Вычисление многомерных интегралов по криволинейным областям с гладкими границами
Автор: Шойнжуров Ц.Б., Санеева Л.И., Павлова Е.Б.
Журнал: Вестник Восточно-Сибирского государственного университета технологий и управления @vestnik-esstu
Рубрика: Естественные науки
Статья в выпуске: 2 (25), 2009 года.
Бесплатный доступ
В этой работе исследуются кубатурные формулы, содержащие значения функции с коэффициентами, зависящими от уравнения гладкой границы только в пограничном слое. Для решения данной проблемы был использован функционально-аналитический подход.
Кубатурные формулы, границы области, пограничный слой
Короткий адрес: https://sciup.org/142142089
IDR: 142142089
Текст научной статьи Вычисление многомерных интегралов по криволинейным областям с гладкими границами
В данной работе построены кубатурные формулы с пограничным слоем на решетке с коэффициентами, зависящими от уравнения границы области только в пограничном слое.
Пусть j f (xdx - многомерный интеграл, у = ( y1, у2 ) и A'h^ - куб, сдвинутый на век-п тор hp и Ahe - криволинейный параллелограмм, Q - ограниченная область с гладкой границей Г =r(Q) на плоскости, начало координат (0,0) cQ, все пространство E2 и область Q де-k лятся на k частей, Q = U®., уравнение границы имеет вид x2 = Л(Х1) .
j = 1
Для разбиения единицы используем следующие многочлены [1]
Пусть ф ( 1 ) ( t ) =
' tm (1 -t) m, t g( 0,1), _ 0, t ^( 0,1), t1
^ (t) = j^ (tdT j^ (t)dT и ^(t) = ^ (2 + 21)• ^ (2-21).
Тогда ^ ( t ) G C ” , supp ^ ( t ) = [ - 1,1 ] ,
ф ( t ) = 1 при t < 1 и ^ ( t ) = Chm , C > 0, при | t | < Lh , L > 0. Разложение единицы в E n имеет следующий вид:
n _да_
n Z Ax - 3 A i=1 в^=-да l е 2
= 1, где е > 0.
Слагаемые, носители которых пересекаются с ® j , в сумме сгруппируем в отдельные функции ф . ( x ) , j = 1, 2, к , к . Если слагаемое попадает в несколько группировок, то относим его в какую-нибудь из них.
k
Пусть S j = SUpp Ф j ( x ) , to j cQ j и Q i= j = 1
k
Z Sj• j=1
Для каждой функции Ф j ( x ) , j = 1, 2, к , к построим свой функционал р ( x ) так, чтобы функционал l Q ( x ) с пограничным слоем получился по следующей формуле k
l Q ( x ) = Е ф ( x p j ( x ) .
j = 1
Рассмотрим построение кубатурной формулы на примере вычисления двойного интеграла
N
JJ f (x1,x2 ) = Z Ckf (xk), где Q {
Q к = 1
1, x 2 e E 2}.
Для построения кубатурных формул используется следующее разложение единицы: 1 = V 0 ( x ) + V 1 ( x ) , V x e E 1 = ( - да , + да ), где v 0 ( x ) = 1 - V 1 ( x ) V 1 ( x ) = v ( x ) и
V( x) = <
0, x < 0;
^2 m + 1 ) k ( 1 - 1 ) mdt , 0 < x < 1;
(m!)2 i
1, x > 1.
При m = 2 функция v ( x ) принимает вид:
I
v ( x ) = < 10 x 3 - 15 x 4 + 6 x 5,
1 = V 0
Графики ' x - 0,25'
I 1, функций v о ( x ) и V 1 ( x )
< x - 0.25 )
x < 0;
0 < x < 1
x > 1.
показаны на рисунке
1, где
0,5
+ Vil------
1 1 0.5
.
Построим разбиение области Q (рис.2) на : to 1 , а 2, to 3, ю 4. Рассмотрим финитные функции Ф 1 ( x ) , Ф 2 ( x ) , Ф 3 ( x ) , Ф 4 ( x ) , соответствующие разбиениям to 1 , ю 2, (У 3, to 4, и функцию 4
v(x), где x = (x1, x2) и Zфj = 1.
.j = 1
С помощью функции у ( x ) , полученной из формулы (1), при различных m получаем
Разложение единицы
нужное разбиение единицы:
Ф i ( x 1 , x 2 ) = у
( x
V
е
a А
,
( x
Ф 2 ( x 1 , x 2 ) = у -1- 1 [ 1 — Ф з ( x 1 , x 2 ) — Ф 1 ( x 1 , x 2 )],
V е
Ф з ( x , , x 2) = у
(— x 2
—
a А
V е 7
,
[ 1 -Ф з ( x i , x 2 ) — Ф 1 ( x i , x 2 ) ], (5)
Ф 4( x 1 , x 2 ) = 1 — у -1
L V е где a - начало полосы, е - ширина полосы между областями.
Для области ю1 построим кубатурные формулы.
При замене переменных J У 2 x 2
—
М x 1 ) , криволинейные параллелограммы I переходят
l У 1 = x 1
в прямоугольники II (рис.3). Так как производим линейные преобразования, то финитная функция переходит снова в финитную функцию, решетка лежит в вершинах криволинейных параллелограммов.
ю 1 , ® 2, <У 3, ® 4
Элементарный функционал погрешности для куба II имеет следующий вид:
Е Cy5(У1 — Y1 )Е CY 2 5( У 2 — Y 2),
m
m
Y 1 = 0
Y 2 = 0
где коэффициенты C Y и C Y определяются из систем
m
Е C y Y =--- -, a 0,1 = к , m , j 1,2 =
j a +1
Y j
В прямоугольнике II (рис.3) узлы на решетке заменяем узлами, лежащими на криволинейной решетке, сдвинутыми на дробную часть ^ ( h y ) = < ^( h Y 1 ) I Выполненные преобразования l h
проводились для определения коэффициентов Ks .
Построена вспомогательная формула для куба II с узлами в точках с крестиками.
Ф 1 (У) A (У ) =
Xi
-Ф1 (У) е< (У) —Е5(У1 — hY1 )ЕKY2 (Y1)5(У2 — hY2 + hn(hY1 ))h2 ,
Y 1
Y 2 = 0
Рис. 3 Замена: < y 2 x 2 ^ ( X i ) , y i = x i
где
A he
.
min ( m , y 2 ) min ( m , y 2 - s )
Z K s ( Y i ) Z C r i, если 0 < Y 2 < m ,
K Y 2 ( Y 1 )=<
Теперь
= У 2 + 4У ) , x i = У
s = 0
m
Y i = 0
min ( m , y 2 - s )
Z Ks (/1) z
s = 0
Y i = 0
C Y , если 0 < у 2 < 2 m ,
1,
делаем
если у 2 > 2 m.
обратную
(9) замену
,
и криволинейный параллелограмм
переходит в куб A h p .
В формуле (5) переходим к переменным x :
ф1 (x) Pi (x ) =
to
= Ф 1 ( x ) M x ) - Z 5 ( x i - h P i ) Z К в 2 ( P i ) 5 x 2 - в
P i
в 2 = 0
-
Я ( h P i ) h
h
По формуле (10) вычисляется площадь параллелограмма с узлами, лежащими на решетке, а коэффи-
циенты зависят от уравнения границы. Это следует из построения вспомогательной кубатур-ной формулы в переменных у. Построена кубатурная формула для области ® 1. Для остальных областей основные формулы строятся аналогично.
В таблицах 1-4 показаны результаты вычисления интеграла с помощью формулы (10). Из таблиц видно, что при уменьшении шага h результаты улучшаются при различных параметрах m .
Зависимость погрешностей от параметра m для разных h a) h = 0.01, b ) h = 0.001, c ) h = 0.0001 b)
( x 2 + x 2 ) 2 4
Результаты вычисления интеграла I e dx 1 dx 2 , где □ область x T + x 2 < i .
n
.
|
m |
h |
а |
£ |
результат |
погрешность |
|
2 |
0,01 |
0,5 |
0,1 |
6,441 |
0,015 |
|
2 |
0,001 |
0,5 |
0,1 |
6,4545 |
0,0008 |
|
2 |
0,0001 |
0,5 |
0,1 |
6,45527 |
0,00005 |
|
3 |
0,01 |
0,5 |
0,1 |
6,441 |
0,015 |
|
3 |
0,001 |
0,5 |
0,1 |
6,4545 |
0,0009 |
|
3 |
0,0001 |
0,5 |
0,1 |
6,45527 |
0,00005 |
|
4 |
0,01 |
0,5 |
0,1 |
6,441 |
0,015 |
|
4 |
0,001 |
0,5 |
0,1 |
6,4545 |
0,0008 |
|
4 |
0,0001 |
0,5 |
0,1 |
6,45527 |
0,00005 |
|
5 |
0,01 |
0,5 |
0,1 |
6,441 |
0,015 |
|
5 |
0,001 . |
0,5 |
0,1 |
6,4545 |
0,0009 |
|
5 |
0,0001 |
0,5 |
0,1 |
6,45527 |
0,00005 |
|
10 |
0,01 |
0,5 |
0,1 |
6,441 |
0,014 |
|
10 |
0,001 |
0,5 |
0,1 |
6,4545 |
0,0009 |
|
10 |
0,0001 |
0,5 |
0,1 |
6,45527 |
0,00005 |
Точный результат – 6,45531727527116
Результаты вычисления интеграла J ( x 1 + x 2 dxxd dx 2 ), где Q область x 12 + x 4 < 1
n
Таблица 2
|
m |
h |
а |
£ |
результат |
погрешность |
|
2 |
0,01 |
0,5 |
0,1 |
1,952 |
0,005 |
|
2 |
0,001 |
0,5 |
0,1 |
1,9571 |
0,0003 |
|
2 |
0,0001 |
0,5 |
0,1 |
1,957376 |
0,000017 |
|
3 |
0,01 |
0,5 |
0,1 |
1,952 |
0,005 |
|
3 |
0,001 |
0,5 |
0,1 |
1,9571 |
0,0003 |
|
3 |
0,0001 |
0,5 |
0,1 |
1,957376 |
0,000017 |
|
4 |
0,01 |
0,5 |
0,1 |
1,952 |
0,005 |
|
4 |
0,001 |
0,5 |
0,1 |
1,9571 |
0,0003 |
|
4 |
0,0001 |
0,5 |
0,1 |
1,957376 |
0,000017 |
|
5 |
0,01 |
0,5 |
0,1 |
1,952 |
0,005 |
|
5 |
0,001 . |
0,5 |
0,1 |
1,9571 |
0,0003 |
|
5 |
0,0001 |
0,5 |
0,1 |
1,957376 |
0,000017 |
|
10 |
0,01 |
0,5 |
0,1 |
1,952 |
0,005 |
|
10 |
0,001 |
0,5 |
0,1 |
1,9571 |
0,0003 |
|
10 |
0,0001 |
0,5 |
0,1 |
1,957376 |
0,000017 |
Точный результат – 1,9573939495758
Результаты вычисления интеграла J e ( x 1 + x 2 ) dx 1 dx 2 , где □ круг x 12 + x 22 < 1 n
|
m |
h |
а |
£ |
результат |
погрешность |
|
2 |
0,1 |
0,5 |
0,1 |
5.53 |
-0.13 |
|
2 |
0,01 |
0,5 |
0,1 |
5.3995 |
-0.0013 |
|
2 |
0,001 |
0,5 |
0,1 |
5.39803 |
0.00011 |
|
2 |
0,0001 |
0,5 |
0,1 |
5.398139 |
0.000002 |
|
3 |
0,1 |
0,5 |
0,1 |
5.54 |
-0.14 |
|
3 |
0,01 |
0,5 |
0,1 |
5.3995 |
-0.0014 |
|
3 |
0,001 |
0,5 |
0,1 |
5.39803 |
0.00011 |
|
3 |
0,0001 |
0,5 |
0,1 |
5.398136 |
0.000006 |
|
4 |
0,1 |
0,5 |
0,1 |
5.58 |
-0.18 |
|
4 |
0,01 |
0,5 |
0,1 |
5.3995 |
-0.0013 |
|
4 |
0,001 |
0,5 |
0,1 |
5.39804 |
0.00011 |
|
4 |
0,0001 |
0,5 |
0,1 |
5.398136 |
0.000006 |
|
5 |
0,1 |
0,5 |
0,1 |
5.6 |
-0.2 |
|
5 |
0,001 |
0,5 |
0,1 |
5.39804 |
0.00011 |
|
5 |
0,0001 |
0,5 |
0,1 |
5.398136 |
0.000006 |
|
10 |
0,01 |
0,5 |
0,1 |
5.3962 |
0.0019 |
|
10 |
0,001 |
0,5 |
0,1 |
5.39804 |
0.00011 |
|
10 |
0,0001 |
0,5 |
0,1 |
5.398135 |
0.000006 |
|
Точный результат - п ( e - 1 ) « 5,39814156908377 f ( x2 + x 2 V] 1 2 Результаты вычисления интеграла 1 e ux 1u x 2 , где □ эллипс x L + x 2 < 1 a 4 2 |
|||||
Таблица 4
|
m |
h |
а |
£ |
результат |
погрешность |
|
2 |
0,01 |
0,5 |
0,1 |
37.487 |
0.005 |
|
2 |
0,001 |
0,5 |
0,1 |
37.4914 |
0.0014 |
|
2 |
0,0001 |
0,5 |
0,1 |
37.49284 |
0.00005 |
|
3 |
0,01 |
0,5 |
0,1 |
37.488 |
0.005 |
|
3 |
0,001 |
0,5 |
0,1 |
37.4914 |
0.0014 |
|
3 |
0,0001 |
0,5 |
0,1 |
37.49283 |
0.00006 |
|
4 |
0,01 |
0,5 |
0,1 |
37.487 |
0.006 |
|
4 |
0,001 |
0,5 |
0,1 |
37.4914 |
0.0014 |
|
4 |
0,0001 |
0,5 |
0,1 |
37.49284 |
0.00005 |
|
5 |
0,01 |
0,5 |
0,1 |
37.487 |
0.006 |
|
5 |
0,001 . |
0,5 |
0,1 |
37.4914 |
0.0014 |
|
5 |
0,0001 |
0,5 |
0,1 |
37.49284 |
0.00005 |
|
10 |
0,01 |
0,5 |
0,1 |
37.4916 |
0.0013 |
|
10 |
0,001 |
0,5 |
0,1 |
37.4914 |
0.0014 |
|
10 |
0,0001 |
0,5 |
0,1 |
37.49284 |
0.00005 |
Точный результат – 37,492890939765296285
