Вычисление точных интегралов

Если функция с точным целым числом является допустимой функцией, то тогда можно использовать равенство

a

J f ( x ) dx = 0,   f ( - x ) = - f ( x ), (1).

— a

Задача 1.

j x ² ln( x + л/ х²

+ 1) dx Вычислить точный интеграл.

- 1

Решение. Мы считаем, что функция по этому интегралу является уникальной особенностью.

f ( - x ) = ( - x )² ln( - x + ^ ( - x )² + 1) = x ² In

(л/ x + 1 - x )(л/ x + 1 + x )

,        л/x +1 + x        ;

2   (

= x In

к

y2+1-y2 ^

^x I -1- x

4x2 +1 + x J

= x ^ln

к

4 x ² + 1 + x J

- x ² ln( x + 4 x ² + 1) = - f ( x )

Интегральное значение функции равно на

1                                 ________________ j x2 ln( x + 4x2 +1) dx = 0,.

- 1

Задача 2. Рассчитать интеграл

j x • ( x - 4) • ( x - 8).. .• ( x - 2008) • dx

Решение. Чтобы вычислить точный интеграл, мы сделаем следующее определение и приведем его к функции вышеуказанной (1) функции.

y = x - 1004

dx = dy

- 1004 <  y <  1004

j x • ( x - 4) • ( x - 8)... • ( x - 2008) • dy =

= f ( y + 1004) • ( y + 1000) •...• ( y + 4) • y • ( y - 4)•...• ( y - 1000) • ( y - 1004) • dy =

- 1004

= f ( y ² -1004²) • ( y ² -1000²)•...• ( y ² -4²) • y • dy = 0

- 1004

Интегральное значение равно нулю.

a             1

Задача 3. Рассчитать интеграл ---------- i =   ^dx ,  , равный здесь

- _а 1 + ^ ( x ) + ф + ^ ²( x )

^ ( - x ) = - ^ ( x )

Решение. Точный интеграл вычисляем по условиям, приведенным в расчете.

a

I--V—

-- a 1 + ф ( x ) + 1 + + ф ²( x )

0 dx = J

a ₁

o 1 - ф ( x ) + 1 + + ф ²( x )

- a

a

1                       ^a 1

------------.          dx + I------------.          dx =

1 + ф ( x ) + 1 + + ф ( x )      о 1 + ф ( x ) + 1 + + ф ( x )

I--------------.           dx = о 1 + ф(x) +1+ + ф (x)

a

= 1

a

Ч

1 + ^1 + ^ "( x ) ^_ ф ( x )  1 + 1 + + ф ( x ) + ф ( x )

1 + ^i+ ^( x ) + ф ( x ) + 1 + ^ 1 + ф ²( x ) - ф ( x )

dx =

a dx =j

a dx = j 1 dx = a.

Задача 4. Рассчитать интеграл

I.

- 1 + + x ³ + л/1 + x⁶

Решение. Здесь мы записываем второй интеграл в качестве первого участника x = -x и рассматриваем его следующим образом.

11                       011

I-----------. dx = I-----------. dx + I-----------,dx

- 1 + + x ³ + V1 + x⁶       - + + + x ³ + a/1 + x⁶      o 1 + x ³ + 1+ + x⁶

I-----------, dx + I-----------. dx = о 1 — x3 + 1+ + x6     о + + x3 + 1+ + x6

о <  1 — x ³ + ^1 + x⁶

1 + x ³ + 1 + + x⁶

dx =

= I

1 + x ³ + 1 + + x ⁶ + 1 — x ³ + 1 + + x⁶ ( 1 + J+ + x ⁶)² - x⁶

,  12 + 2d\ + x ,    1

dx = I-------,      dx = 1 1 dx = 1.

о 2 + 2v+ + x⁶      о

Как известно,

интеграл можно легко рассчитать с помощью

111 a

+    - -    +    - 1 уравнения.

1 + a 1 + a 1 + a 1 + a

Задача 5. Рассчитать интеграл

1        _dx

^J 1 ( e x + 1)(1 + x ²)

Решение. Используя приведенное выше

--+ ----— -1 определение, мы находим значение интеграла.

11                      01                      11

-----------т- dx - ------------ d-d + + ----------- d-dx ( ex + 1)(1 + x ²)        ( e - ^x + 1)(1 + x ²)       ( e^x + 1)(1 + x ²)

J0 1 ( e - x + 1)(1 + x ²)   ( e x + 1)(1 + x ²) J

e^x + 1

•

—v dx -1 + x ²

_ex        ₁

--1-- ex +1   ex +1

•

1            11

----7 dx - ---- 7 dx - arctgx 1 + x ^{2       J}₀1 + x²

n

- arctg 1 - arctg 0 - —.

Задача 6. Рассчитать интеграл dx ntgx

- 2019 ^{1 +} ^

Решение. Приведенный интеграл можно рассчитать следующим образом:

ⁿ tgx

- 2019 ^{1 +}

0                     20192019

dx -          dx + ntgx

-2019 1 +               00

1 + 2 -ⁿtgx

dx +         dx -

1 ₊ 2 ^{n g}

-I

1 + 2^ntg x   1 + 2 ^{-n gx}

dx -1

0 к

2 + 2 -n tgx _|_ ngxg*

2 + 2 ^- n tgx I n gx^

dx - I 1 dx - 2019

П

Задача 7. Рассчитать интеграл j ( cos²(cos x ) + sin²(sin x ) ) dx

Решение. При вычислении интеграла

п

I = j ( cos²(cos x ) + sin²(sin x ) ) dx мы

сделаем отметку как x = ^П - y ,

и тогда оно будет равно

к ^sin( ^{- - y} ) = cos ^y ,c°s( ^{- - y} ) = sin ^y .

п

п x =--y dx = - dy

- <  y <  0

п

J cos

0 v

2/ /^п             2/_ ^п     \

^(cos(- ^- y )) ^{+ sin (sin} - ^- y ) dy = 2                  2 У

J ( cos² (sin y ) + sin² (cos y ) dy = J ( 1 - sin² (sin y ) + 1 - cos

п        п

J 2 dy - J ( sin² (sin y ) + cos² (cos y ) dy

В данных интегралов

п

п

J ( cos (cos x ) + sin (sin x ) ) dx и J ( sin²(sin y ) + cos²(cos y ) dy

значение не

зависит от переменной поэтому их значения одинаковы,

точнее I . Из

п последнего равенства I = J 2dy - I, ^ 2I = п, ^ I = ~ • 02

приведенное

п интегральное значение равно .

ЛИТЕРАТУРЫ:

1. И.С. Григорьева. “Казанские студенческие олимпиады по математике”.

Казань-2011г.

• 2.    И.Ю. Попов. “Задачи повышенной трудности в курсе высшей математики”. Сант-Петербург-2008 г.

• 3.    Р.М. Федоров. “Московский математические олимпиады”. Москва 2006г

  "Экономика и социум" №2(57) 2019