Выбор значений параметров модели зарождения и распространения элементарного кристаллографического скольжения

On the basis of the analysis of a micromechanics of a deformation of slip in the elementary mathematical models supposing analytical exposition, the main parameters of model of a origin and propagation of elementary crystallographic slip are estimated. The investigations are conducted for values of parameters of model, reference for a monocrystal of cuprum with an axis of deformation oriented for multiple slip (a slip plane of a type (1 I If direction of slip <110>, axis of deformation < 1 0 0>).

Постановка задачи

В [1] описаны: физическая модель распространяющегося в объёме г.ц.к. кристалла единичного кристаллографического скольжения, методика моделирования на ЭВМ расширения связанной с этим скольжением замкнутой дислокации, алгоритмы и программы, позволяющие методами имитационного компьютерного моделирования воспроизводить, исследовать и описывать элементарное скольжение как единый целостный процесс [2-5]. В формулировке дислокационной микромеханики это соответствует моделированию действия дислокационного источника и двухмерного процесса расширения замкнутой планарной дислокационной петли, образующей фронт элементарного скольжения, в поле случайно расположенных дискретных препятствий на участке плоскости скольжения, соизмеримом с размерами экспериментально наблюдаемых зон сдвига в реальных кристаллах. Входные параметры модели характеризуют: 1) материал как химический элемент и как кристалл (коэффициент Пуассона, модуль сдвига, параметр решетки, моно- или поликристалл, исходную плотность дислокаций, модуль вектора Бюргерса); 2) условия деформирования (кристаллографию скольжения, способ нагружения, внешнее приложенное напряжение, температуру); 3) препятствия (природу препятствий, число типов препятствий, их относительные концентрации и прочности, плотность, термо активационные свойства препятствий); 4) моделируемый объект (дислокационный источник, дислокационную петлю, ограничивающую область незавершенного кристаллографического скольжения, дислокационную петлю, порожденную источником, конфигурацию восстановленного дислокационного источника при его повторном старте). Если это дислокационный сегмент - источник, то необходимо задать его расположение и длину; 5) нефизические величины (размеры площадки моделирования, затравочные числа для используемых датчиков псевдослучайных чисел; размеры основных массивов в программах

Выбор значений параметров модели кристаллографического скольжения моделирования). Изменения затравочных чисел датчиков псевдослучайных чисел - не принципиальны. Они служат для смены сетки случайно расположенных препятствий (постановки повторных экспериментов).

Для проведения машинных экспериментов всем этим параметрам необходимо придать определённые значения. В первых работах по имитации движения дислокаций через хаотическую сетку препятствий [6-8] вопрос о значениях параметров используемых моделей не обсуждался и даже не ставился. Основной параметр таких моделей - прочность препятствий в плоскости кристаллографического скольжения -просто варьировался в определенных пределах [6, 7], а их число в значительной мере определялось возможностями используемых ЭВМ и алгоритмов (от 1000 стопоров до 10000 в контрольных реализациях [6], до 1 млн [9]). После установления [9] влияния размеров площадки моделирования на основные изучаемые в модели прямолинейных бесконечных дислокаций характеристики последние стали регистрироваться после определенного пробега дислокаций [10]. Однако при моделировании реальных явлений (в данном случае зарождения и распространения элементарного кристаллографического скольжения) вопрос о значениях параметров выдвигается на первый план. Ответы на часть вопросов о параметрах во многом определяются характеристиками объекта изучения, для выбора же значении другой части параметров, действительно, не возникает никаких вопросов.

В связи с этим целью данной работы является оценка значений ключевых параметров модели на основе изучения свойств элементарных кристаллографических скольжений для простейших (окружностей) конфигураций планарных дислокационных петель, их распространяющих, в континуальном приближении нерелаксирующего деформируемого кристалла.

Характеристики элементарных кристаллографических скольжений

Пластическая деформация скольжения в кристаллах составлена из множества элементарных кристаллографических сдвигов (элементарных скольжений) на вектор трансляции решетки в направлении скольжения. Вклад а кристаллографического скольжения в общую макроскопическую деформацию кристалла в результате механических взаимодействий с другими телами описывается равенством da = bdQ, где Q - общая площадь элементарных скольжений в процессе пластической деформации, сдвиговая компонента которой равна я. Здесь необходимо подчеркнуть, что общая деформация кристалла всегда превышает сдвиговую компоненту', поскольку кристаллографическому скольжению всегда сопутствует производство точечных дефектов, диффузионные потоки которых вносят вклад в деформацию. Полная деформация кристалла, пластическое формоизменение которого осуществляется скольжением, всегда складывается из деформации кристаллографического сдвига и сопряженной диффузионной деформации. В данной работе речь идет только о сдвиговой компоненте деформации.

Площадь элементарного скольжения можно представить в виде

Д0 = Г2£>2,                                   (1)

где D - некоторая линейная характеристика, которую можно определить как «средний диаметр» скольжения (для круга Г2 = д/4). Воспользуемся для D обобщенным соотношением Кронмюллера [11] для величины пробега дислокации до образования неподвижной конфигурации в результате дислокационной реакции где тг - деформирующее напряжение в системах скольжения, неком планарных рассматриваемому элементарному скольжению, р - плотность дислокаций, В -некоторая безразмерная комбинация постоянных [12]. При высокосимметричных ориентациях оси деформации (например, в случае оси деформации, расположенной вдоль направления {100} или {1 1 1} в случае г.ц.к. кристаллов) можно принять тг-т = oGbpM1 + т}, (3)

где Т_f - напряжение решеточного и примесного трения, Т внешнее напряжение, остальные обозначения обычные. Тогда

В otibp г +т, Gb р

поэтому в широком

В чистых металлах или слаболегированных сплавах aGbpXi‘ интервале достаточно высоких плотностей дислокаций в этом случае можно считать D - аВi pvl. Для г.ц.к. материалов можно принять а = 0,5 [И] и 5 = 500 [12], что даёт D = 250/?""2. Подставив (4) в (1), находим де=г2

В² ^ aGbp^vl + г_у

V

р )

При степенях деформации р, при которых т, составляет незначительную часть сопротивления пластической деформации.

nl

ДО = F₂ ---- ² G²b²

что при плотностях дислокаций, <

c^G2^ V^B2

- р       р обычных при пластической деформации

монокристаллов г.ц.к. материалов, даст 5 ■ 10"!см2 > ДО > 5 ■ 10“7см2.

Если аннигиляция дислокаций в деформируемом кристалле отсутствует, то плотность дислокаций в деформируемом кристалле можно найти, интегрируя уравнение Инденбома -Орлова [13]:

dp =F da Db ’

где 5’ = Г1/Г2, Г, - геометрический параметр, связывающий периметр замкнутой дислокационной петли с ее диаметром: Р = Г^). Из (2) и (7) следует уравнение

^ F р”

da СЙЬГ pv2 aBb интегрируя которое, находим

/        p X²

p=w-v-G-a\ ■                (9)

I,        2tiS5 )

При достаточно высоких степенях деформации уравнение (9) принимает вид

_   ^2     2

Р — . " У      а " <3

Ас^В2^

(Ю)

Средняя площадь элементарного скольжения в кристалле, деформированном до степени деформации кристаллографического сдвига а, определяется как

Д5 = 1|лд(а)^.                        (11)

Используя выписанные выше соотношения и выполняя необходимые преобразования, получаем

-- Г,а3Я36 (   loBb г Ре V г /

Для степеней деформации, которые представляют интерес для прочниста -

2аВЬ экспериментатора или технолога а»----р^ , зависимость средней площади

элементарного скольжения от с тепени деформации у принимает вид:

М а

При а = 0,1 и р₀ =10⁸см ² \Q = 5 10 ⁵ см², при а = 1 - на порядок величины меньше.

Из (12) и (9) следует соотношение, связывающее среднюю по деформации площадь элементарного скольжения с плотностью дислокаций,

- рХг р"2

Число N элементарных скольжений в единице объема кристалла, результатом которых явилась деформация кристаллографического сдвига а, определяется по формуле

AS

Его оценку можно получить с помощью усреднения (6) по плотности дислокаций. Средняя площадь всех скольжений, в результате которых была достигнута плотность дислокаций р, находится как

-1 -Wp-

Р"Ро       Чр-р^ А

В процессе сдвиговой пластической деформации обычно плотность дислокаций на порядок величины превышает плотность дислокаций /^ в недеформированном кристалле. Поэтому вместо (16) можно принять

^ = ™а2В2р'- 1п-^-.

4           P_D

Интенсивность производства дислокаций da Db aBb^P ’

что после интегрирования дает ptDb 2аВЬ

Ро

Выполняя необходимые подстановки, находим число элементарных скольжений, составивших деформацию кристаллографического сдвига я , в расчете на единицу объема:

а 8 Vp-PnY¹² 8     д³'²

\2Ф reaFB_T 1п(р/ р^ ло®В_г \^pi р₀^

При ро = 10^а см "², р- 10⁹... 10^|0см ² (29) даст?/» (2-10^,л510^м) скольжений.

При распространении элементарного кристаллографического скольжения мгновенные замкнутые конфигурации, которые образует дислокация, являющаяся фронтом скольжения, неустойчивы. Распространение скольжения совершается поэтому в динамическом режиме (движения дислокаций скольжения). Равнодействующая сил, действующих на элемент длины расширяющейся замкнутой дислокации, при неизменном внешнем напряжении возрастает. В отсутствие сил вязкого торможения дислокация расширяется с возрастающим ускорением.

В действительности с увеличением скорости дислокации возрастают силы вязкого торможения, связанные с рассеянием движущейся дислокации фононов и электронов проводимости. Кроме того, при скоростях движения дислокаций, близких к скорости звука, проявляются квази-релятивистские эффекты, величина которых также растет с увеличением скорости дислокации. Скорость движения дислокаций, связанных с кристаллографическими скольжениями, стабилизируется. Такое движение дислокаций называют обычно вязким надбарьерным.

Время расширения планарной дислокационной петли, связанной с элементарным кристаллографическим скольжением (время элементарного скольжения), рассчитано для дислокаций в форме окружности, расширяющейся до протяжённых непроницаемых для скользящей дислокации барьеров [14]. Было найдено, что элементарное кристаллографическое скольжение происходит за время порядка десятков или сотен наносекунд. Для меди при комнатной температуре характерное время динамической (атермической) стадии развития элементарного кристаллографического скольжения оказалось равным 30 нс [14]. При повышении температуры длительность стадии термоактивируемого развития элементарного скольжения уменьшается, и при Z’>(0,3.,.0,4)7^ (Тт- температура плавления) полное время Дг распространения элементарного скольжения определяется временем :а его атермического распространения.

Деформация кристаллографического сдвига осуществляется в каждый данный момент некоторым числом д элементарных скольжений. При этом скорость деформации кристалла такая же, какую обеспечили бы последовательные элементарные скольжения, каждое из которых происходит за время

Д д ‘

Тогда число скольжений, составивших деформацию da, определяется как dt pdt dN = —- =--,

Д/ tu где dt - время, за которое произошла деформация кристалла на величину da.

dt — — da,

а а™ скорость деформации. Поэтому dN =

da.

к («)«(«)

С другой стороны, из (15) для числа элементарных скольжений, находим

Г^В"Ъг

2^& _й1^ f ^tL F ^Р° )”г^В'³Ь^г

■ и,

поэтому

... IFpV , dN =--- p—;- ada

Г^В3^

и тогда

^М - у ,р _нгрл^«W^a-

1 2^6 tS и

Для времени элементарного скольжения расчет методами дислокационной динамики [14, 26] даёт соотношение

/ st

■                     — = —                            (27)

где к =—, г®*- время элементарного скольжения в начале пластической деформации (при начальной плотности дислокаций р^. Будем далее пользоваться для времени скольжения t соотношением

'.’«IW ^--^ -1/2

d--------- а 2аВЬ

При пластических деформациях таких, при которых

2аВЬ ° ’1

Подставив (29) в (26), находим

HoBbj^p^

F

Р =

IFp^

2аВЬ

Г^В^Ь1 F

t^^d

^Р_й л

Гга2В2Ь '

Таким образом, в принятом предположении (fr=l/2) число активных скольжений в деформируемом нерелаксирующем кристалле нс зависит от степени деформации.

Расчёты, выполненные для кристалла параметрами меди [15], дают

t^ ■ p_a = 10"' 10^е = 10 с см’². При a = 10’⁴ с"¹ (скорость деформации, характерная для лабораторных статистических испытаний) р = 3 скольжения/см³.

Приведённые оценки служат обоснованием допустимости двух важнейших предположений барьерной модели постоянного линейного натяжения: при двухмерном моделировании расширения замкнутой дислокации при распространении элементарного кристаллографического скольжения предполагается, что плотность дислокаций в некомпланарных системах (плотность стопоров на площадке моделирования) остаётся неизменной, а стопоры - неподвижными. Предположение о неизменности конфигурации поля стопоров в процессе распространения элементарного кристаллографического скольжения хорошо отражают ситуацию в реальных .металлических материалах, деформируемых в условиях, когда вязкое трение мало. В этом случае двухмерное моделирование элементарного скольжения достаточно хорошо отражает реальные дислокационные конфигурации, сопряжённые со скольжением в кристаллах. Трехмерное *^ моделирование скольжения дислокаций при всей его привлекательности неактуально, пока в рамках двухмерного моделирования распространения скольжения не будут выявлены задачи, действительно требующие учета процессов, происходящих в третьем измерении, или полномасштабного трехмерного моделирования. Корректная постановка задач, действительно требующих трехмерного моделирования, может быть осуществлена лишь после того, как будет в достаточной мере пройден этап планарного (двухмерного) моделирования производства дислокаций, осуществляющих скольжение.

Важно отметить, что формирование поля препятствий, в котором моделируется распространение кристаллографического скольжения, осуществляется на доминирующем в современной теории дислокаций уровне незамкнутых дислокаций. Это — прямолинейные бесконечные дислокации, конечные отрезки бесконечных прямолинейных дислокаций, подвижные звенья дислокационных сеток, кв аз и прямолинейные дислокации. Этот уровень естественно назвать субдислокационным (по аналогии с субатомным уровнем рассмотрения в физике), поскольку он имеет дело не со всей замкнутой дислокацией (дислокационной петлей), ограничивающей область кристаллографического скольжения, а лишь с се участками (элементом, отрезком, свободным сегментом, звеном и т. д.).

Формирование поля препятствий

Ключевым вопросом при имитации на ЭВМ зарождения и распространения элементарного кристаллографического сдвига становится формирование поля дискретных препятствий, как можно более близкого к полю реальных препятствий движению дислокаций, связанных с контактными взаимодействиями дислокаций различных систем скольжения Содержание понятия «поля препятствий как можно более близкого к реальному» может быть различным в зависимости от характера решаемой задачи. Для различных задач допустимые упрощения при формировании поля препятствий (стопоров) различны. При имитации распространения элементарного кристаллографического скольжения стопоры интерпретируются как "локальные области пересечения" дислокаций некомпланарных систем скольжения с плоскостью залегания сегмента - источника. В процессе распространения элементарного кристаллографического сдвига связанная с ним расширяющаяся замкнутая дислокация испытывает контактные взаимодействия с большим числом (десятки и сотни тысяч) дислокаций некомпланарных систем скольжения. Можно выделить три типа таких взаимодействий: 1) пересечение с отталкивающимися дислокациями, в результате которых на взаимодействующих дислокациях образуются пороги и перегибы; 2) пересечение с притягивающимися дислокациями, сопровождающееся дислокационной реакцией, продуктом которой является дислокационное соединение (комбинированная дислокация), и последующим разделением прореагировавших дислокаций под действием внешнего напряжения; 3) пересечение с дислокацией, вектор Бюргерса которой противоположен вектору Бюргерса скользящей дислокации. В этом случае происходит аннигиляция участка взаимодействующих дислокаций (реакция аннигиляции); при разделении под действием приложенного напряжения взаимодействующих дислокаций зона аннигиляции исчезает.

Контактные силы, связанные с образованием порогов и перегибов, невелики, поскольку при пересечении происходит их удлинение лишь на длину вектора трансляции в направлении скольжения Для того чтобы произошло перерезание скользящей дислокацией дислокации леса, силами внешнего напряжения должна быть совершена работа, величина которой равна энергии двух порогов или двух перегибов или сумме энергий порога и перегиба [20]. Предположим, что: а) дислокации некомпланарных систем скольжения равномерно распределены по ориентациям; б) распределение точек пересечения дислокаций леса с плоскостью залегания дислокации является случайным равномерным; в) число стопоров на единицу площадки моделирования равно плотности дислокаций леса. Тогда в зависимости от вектора Бюргерса дислокации леса этим энергиям отвечают следующие критические углы огибания ^р [20]: 172,7°, 169,9°, 169°, 165,3°, 162,6°, 161,6°, 159,8°, 157,9° Они несущественно отличаются друг от друга и могут быть представлены средним значением - 163,5°.

Во втором случае образуются дислокационные реакции, в результате которых возникают дислокационные соединения - дислокации, вектор Бюргерса которых не совпадает с векторами Бюргерса взаимодействующих дислокаций. Конфигурация дислокаций, участвующих во взаимодействии, в частности, протяженность "продукта реакции", определяется минимумом энергии полей смещений, связанных со всеми дислокациями, участвующими во взаимодействии и возникающими в результате взаимодействия. Поэтому, хотя реагирующие дислокации составляют относительно небольшую часть всех дислокаций, пересекаемых замкнутой дислокацией, связанной с кристаллографическим скольжением, при распространении скольжения они создают основную часть сопротивления движению скользящей дислокации.

Силы, необходимые для взаимного пересечения реагирующих дислокаций, определяются равновесием линейных натяжений в тройных узлах. Величина этих сил в зависимости от ориентации и векторов Бюргерса пересекающихся дислокаций может быть весьма различной (от нуля до величин, несколько превышающих силу линейного натяжения). Взаимодействие двух факторов: 1) сил линейного натяжения, стабилизирующих конфигурацию замкнутой дислокации в форме, соответствующей минимуму её собственной энергии, и 2) сил контактных взаимодействий, вызывающих локальные отклонения замкнутой дислокации от этой конфигурации, приблизительно одинаковы по величине сил, характеризующих эти взаимодействия (фактор, сохраняющий конфигурацию дислокации, соответствующую минимуму её конфигурационной энергии, и фактор, ведущий к нарушению этой конфигурации, приблизительно одинаковы по величине характеризующих эти взаимодействия сил). Поэтому предварительно должен проводиться расчет напряжений, при которых становится возможным преодоление каждого из продуктов дислокационных реакций, включая реакцию аннигиляции. Величина сопротивления комбинированной дислокации ее диссоциации зависит от ориентации дислокаций некомпланарных систем скольжения по отношению к плоскости залегания скользящей дислокации. Разумеется, при различной ориентации дислокаций леса меняется и протяженность дислокационных соединений. Однако их общий вклад в плотность дислокаций невелик - около 2% от плотности дислокаций [21]. Следовательно, возможна замена дислокационных соединений, имеющих в действительности различную протяженность, точечными стопорами, для преодоления которых необходимо приложить к дислокационным сегментам, расположенным по обе стороны от стопора, такую же силу, как и в случае преодоления дислокационного соединения. При таких соглашениях результаты многочисленных исследований по прочностям дислокационных соединений удается выразить в терминах критических углов огибания препятствий [1,3, 12].

И, наконец, приведем соглашения о термоактивированных преодолениях препятствий. Как уже отмечалось, в случае отталкивания после пересечения взаимодействующих дислокаций энергия образования возникающих порогов или перегибов невелика. При умеренных температурах (включая комнатную) она соизмерима с энергией тепловых колебаний и вероятность их преодоления с помощью термической активации достаточно велика, чтобы такие преодоления могли проявиться в температурной зависимости сопротивления движению скользящей дислокации.

Во втором случае, когда при контактных междислокационных взаимодействиях происходят дислокационные реакции, продуктом которых являются дислокационные соединения ("зоны рекомбинации" по А.А. Предводителеву [22]), либо зоны аннигиляции, силы линейного натяжения и силы, обусловленные контактными взаимодействиями дислокаций, одного порядка величины, следовательно, преодоление дислокаций неком планарных систем связано со значительными изменениями их конфигураций. Изменения энергии, связанные с дислокационными реакциями (включая реакцию аннигиляции), много больше энергии тепловых колебаний, и сопротивление движению дислокаций, обусловленное реагирующей компонентой дислокационного леса, практически не зависит от температуры (является атермическим). Поэтому препятствия для скользящей дислокации, соответствующие нереагирующим дислокациям леса, будем считать термически активируемыми, все остальные препятствия (дислокационные соединения и зоны аннигиляции) предполагаются атермическими.

Размеры площадки моделирования. Число стопоров вдоль дислокации

Оценим число препятствий, которые необходимо учитывать при распространении элементарных скольжений.

Длина наблюдаемых экспериментально следов скольжения зависит от плотности дислокаций и числа действующих систем скольжения и может быть во многих случаях

[11] удовлетворительно описана соотношением типа (2): D -С- р"'² .где С = 250 500. Если считать, что дислокации распределены между всеми действующими плоскостями скольжения равномерно, то плотность дислокаций леса р, может быть оценена как р, = ^р, где ^ = 0,5 - фактор Смоллмена. На одну дислокацию леса приходится площадь р^ = (^р)"’. Поэтому, площадь, охватываемая дислокационной петлей, может быть оценена (считая петлю окружностью) как

'                 и- ^ -^

" 4 "  Др'

Число препятствий, пересеченных при расширении до диаметра D дислокационной петлей, осуществляющей кристаллографическое скольжение,

..   „ лС2 л^Р2

^ q ~ QPf ^— Д' Pf ^— "V "■                        (31)

Ал 4

При С = 500 имеем Nq = 10⁵. В переводе на квадратную площадку моделирования это значение увеличится в 4? л. Число препятствий, С которыми одновременно взаимодействует расширяющаяся дислокационная петля диаметра D, приблизительно

При тех же значениях £ и С, что и в предыдущей оценке, находим Nq = 2000. Это очень важная при алгоритмизации имитационной модели величина, ею, в конечном счете, определяются размеры массивов для стопоров на дислокации и ряда вспомогательных массивов.

Отсюда следует, что при имитации на ЭВМ элементарного кристаллографического скольжения необходимо в площадке моделирования «иметь», по меньшей мере, 128 тыс. препятствий, а учитывая разброс средних в приведенных приближенных оценках, ■■ около 300 тысяч препятствий и учитывать взаимодействие дислокации не менее чем с 2 тысячами стопоров. Собственно, эти внушительные числа и являются основной причиной обращения к методам имитационного моделирования при изучении элемен тарных кристаллографических скольжений.

Из приведенных оценок следует, что элементарное скольжение - объект далеко не микроскопический: его средняя ширина в 10⁴-ИО⁷раз больше межатомного расстояния. С другой стороны, основная масштабная характеристика элементарного скольжения — его средняя ширина D - может быть на 3 - 4 порядка величины меньше, чем обычные размеры деформируемого образца. Поэтому элементарное скольжение следует отнести к мезоскопическим уровням масштабной иерархии структур деформируемого кристалла [23].

Оценим интервал изменения длин [£_mj_n, ^пих] сегментов-источников, активных при напряжении г. Нижняя граница длин £_min потенциальных сегментов-источников определяется длиной источника, который может действовать при напряжении T^aGbJp (при использованных ранее обозначениях). Принимая т = T_F__R = Gb/ L и a = 0,5 [12], находим, L_min ^ 2 / ^ .

Верхняя граница длин сегментов-источников £_тах определяется гем, что в момент замыкания дислокационной конфигурации в замкнутую планарную петлю её диаметр D_: =(10ч-12)£ [24, 25]. Если на расстоянии такого порядка расширение дислокационной петли прекратится в результате включения её в протяженные неподвижные конфигурации (барьеры), D_t=D, где D - диаметр зоны сдвига [31]. Принимая для D соотношение (9) с вышевыбранным значением ос —0,5 и S = 500 [12], получаем: L^ = (21-r25)-/?"^1/z. Таким образом, интервал длин L возможных сегментов-источников зависит от плотности дислокаций р в кристалле и при р = 10^всм~² 5е [2мкм ч-23мкм].

Выводы

На основе детального анализа динамики элементарных кристаллографических скольжений для простейших конфигураций планарных дислокационных петель (окружностей) в континуальном приближении не релаксирующего деформируемого кристалла получены оценки значений основных параметров имитационной модели зарождения и распространения элементарного кристаллографического скольжения (применительно к монокристаллам меди с плотностью дислокаций 10в см *2) : числа препятствий, которые необходимо учитывать в ЭВМ-эксперименгах (это около 300 тысяч), числа препятствий, с которыми одновременно взаимодействует расширяющаяся до размеров среднего диаметра зоны сдвига дислокационная петля (более 2 тысяч), интервала вариации длин потенциальных сегментов-источников (от 2 до 23 мкм).

Установлено, что:

• -    для реализации скоростей деформации, характерных для лабораторных статических механических испытаний и многих технологических процессов, достаточно распространения очень небольшого (единиц) числа скольжений;

• -    за время элементарного скольжения дислокационная структура в кристалле, в том числе плотность и положение дислокаций некомпланарных систем скольжения, практически не изменяются. Поэтому при имитации зарождения и распространения элементарного кристаллографического скольжения в поле стопоров дислокационной природы препятствия в плоскости кристаллографического скольжения с приемлемой точностью можно считать неподвижными, а их плотность - неизменной, что является обоснованием достаточности планарного двухмерного (2D) моделирования).

• 3.    Голосова Т.Н.. Слободской М.И., Попов Л.Е. Моделирование источника дислокаций в поле активируемых и неактивируемых дискретных препятствий // Изв. вузов. Сер. Физика, -1992, -№10.-С. 20-24.                    ‘                          '

• 4.    Слободской МИ, Матюшенко А.В. Эволюция дислокационной петли от источника в иоле случайно расположенных препятствий с дискретным спектром прочностей //Изв. вузов. Сер. Физика. - 1997. №7. - С. 113-118.    ■

• 5.    Слободской М.И., Попов Л.Е. Релаксационные явления, связанные с незавершенными кристаллографическими скольжениями // Конденсированные среды и межфазные границы. -2001. - Т.2, №3. -С. 177-180.

• 6.    Формен А., Майкин М. Движение дислокации сквозь хаотические сетки препятствий//Актуальные вопросы теории дислокаций. - М.: Мир, 1968. -С.200 -215.'

• 7.    Landau A. I. Kinetics of the dislocation motion in a crystals containing a spectrum of local obstacles (stoppers) // Phys, status solidi (a). — 1973. - Vol. 15. N. 1. - P. 343-350.

• 8.    Morris J.W., Jr. Klahn D.H. Statistics of the thermally activated glide of a dislocation through a random array of point obstacles // J. Appl. Phys. - 1973. ■ Vol, 44. -P. 4882-4890.            "      '                           - -•

  • 9.    Altintas S., Hanson K., Morris J.W., Jr. Inhomogensities in plastic deformation through dislocation glide // In: Proc. 2nd Int. Conf. Meeh. Behav. Mater., Boston. - 1976. - S.l. -P. 2-7.~

    • 10.    Ландау А. И,, Выдашенко В. M. Термоактивированное движение дислокаций через хаотическую сетку точечных препятствий. - Харьков, 1981. — 46 с. (Препринт ФТИНТ АН УССР'1981:4).'

• 12.    Попов Л.Е., Кобытев В.С., Ковалевская Т.А. Пластическая деформация сплавов. -М.: Металлургия. - 1984. - 182 с.

• 13.    Инденбом В.Л., Орлов А.Н. Физическая теория пластичности и прочности // Успехи физ. наук. - 1962. - Т.76, выл. 3. - С. 557-591.

• 14.    Вихорь Н.А. Математическое моделирование дислокационной подсистемы деформируемых г.ц.к. кристаллов: Автореф. дне канд. физ.-мат. наук - Томск, 1997. - 23 с. '                    '                            ‘                  ’

• 15.    Попов Л.Е, Колупаева С.Н., Слободской М.И., Вихорь Н.А., Пуспешсва С.И.. Дислокационная динамика планарного скольжения в г.ц.к. металлах. ТГАСУ. -Томск, 1999. - 30 с. Ден. в ВИНИТИ. 21.07.99, № 2373-В 99.

• 16.    Kubin L.P.,Canova G., Condat V„ Devincrc B., Pontikis V., Brechet Y. Dislocation structures and plastic flow: a 3D simulation //Solid State Phenomena. - 1992. -Vol. 23&24. - P.455-467.

• 17.    Devincrc 9., Condat M. Model validation of a 3D simulation of dislocation dynamics: discretization and line tension effect // Acta metall. Mater. - 1992. - Vol. 40. - P.26292640.

• 18.    Groma I., Pawley G.S. Computer simulation of plastic behavior of single crystals // Phil. Mag. A.- 1993.-Vol. 67.-P. 1459-1466.                         '

• 19.    Devincrc B., Kubin L.P. Mesoscopic simulations of dislocations and plasticity /7 Mater. Sci. Eng. - 1997. A234-236. -P.8-14.

• 20.    Попов Л.Е., Кобытев B.C., Гаизя Л.В. Теория деформационного упрочнения сплавов. - Томск: Изд-во ТГУ, 1981. - 172 с.

• 21.    Куринная Р.И., Ганзя Л.В., Попов ЛЕ. Сопротивление расширению дислокационной петли в ГЦК металлах //Изв. вузов, Физика. - 1982. - №8. - С. 35-38.

• 22.    Предводителев А.А. Исследование взаимодействие и движения дислокаций в связи с процессами макроскопической деформации кристаллов: Автореф. дне. д-ра физ.-мат. наук. - М.: Изд-во МГУ, 1973. - 30 с.

• 23.    Панин В.Е. Основы физической мезомеханики // Физическая мезомеханика. - 1998. -Т. 1,№!.-€. 5-22.

• 24.    Тяпунина Н.А., Благовещенский В.В., Зиненкова Г.М., Ивашкин Ю.А. Особенности пластической деформации под действием ультразвука // Изв. вузов. Сер. Физика. -1982. -№ 6. -С. 118-128.

• 25.    Слободской М.И., Голосова Т.Н., Матюшенко А.В. Эволюция дислокационной петли от источника в поле случайно распределенных однородных препятствий // Изв. вузов. Сер. Физика. - 1997. - №6. - С.61-64.

• 26.    Колупаева С.Н., Старенченко В А., Попов Л.Е. Неустойчивости пластической деформации кристаллов. - Томск: Изд-во Том. гос. ун-та, 1994. - 301 с.