Вычисление нормы функционала погрешности интерполяционных операторов в многомерном пространстве

Основной задачей интерполирования является построение многочлена m-й степени, совпадающего с заданной функцией в заданных узлах кубической решетки.

Рассмотрим интерполяционный многочлен Лагранжа с узлами на решетке

m

^P m ( x ) = E to ⁽ x ) ^{f (}у ) ,                                         ⁽¹⁾

у =0

^{( - 1)} m “ © ⁽ x )

где toy(x) = —,------\ и to(x) = x(x -1)-..(x - m)• a!(m - a)!(x - у)

Интерполяционная формула имеет вид f (x) = Pm (x)

Погрешность формулы определяется равенством f (x)-Pm (x) = ^m(x), f1 m‘"fc) 0 < 5 < m(3)

( m + 1 )!

По определению 5 - функции имеем f (x)=J5(y-x)f (y)dy и f (T)=J5(y -у)f(y)dy

E1

На языке обобщенных функций погрешность формулы (3) записывается следующим образом:

m

< l , f >=

^{f ( x )-} P m ^{( x} ) = J ^{5 (} y ^{- x )-} £ ® у ^{( x 5 (} y ^- Y ) ^{f (} y ) dy у = 0

Выражение l ( x ) в интеграле (4), называется функционалом погрешности формулы (3)

m

1 (x) = 5(y -x)-Еюу(x5(у - Y)

у =0

В дальнейшем в своих исследованиях применим аппарат функционального анализа.

Проинтегрируем функцию f ( x ) :

1                1                  m1

J ^{f ( x} ) d^x = J P m ^{( x} ) ^dx = ^ J to y ^{( x} ) ^{dxf (} y ) = ^ С у ^{f (} y )

0               0                у = 0 0

Далее определим интерполяционную квадратурную формулу равенством:

¹                 m 1                        m

J f (x)dx = 2 J toy (x)f (y de = 2 cy f (y),

0                У =0 о                         y =0

где C _y = J to _y ( x ) dx .

Функционал погрешности квадратурной формулы (6):

< 1(0,1)( x ) f (x )>=J

m

⁸ ( 0,1 ) ^{( x ) -} 2 ^C A ^{x -} y ) у =0

f ( x ) dx .

5—ф(x)

D ф ( x ) = ——' - частная производная порядка | a |, ( d x ) ^a

5 ( x ) = 5 ( x 1 ) 5 ( x ₂ ). .. 5 ( x n ) - 5 - функция Дирака,

У ^е B 0 .

Рассмотрим интерполяционный оператор J _{m 0}, обладающий следующими свойствами:

• ^{а)    J} m ,0 Ф ^{( x} ) = 2 ^to 0, y i ^{( x ф} Н

Хе B 0

• б)    | ю ₀ y ( x ) <  M , M >  0 и не зависит от у ¹.

• в)    j m ,0 x - = 8 а ( x ) x ; - x a² .x a -

• Функционал погрешности интерполяционного оператора Jm 0 определим равенством:

< 1 (x,у)ф(у)>= ф(x)- 2 ю0,у|(x)ф(у')-

У | е B 0

Примеры приведены в работе Ц.Б. Шойнжурова [1]

Многочлен Лагранжа. Пусть E 1 = (-да;да), Г = {y е Е 1,y = 0,±1,±2,...} одномерная решетка в Е1, to(х) = х (х -1)(х - 2)...(х - m) и mm

JmФ( x )=Е toy (x )Ф(У )=Е

y =0                     у =0

(- 1) m - yto((x )) у!(m - у)!(x - у)

Ф(У)

интерполяционный многочлен Лагранжа.

Пусть п = 2. Интерполируя функцию ф ( x 1 , x ₂ ) по каждому переменному по формуле

Лагранжа, получим:

m                          m I                  m

ф(x 1, x2 ) = 2 ЮУ! (x 1 )ф(У1, У 2 ) - 2 ЮУ! (x1 ) ф(У1, x2 ) - 2 toy2 (x2 )ф(У1, У2 )

у , =0                               у , =0            ^                   у ₂ =0

Из данного разложения следует двумерный многочлен Лагранжа степени 2m.

mm

ф ^{( x} 1 , ^x 2 ) = 22 ^Ю У Х ⁽ x 1 ^{) to} y 2 ⁽ x 2 ) ф ⁽ У 1 , У 2 )•

У 1 =0 У 2 =0

По индукции построим n- мерный аналог многочлена Лагранжа степени не выше nm:

nm

ф⁽ x 1 , x 2 ,..., x n ) = ПУ ^toY, ⁽ x Ш , Y 2 ,..- Y n )•

I =0 Yi =0

Многочлен Ньютона. Теперь построим многочлен m-й степени от n переменных.

Пусть      Е ф ( x ) = ф ( x - 1 ),          x [ ^Y - ^{1 ]} - x ( x - 1 )( x - 2 ). .. ( x - ( y - 1 )),           у - 0,1,2,..., m ,

_Y[-1] -i-_Y[o] - _Y x - 1; x - x ,

А ф ( x ) - ф ( x ) - ф ( x - 1 ), А- знак конечной разности первого порядка, А ^п ф ( x ) - ( 1 - E ) ⁿ ф ( x ),

А ^п ф ( x ) - ф ( x ) - п ф ( x - 1 ) + ... + ( - 1 ) ^п ф ( x - n ), и P_m ( x ) - У x ^{[ y 1 ]} —ф( у ) - интерполяционный y -o          y !

многочлен Ньютона.

Пусть в - ( P 1 , в ₂,..., P _n ) - целочисленный вектор n- мерного пространства E_n и

M - mn. .

m ! n !

Рассмотрим Ньютоновскую систему узлов

Bn - {xk,к - 1,2,...,M}- {вк - (в1к,в',...,Pn),k - 1,2,...,M}, где целые числа pik) удовлетворяют следующим неравенствам: 0 < eik) < т и У Pik) - т.

i -1

Пусть n=2. Построим многочлен на плоскости с Ньютоновской системой узлов m Г л Л!               ™ г л Л! Г ,      , т-!' г л ЛУ 2

P m ^{( x} , У ^{) -} V ^{x ! -]} -Г ф ⁽ ! 1 , У ^{) -} У ^x [ ^Y' ^-] -Г ф ⁽ ! 1 , У ^{) -} V У ^{! 2-]}     ф ⁽ ! 1 , Y 2 ) .

Y 1 -0           Y 1^!                  Y 1 -0           Y 1^! L                 7 2 -0           Y 2^!                J

™ m - Y 1 _r л . л A ^y 1 A ^Y 2

Тогда ^P m ^{( x} , У ) ^- УУ ^{x [ Y 1} - ^] У ^{[ Y 2} - ^] ', 2, ф ⁽ ! 1 , Y 2 )•

Y 1 -0 Y 2 -0                    Y 1^! Y 2^!

По индукции получим многочлен Ньютона в n- мерном пространстве E_n .

^P m ⁽ x 1 , x 2 ,..., x n ^{) -} £V...... У П x i ^У - ^{1 ]} -у ф ⁽ У )’ где ^{A Y -A Y l, A Y} 2^2, ... ^{, A !} .

Y 1 -0 Y 2 -0           Yn -0 i -1             Y ^!

На основании (3.17) раб. [1, с. 327] имеем

m     m - У 1 - ... Y n - 1    n

P m ( x ) - У ...   У  П x [ ^! - ¹

Y 1 - 0         y , - 0       i - 1

Y 1 Y 2 Y n n f - 1У- > k j у I 1

УУ ... УП^- 1 )— j¹ k 1 - 0 к 2 - 0 к , - 0 у - 1 ^кз ^{! (}У , ^- k j ) Y !

—

^х ф ⁽ У 1 ^{- к} 1 , Y 2 ^{- к} 2 ,..., Y n ^{- к}п )

Таким образом, в явной форме построен интерполяционный многочлен m степени от n переменных с узлами в ньютоновской системе узлов при N= M.

Теорема. Если 1

n,

l ( x , y ) е W m и ф е W_p^m , то функционал погрешности l ( x , y ) имеет представление:

- J УD“£2m(У)*l(x,У)D“ф(У)dУ

En la < m и его норма равна:

||l (x, У Л Lm * - f У | D“ 8 2 m (У ) * l (x, У )| p dУ, p     En al < m где 82m (x)- фундаментальное решение m- метагармонического уравнения

(1 -A)m 82m(x)- A(x).

Аналогичная теорема доказана в работе [1] Ц.Б. Шойнжурова для пространства L^m_p . Повторяя и обобщая доказательство упомянутой теоремы, доказываем данную теорему.