Вычисление собственных частот и форм крутильных колебаний способом последовательных приближений

Автор: Юнусов С.З., Гапиров А.Д., Кенжаев С.Н., Туракулов М.Р., Турсунов Ш.Э.

Журнал: Теория и практика современной науки @modern-j

Статья в выпуске: 5 (95), 2023 года.

Бесплатный доступ

Для интенсификации технологических процессов рабочие органы машин должны оказывать на обрабатываемый материал инерционно-импульсное воздействия. В статье приведен расчет составного рабочего органа многомассовой системы способом последовательных приближений (способ остатков). Описывается выбор способа, где указывается возможность варьирование входных параметров. Приводиться анализ полученных результатов собственных частот многомассовой системы, а также полученные данные сравнены с экспериментальными.

Многомассовой системы, электромагнитный свойства, динамическая модель

Короткий адрес: https://sciup.org/140299528

IDR: 140299528

Текст научной статьи Вычисление собственных частот и форм крутильных колебаний способом последовательных приближений

Совершенствование технологических процессов цеесообразным является вращение рабочих органов с переменной угловой скоростью, а также колебания дисков рабочего органа. Для интенсификации технологических процессов рабочие органы машин должны оказывать на обрабатываемый материал инерционно-импульсное воздействия. В процессе работы рабочего органа с упругим элементом в целом система нагружается периодической нагрузкой, что приводить к процессу колебания составляющих дисков. Это можно назвать вынужденными колебаниями, которые возникают вследствии действия на рабочий орган системы внешних переменных сил. Динамическая модель машинного агрегата с многомассовой системой обладающая упругими, инерционными, диссипативными и электромагнитными свойствами предложена на рис.1. [1].

Рис.1. Расчетная схема составного рабочего органа

Для определения собственных частот многомассовой системы использовали способ последовательных приближений (способ остатков). Способ основан на использовании цепной структуры системы (1).

сг (ср — ах) = — Jxр2ах с^ (а3 — а2 ) — сг (а2 — ах) = — J2р2а2 с3 (а4 — а3 ) — с2 (а3 — а2 ) = — J3р2 а3

с л (ci — а , ) — с С а , — ci - ) —— —J , о Ct , n —1 n n—1 n —2 n —1 n—2 n —1р n —1

^— ^C n — 1 ⁽ а ^— а — 1 ) = ^— J n ^р ² a n

где, а 1 , а 2 , а 3 -угловые перемещения дисков; с 1 , с 2 , с 3 . с n-1 коэффициент жесткости упругих элементов, J 1 J 2 J 3 , …, J n-1 -моменты инерции дисков;

Принимая а 1 =1 и задаваясь ориентировочным значением частоты ρ², из первого уравнения системы (1) находим амплитуду а 2 , из второго уравнения-амплитуду а 3 , из третьего уравнения-амплитуду а 4 и из предпоследнего уравнения-амплитуду а n . Подставив вычисленные значение а n-1 и а n в уравнения (2) производим расчет [2].

— c ( a,, — a ) + J., р a = 0

n — 1 n n — 1 п n )

Левая часть уравнения характеризует меру неточности принятого значения ρ2 и одновременно ориентирует, в какую сторону нужно изменить расчетное значение ρ2 в следующем приближении. Далее производится повторный расчет при новом значении ρ2. Расчет повторяется до тех пор, пока не будет достигнут удовлетворительный результат в последнем уравнении.

Компактную табличную схему предложили Хольцер и Толе, основанную на соотношениях типа ci (ai+1 — ai ) = — J1р a1 — J2р a2 — ... — Jiр ai которые получаются из уравнения (1). Соотношение (3) выражает равенство крутящего момента в сечении i-го участка вала. Момент инерции одного диска. T mR2 0,13 ■ 0,062

J „ = =---------= 0,000234 кгМ

Д22

где, m-масса диска; R-радиус диска.

Задаваясь значением ρ² и принимая а 1 =1, находим из соотношения (3)

для i=1

a 2 =

JiP P c1

Далее из того же соотношения для i= 2

—

J p + J2 P 0-2

c ₂

Общая формула имеет вид k=i

Z Jk P2 0k ai+1 = - k=1---------+ ai ci

Процесс продолжается, таким образом, до n-1 –го уравнения. При правильном выборе значения частоты результат должен быть равен нулю, так как если сложить все уравнения типа (2), то должно получиться

1LJ J - P ² a . = 0 k = 1

Из-за произвольности принятого значения ρ2 нуль в результате не получится. Полученный остаток выражает неуравновешенный момент, который должен быть равен нулю при правильном выборе величины ρ2.

После нескольких расчетов при разных значениях ρ2 можно построить кривую зависимости остатка. Точки пересечения кривой с осью абсцисс соответствует истинным значением частот. Все эти расчеты реализованы с помощью компьютерной программы EXCEL.

Для приближенного определения двух низших частот образуем упрощенную систему, где первые четыре диска заменим одним общим. J 1 =J 2 =J 3 =J 4 =4∙J д =4∙0,000234=0,000936 кгм², n 1 +n 2 +n 3 +n 4 =4∙4=16 дисков. J 5 =J 6 =6∙J д =6∙0,000234=0,0014 кгм², n 5 +n 6 =6+6=12 дисков. J 7 =J 8 =8∙J д = =8∙0,000234=0,00187кгм², n 7 +n 8 =8+8=16 дисков.

Жесткость системы определяли следующим образом c = ^GJ ^Д Нм, где,

G=8·105Па –модуль упругости при кручении; l- длина участка вала [м].

Подставляя данные в таблицу, произвели расчет. Который, представлен на таблице-1. При различных значениях частоты. Расчет показывает, что при частоте ρ 1 ²=2000 c^-2. Полученный остаток имеет сравнительно небольшое значение №8, ΣJp²a=8,661721, который означает, что принятое значения ρ 1 ²=2000 c^-2 не слишком сильно отличается от истинного.

Для второго приближения принимаем значение ρ²=3000 c^-2 и вновь составляем таблицу, где значение №7, ΣJp²a=9,463957. Остаточный момент также не значителен. Пользуясь линейной интерполяцией, находим квадрат третей частоты ρ 3 ².

2 ρ 1² ∆ ( ρ 2² l ) - ρ 2² ∆ ( ρ 1² l )

³ ∆ ( ρ 2² l ) - ∆ ( ρ 1² l )

2000 ⋅ 9,46 - 3000 ⋅ 8,66

9,46 - 8,66

= 8825 c ^- ²

где, Δ ( ρ ² l ) -остаток 2-го приближения; - Δ ( ρ ² l ) -остаток 1-го приближения.

Таблица 1

№ диск а	J (кгм²)	Jp²(кгм² c^- 2₎	a (с^-2)	Jp²a (кгм²)	ΣJp²a	C (Нм)	ΣJp²a/c (с²)
Расчетная таблица 1-го приближения (при ρ²=2000 c^-2)
1	0,0009360 0	1,872	1	1,872	1,872	37,44	0,05
2	0,0009360 0	1,872	0,95	1,7784	3,6504	37,44	0,0975
3	0,0009360 0	1,872	0,8525	1,59588	5,24628	37,44	0,14012 5

4	0,0009360 0	1,872	0,712375	1,33356 6	6,57984 6	37,44	0,17574 4
5	0,0014040 0	2,808	0,536631	1,50686 1	8,08670 7	37,44	0,21599 1
6	0,0014040 0	2,808	0,32064	0,90035 8	8,98706 4	37,44	0,24003 9
7	0,0018720 0	3,744	0,080601	0,30177	9,28883 4	37,44	0,24809 9
8	0,0018720 0	3,744	-0,1675	- 0,62711	8,66172 1	37,44	0,23134 9
Расчетная таблица 2-го приближения (при ρ 2 ²=3000 c^-2)
1	0,0009360 0	2,808	1	2,808	2,808	37,44	0,075
2	0,0009360 0	2,808	0,925	2,5974	5,4054	37,44	0,14437 5
3	0,0009360 0	2,808	0,780625	2,19199 5	7,59739 5	37,44	0,20292 2
4	0,0009360 0	2,808	0,577703	1,62219	9,21958 5	37,44	0,24625
5	0,0014040 0	4,212	0,331454	1,39608 2	10,6156 7	37,44	0,28353 8
6	0,0014040 0	4,212	0,047915	0,20182	10,8174 9	37,44	0,28892 9
7	0,0018720 0	5,616	-0,24101	- 1,35353	9,46395 7	37,44	0,25277 7
8	0,0018720 0	5,616	-0,49379	- 2,77312	6,69083 3	37,44	0,17870 8

Расчетная таблица после интерполяцией приближений (при ρ 3 ²=8825 c^-2)
1	0,0009360 0	8,2602	1	8,2602	8,2602	37,44	0,22062 5
2	0,0009360 0	8,2602	0,779375	6,43779 3	14,6979 9	37,44	0,39257 5
3	0,0009360 0	8,2602	0,3868	3,19504 9	17,8930 4	37,44	0,47791 2
4	0,0009360 0	8,2602	-0,09111	-0,7526	17,1404 4	37,44	0,45781 1
5	0,0014040 0	12,3903	-0,54892	- 6,80132	10,3391 2	37,44	0,27615 2
6	0,0014040 0	12,3903	-0,82507	- 10,2229	0,11619 7	37,44	0,00310 4
7	0,0018720 0	16,5204	-0,82818	- 13,6818	- 13,5656	37,44	- 0,36233
8	0,0018720 0	16,5204	-0,46585	-7,696	- 21,2616	37,44	- 0,56789

После чего для приближения принимаем значение ρ 3 ²=8825 c^-2 и вновь составляем таблицу, где значение №6, ΣJp²a=0,116197. Это говорит о том, что вал рабочего органа с дисками имеет собственную частоту ρ 3 ²=8825 c^-2 или ρ 3 =94 Гц. Частота вращения, следовательно, будет равна ρ= n·z=300 · 32=9600 мин^-1 (n-частота вращения вала ускорителя, ·z-количество зуб на диске ускорителя), или 9600/60=320 Гц , т.е. с такой частотой диски воздействуют на сырцовый валик, осуществляя заданный технологический процесс. Как видно из расчетов крутильных колебаний собственная частота находиться далеко от рабочей частоты системы, поэтому основное воздействие на технологический процесс оказывает крутильные колебания вала рабочего органа.

Экспериментальные исследованные также подтвердили, что при частоте вращения рабочего органа 300 мин-1 (320 Гц) технологический процесс наиболее лучше.

Список литературы Вычисление собственных частот и форм крутильных колебаний способом последовательных приближений

А.Джураев. "Динамика рабочих механизмов хлопкоперерабатывающих машин", Ташкент, "Фан", 1987г, 166 с.
Я.Г.Пановка "Основы прикладной теории колебаний и удара", М-1976 г. 234 с.

Статья научная