Вычисление геодезической высоты по прямоугольным пространственным координатам точек земной поверхности

Автор: Медведев Павел Александрович, Кенжегузинова Марьям Маратовна

Журнал: Вестник Омского государственного аграрного университета @vestnik-omgau

Рубрика: Науки о земле

Статья в выпуске: 3 (23), 2016 года.

Бесплатный доступ

Отмечается актуальность задачи независимого вычисления геодезической высоты Н по пространственным прямоугольным координатам X, Y, Z. Указываются достоинства и недостатки используемых формул для вычисления высоты. Приводится вывод высокоточного алгоритма для прямого вычисления геодезической высоты точек земной поверхности. Выполняется анализ по точности этого алгоритма путем исследования на экстремум полученных выражений для оценки погрешностей. Для предварительного вычисления точности высоты и выбора вычислительной техники полеченные зависимости, выраженные через исходные данные.

Прямоугольные координаты, геодезическая высота, точность алгоритмов, по-грешность, исходные данные

Короткий адрес: https://sciup.org/142199224

IDR: 142199224

Текст научной статьи Вычисление геодезической высоты по прямоугольным пространственным координатам точек земной поверхности

Задача вычисления геодезической высоты Н определяемой точки Р по пространственным прямоугольным координатам X, Y, Z, измеренным с помощью спутниковых приемников, имеет широкие приложения.

При решении главных геодезических задач в пространстве кроме геодезической высоты Н находят геодезическую широту В и геодезическую долготу L (рисунок) методом преобразований системы уравнений [1]:

X = ( N + H ) cos B cos L ;

< Y = ( N + H ) cos B sin L ;                 (1)

Z = [ N ( 1 - e 2 ) + H ]• sin B ;

N =

a

V1 - e 2 sin2 B

где N – радиус кривизны первого вертикала; е – первый эксцентриситет; a – большая полуось.

С помощью алгоритма высоты в работе [2] предлагается осуществить спутниковое нивелирование способом вычисления превышения Δ H = H 2 ‒ H 1 одной точки над другой. Такое нивелирование целесообразно использовать при трассировании железнодорожных путей, нефтегазопроводов и других протяженных объектов.

Для вычисления высоты применяют преимущественно алгоритмы

H = R / cos B - N ;       Н = Z / sin B - N (1 - e 2);       R = ^X2 + Y2 ,        (2)

по которым, как установлено в статье [3], при малой погрешности широты ДВ высота определяется с большой погрешностью.

Более стабильные по точности результаты получаются по формуле

Н = R • cos В + Z • sin В - а^1- е2 • sin2B,                     (3)

погрешность которой оценивается по выражению [3]:

ДН = - 1 (а + ну ДВ2 .

Однако для применения формул (2), (3) требуется предварительно вычислить геодезическую высоту В, что ведет к нерациональному пути решения задачи.

Результаты исследований

Чтобы получить алгоритм для прямого вычисления геодезической высоты Н по исходным координатам X, Y, Z, нужно в формуле (3) исключить функции широты В, как это выполнено в [4]. Только в качестве начального приближения возьмем более точную величину [5, с. 59]:

tg B о = Zc / R;    а0 = ^R2 + Z2 / (1 - е2) ; c = 1 + ае2 /( а 0 ( 1 - е2 )) ,         (5)

где ао - большая полуось вспомогательного эллипсоида, проходящего через точку Р (X, Y, Z) и имеющего одинаковый эксцентриситет с исходным эллипсоидом.

Погрешность формулы (3), вызванная неточной величиной широты В 0 определяется по формуле (4). По начальному приближению (5) искомая широта В находится с погрешностью [5, c. 20]:

ДВ =

ае4Н

+ Н)2

si'nB0cos3B0.

Подставляя (6) в (4), получим выражение для вычисления погрешности формулы (3) с начальным приближением (5):

ДН = -

а2е8Н2

2(-+Н)3•(sinBocos3вo)2■

В выражении (7) содержатся две функции Y1 = sinB • cos3B и v     а2н2

Y 2 = ,,,■„< , которые

исследуем на экстремум.

Производная первой функции разлагается на множители Y{ = cos2B • (cos2B — 3sin2B).

Приравнивая эти множители к нулю, устанавливаем, что для функции Y 1 принимает наибольшее значение max Y 1 = 3^3/16 ~ 0,3248 на широте B = 30°.

Аналогично находим критические точки второй функции: Н = 0 и Н = 2a. Но при Н = 0 Y 2 = 0, а при Н = 2a Y 2 = 4a / 27.

Поэтому наибольшее значение погрешности (7) будет при Н = 2a и B = 30° и составит |ДH| = ae8/128 = 0,1 мм.

Однако для точек земной поверхности при |ДH| <10 ее погрешность не превосходит |ДH| < 0,0000016 мм = 1,6 • 10-6мм, что обеспечивает практически точный результат вычисления высоты.

Выведем теперь эту формулу для прямого вычисления высоты Н по исходным прямоугольным координатам X, Y, Z. Для этого с помощью выражения (5) tgB 0 = Zc / R по тождествам cosB 0 = 1/71 + tg2B0 и sinB 0 = tgB0^cosB0 определяем приближенные значения функции cosB и sinB , содержащиеся в уравнении (3).

Для удобства преобразований введем вспомогательные величины

D = 7R2 + (cZ)2;       R1 = R/D;       Z1 = Z/D.              (8)

Тогда

cosB0 = 1/71 + Z2c2/R2 = R/7R2 +Z2c2 = R/D = R1;

Zc

sinB0 = — = cZ1; ^1 — e2sin2B0 = 71- e2(cZ1)2

и формула (3) примет вид:

H = D(R2 + cZ12) — a71 —e2(cZ1)2 .                       (9)

Для предварительного вычисления точности и выбора вычислительной техники погрешность (7) формулы (9) выразим через исходные данные, полагая приближенно:

a + H = a0; a/(a + H) = a/a0;

H/(a + H) = a 0 — 1;

sinB = Z/a0 ;      cosB = R/a0.

С этими обозначениями получаем:

ДH = — уй'

O- (ОНШ-®-

Закл ючение

Итак, по результатам исследований предлагается следующий алгоритм для вычисления геодезической высоты по пространственным прямоугольным координатам.

  • 1)    R = 7^2 + Y2;

  • 2)    a0=R71 + (Z/R)2/(1 — e2) ;

  • 3)    c = 1 + ae2/(a0(1 — e2));

  • 4)    D = R71 + (CZ/R)2;

  • 5)    R1 = R / D; Z1 = Z / D;

  • 6)    H = D(Rf + CZ-2) — a71 — e2(CZ1)2.

Для вычисления постоянных величин целесообразно использовать зависимости:

1 —e2 = ((/—1)//)2 ;       e2 = (2/ — 1)//2, где f - знаменатель сжатия a = 1 на эллипсоиде Красовского: f = 298,3; a = 6378245 м.

В геодезической системе координат 2011 г.: f = 298,2564151; а = 6378136,5 м.

Список литературы Вычисление геодезической высоты по прямоугольным пространственным координатам точек земной поверхности

  • Морозов В.П. Курс сфероидической геодезии. М.: Недра, 1979. 296 с.
  • Баландин В.Н., Брынь М.Я., Имшенецкий С.П., Матвеев А.Ю., Юськевич А.В. Алгоритм вычисления геодезической высоты по пространственным прямоугольным координатам//Геодезия и картография. 2006. № 6. С. 15-16.
  • Медведев П.А. Исследование рекуррентных формул для вычисления широты при переходе от пространственных прямоугольных координат к геодезическим//Геодезия и картография. 1994. № 6. С. 8-14.
  • Медведев П.А. Анализ преобразований пространственных координат точек земной поверхности//Геодезия и картография. 2014. № 4. С. 2-8.
  • Медведев П.А. Анализ преобразований пространственных прямоугольных координат в геодезические. Омск: Изд-во ОмГАУ, 2000. 104 с.
Статья научная