог	125	60	60	19	0	24

Результаты сравнения моделей с помощью теста Шеннак-Вильгельма:

Таблица 2 Тест Шеннак-Вильгельма

Результаты попарного сравнения моделей	ILN M	Studen t-locatio n-scale	GMM( K)	GARCH(1 ,1)	NM(2)-GARCH(1 ,1)	t-GARC H	Кол-во "побед ", итог
ILNM	0	0	0	0	0	0	0
Student-location-scale	25	0	1	0	0	3	29
GMM(K)	25	6	0	0	0	3	34
GARCH(1,1)	25	9	15	0	0	0	49
NM(2)-GARCH(1,1)	25	23	24	18	0	15	105
t-GARCH	24	17	20	0	0	0	61
Кол-во "поражений", итог	124	55	60	18	0	21

Выбор наилучшей модели по информационным критериям Байеса и Акаике:

Таблица 3 Информационные критерии

Число абсолютных "побед"	AIC	BIC
ILNM	0	0
Student-location-scale	4	7
GMM(K)	3	0
GARCH(1,1)	1	3
NM(2)-GARCH(1,1)	5	2
t-GARCH	12	13

В строках Таблиц 1 и 2 приведено число тикеров, на которых модель, стоящая в строке, оказалась лучше моделей, стоящих в соответствующих столбцах, в указанном смысле. Можно видеть, что наилучшей при применении и критерия Вонга, и модифицированного критерия Вонга, оказывается модель NM(2)-GARCH(1,1).

Напомним, однако, что данная модель содержит наибольшее число – 7, – параметров. Поэтому, с нашей точки зрения, представляется важным провести сравнение моделей с помощью информационных критериев Байеса и Акаике. Результаты приведены в Таблице 3. Как видно, наилучшей из всех чаще всего оказывается модель t-GARCH. Однако модель NM-GARCH, лучшая в смысле правдоподобия, также относительно часто оказывается и лучшей в смысле критерия AIC и в меньшей степени, BIC.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что из рассмотренных моделей волатильности наиболее правдоподобное описание волатильности обеспечивают модели NM(2)-GARCH(1,1) и t-GARCH. Между тем, модель NM(2)-GARCH(1,1), в отличие от t-GARCH, является просто интерпретируемой: компоненты волатильности можно поставить в соответствие «режимам» активности торгов на фондовом рынке. Примечательно, что большей компоненте, как правило, соответствует меньший вес, что хорошо согласуется с приведенной выше интерпретацией.

Вышеизложенные замечания обосновывают применимость модели NM(2)-GARCH(1,1) в решении различных задач, связанных с управлением финансовыми рисками, в частности, оценке деривативов.