Вычисление доли времени контакта нижней поверхности сляба с балками нагревательной печи при наличии их искривления

Печи с шагающими балками являются наиболее прогрессивными агрегатами для нагрева слябов в производстве горячего проката, так как обеспечивают всесторонний подвод к ним теплоты; однако при этом в местах контакта слябов с охлаждаемыми балками образуются «холодные пятна», которые могут привести к неоднородности механических свойств сляба и возникновению дефектов прокатки. Исследование теплообменных процессов в промышленных агрегатах затруднено, поэтому основным методом их изучения является математическое моделирование.

При создании математической модели нагрева сляба в печи с шагающими балками

возникает необходимость учета особенностей теплообмена на нижней поверхности сляба, связанных с наличием контакта этой поверхности с опорными элементами охлаждаемых балок (рейтерами) и с частичным экранированием балками излучения элементов нижней части рабочего пространства печи.

В работах [1, 2] предложено нижнюю поверхность сляба разбить (в продольном направлении) на прямоугольные участки, для каждого из которых задавать граничные условия в соответствии с принадлежностью его к одному из типов: всегда открытые; периодически контактирующие с подвижными балками; контактирующие со стационарными балками. В работе [3] предложено разделить

э ф фек т ы к он так тного т е плоотв од а от нижней поверхности сляба (связав его с размерами рейтер а ) и э к ра н и рова н и я э той п ов е р хности балкой (связав его с шириной балки) – при этом количеств о ти п ов у ча с тк ов , н а к от оры е разбивается нижняя поверхность сляба, возрас та е т д о 5 (д оба в л яются еще участ ки э к ран и ров а ния, прилегающие к рейтерам подвижных и ста ц и он а рн ых б а ло к ) .

В работах [1–3 ] г ра н ичные условия на нижней поверхности сляба зада ю т с я н е и зме н я ю щ ими с я в о врем ени ( в с оот в е тс тв ии с этапами цикла работы шагающих балок ) , а ос ред не н н ыми в соответств и и с п родол жи те ль ностя ми э ти х э та п ов .

Одни м и з п ра к ти че с к и х методов борьбы с «холодными пятнами» явля е тс я с озд а н и е к ри в и зн ы ( и згиб а ) оп орных б а л ок с целью «размазывания» пятна контакта по пове рхн ос ти с ляб а. В работе [ 4 ] ма те ма ти чес к а я мод е ль н агре в а с ля б а в печи с шагающими балками усовершенствована в н аправл е н и и в оз можн ос ти у чета кривизны (макроискривления) балок, зада в а е мой в в и д е с и н усои д а л ьн ой фу н к ц ии ( опре де л яемой периодом и амплитудой). При этом в у п омяну той ра б оте п ред ло же н о н а к ажд ом р а с че тн ом ша ге по времени обновлять положение области контакта для ка ж д ой б алк и ( в с о отв е тств и и с фазой искривления балки), приближенно счи та я е е п о -прежнему п рямоу гольн ой . Э тот п одход п редставляется весьма продуктивным упрощени ем , одн ак о он пр отиворечит идее задания осре д ненного во времени граничного условия для о б ла с те й к он так та , осн ов а н н ого н а п родол жи т е льн о сти этапов цикла шагания (являющейся базов ой д ля в с е х п е ре чи сленных работ).

Методы

В н а стоя ще й ра боте п ред ложен подход, позволяющий учесть кривизну б а лок в ра мка х ос-р е д н е н н о го во в ре ме н и зад а н и я граничных условий на нижней поверхности сляб а .

Р ас с мотри м балк у п олу ш и ри н ой b , изогнутую по синусоиде с амплитудой A . Если полагать, ч т о п оложе н и я с ляб а в разн ые моменты времени при его перемещении вдо л ь п е чи ра спред е л е н ы рав номе рн о, то в е роятн ость ( т. е. доля времени) контакта какой-либо точки нижней поверхности сляб а с э той б а л к ой за в ис и т только от поперечной координаты этой точки , отс чи та н ной от оси ба лк и . Поск оль к у к ри в а я и зги б а симметрична относительно оси балки, буд ем в дальнейших рассуж д е н и ях ра с с м а три в а т ь тольк о н е отри ц а тельн ы е зн а че н и я п оп е ре чн ой координаты. На рис. 1 и зоб раж е н од и н п е ри од и зогн у той б а лк и п ри ш и ри н е б а лк и 140 мм и амплитуде изгиба 200 мм (п о ос и аб с ц и сс отло же н а н е к оор д и н а та в д о ль ба л к и , а фа за и зги ба – для компактности рисунка).

Рис. 1. Схема изогнутой балки Fig. 1. Schematic of a bent beam

Если координата y >  A + b , то в е роятн ос ть η контакта точки на поверхности сляба с балкой равна 0. Если A – b < y < A + b , т о эта вероятность пропорциональна длине отре зк а CD на рис. 1, а если y < A – b , то п роп о рц и он а льн а с у мме д л ин отре зк ов EF и GH , что приводит к следующим расчётным формулам:

( n = ■

0,y > A + b;

- — - arcsinf ^—^ ), A — b2 n          A

-П [arcsln(iAr)

— arc s i n f“)] ,y < A — b.

На рис. 2 представлены ре зультаты расчетов по формуле (1) для б а л к и п олу ш и ри н ой b = 70 мм п ри 5 зн а ч е н и ях а мп ли ту д ы к ри в и зн ы A в диапазоне от 40 до 200 мм.

Рис. 2. Зависимость доли времени контакта точки на нижней поверхности сляба от ее координаты при разных амплитудах искривления балки шириной 140 мм Fig. 2. Dependence of the contact time fraction of a point on the bottom surface of the slab on its coordinate at different bending amplitudes of a 140 mm wide beam.

К а к ви дно и з п редс та в лен н ых гр а фик ов , ес ли A <  b , то на кривой η ( y ) имеется начальный гор изон та ль н ый у ча с то к , соответс тв ующ и й η = 1, после которого зависимость становится резко у быв а ю щ е й; в о в с ех с лу ч а ях, к о гд а A >  b , зависимость η ( y ) носит экстремальный характер с пол оже н ие м точк и ма кс и му м а б ли зко к значе н и ю y = A – b , причем возрастание до точки максимума носит плавный характер, а у б ыв а н и е п осле э той точк и – более резкий. Наличие максимума о б у с лов ле н о, в и д и мо, тем, что в б ли зи зн а ч е н и я y = A – b скорость изменения кривизны минимальн а , и п оэ тому д ли тельн ос ть контакта достигает максимального значения , п роп орц и он а льного длине отрезка KL на рис. 1.

С л е д у е т отме ти ть, что в с оотв е тс тв и и с рис . 2 идея разбиения нижней поверхности сляба на п рямоу гольн ые учас тк и с од н ородными граничными условиями в пределах к аж д о го учас тк а в сл уч ае искр ивл ен ия бал ок суще ственно теряет значимость, поскольку однор о дно ст ь г р анич ны х усл о ви й со х р аня ет с я т о л ько в пр е делах всегда открытых областей нижней повер х но с т и; в обл аст я х ко нт акт а о ср едненны е во вр ем ени граничные условия оказываются существе нно неоднородными по по пер еч но й ко о р динате, чт о позволяет считать более адекватным локальное о пр едел ение пар ам ет р о в г р анич ны х усл о в и й на со от вет ст в ующих участ ках . Е сл и ж е всё -таки необходимо сохранить уч аст ки с ф о р м ал ь но о дно р о дным и гр анич ны м и у сл о вия м и, т о , по-видимому, придется области ко нт акт а др о бит ь на бо лее м ел к ие участки и усреднять по этим участкам г ранич ны е усл о вия .

Еще с и льне е и де я ра зб и ения нижней поверхности сляба на участки с од н о род н ыми г ра н ичн ы м и у с л ови ями об е сцен ив а етс я тогд а , к огда и с к ривление балок учитывается в модели с раздел е н н ыми об л а с тями э к ран и рования (зависящего от ширины балки) и кон т а к та ( з а в и с ящ е г о от ши рин ы р е й те ра) [3] . В э том случае все точки нижней поверхности сляба , н а хо д ящ и е с я от оси балки на расстоянии y < A + b , какую-то часть времени будут открыты, какую-то часть – находи тьс я в к он та к те с ре й тером, а к а к у ю -то часть времени будут экранироваться балками. Соответству ю ща я с хе м а д ля п олуш и ри н ы б а л к и b = 70 мм и полуширины рейтера r = 25 мм представлена на рис. 3.

Фаза изгиба

Рис. 3. Схема изогнутой балки с рейтером

Fig. 3. Schematic of a bent beam with a rider

Для ра с ч е тов п о с хе м е , и з об раже н н ой н а ри с . 3, нужна более общая формула, чем (1).

Р ас с мотри м п о лосу, огран и че н н у ю с и н у с ои д а ми y = A sin x + b 1 и y = A sin x + b 2 (для определенности примем, что b 2 >  b 1 ). В этом случае для точки на нижней поверх н ос ти с ляб а , н а х од ящейся на расстоянии y о т ос и балки, доля времени контакта с этой полосой може т быть оп и са на ф о р м ул о й, пр едст авля ющей эту вел и ч ин у функцией о дно г о ар г ум ент а y и трех параметров A , b 1 , b 2 :

(            0,y>A + b2;

П(у,А,Ь₁,Ь₂) = ■

I — Пarcsin (j~^, A + b1 < у < A + b2;

П [arcsin ( -j¹ ) — arcsin (^j^)], у < A + b₁.

Результаты и обсуждение

У добст во это й ф ункции с вязано с тем, что она может быть применен а к л ю бо й синусоид аль но й п о л осе , присут с т вующей н а р ис . 3. Так, например, доля времени контакта с рейтером э л ем ен т а ни ж ней по ве р хно с т и сл яба м ожет быт ь о п иса на ф ункц ией η 1 = η ( y , A , – r , r ). Графичес ки эт а з ави сим ост ь п р е дставлен а з елено й кр ивой на рис. 4. Доля времени экранирования элемента ни ж ней по ве р х ност и с ляба частью балки, ближней к ее оси, описы в ается ф ункцие й η 2 = η ( y , A , – b , – r ) , а д аль н е й от ос и ча с ть ю ба лк и – функцией η 3 = η ( y , A , r , b ). Эти зависимости представлены на рис. 4а с и н е й и к р а с н ой к ри в ым и соответственно. Поскольку для сляба экранир овани е люб ой ча с т ью ба лк и ра в н оце н н о, н а ри с. 4b области экранирования объединены, т. е. отображены кривые η 1 и ( η 2 + η 3 ). Если найти сумму кривых, изображенных на рис. 4b, то это будет голубая кривая на рис. 2 .

ф s ф о. со ос

----Рейтер

----1э

---2э

Расстояние от оси балки, мм

о

ф 5 ф о. со

о;

го го

о:

со га го со

0J

----Рейтер

-----1 ст+2 ст

Расстояние от оси балки, мм

b)

Рис. 4. Зависимость доли времени контакта с рейтером и экранирования балкой точки на нижней поверхности сляба от ее поперечной координаты (при b = 140 мм; r = 50 мм; A = 200 мм): a – при раздельном расчете для областей экранирования; b – при объединении областей экранирования в единую область

Fig. 4. Dependence of the contact time fraction with the rider and the shielding fraction by the beam for a point on the bottom surface of the slab on its transverse coordinate ( b = 140 mm, r = 50 mm, A = 200 mm): a – in separate calculations for the shielding areas; b – upon combining the shielding areas into a single area

Выводы

При создании математической модели нагрева слябов в печи с шагающими балками необходимость учета теплового воздействия балок приводит к разбиению нижней поверхности сляба на участки с различными граничными условиями, однако в случае искривления балок граничные условия можно считать однородными только в пределах всегда открытых участков. В пределах областей контакта с балками доля времени этого контакта существенно зависит от поперечной координаты, поэтому для сохранения точности модели для этих областей необходимо вычисление либо локальных значений параметров граничных условий, либо достаточно детализированное разбиение этих областей на участки с осредненными по ним значениями этих параметров.