Вычислительные алгоритмы для моделирования динамики развития флюидонаполненной трещины в пороупругой среде
Автор: Борисов В.Е., Иванов А.В., Критский Б.В., Савенков Е.Б.
Статья в выпуске: 2, 2021 года.
Бесплатный доступ
В работе представлен комплекс вычислительных алгоритмов для математического моделирования процесса развития трехмерной флюидонаполненной трещины в пороупругой среде. Модель содержит несколько групп уравнений, включая пороупругую модель Био для описания поведения вмещающей трещину среды, двумерные уравнения гидродинамики в приближении смазочного слоя, описывающие течение в трещине, соответствующие условия согласования на границе «трещина - среда». Геометрическая модель трещины предполагает, что она является произвольной гладкой поверхностью с краем. Рассматривается комплекс алгоритмов для решения частных задач - уравнений пороупругости, течения в трещине, эволюции срединной поверхности трещины, а также алгоритм решения полной задачи в связанной постановке. Центральным моментом предложенного комплекса алгоритмов является неявный способ представления поверхности, основанный на использовании оператора проекции ближайшей точки. Это представление поверхности используется при решении уравнений в объеме, на срединной поверхности трещины и для моделирования эволюции трещины. Для построения конечномерной задачи для решения уравнений Био предложен оригинальный вариант метода X-FEM. Для решения уравнений на поверхности используется предложенный авторами конечно-элементный вариант метода проекции ближайшей точки. В результате построенный алгоритм является полностью эйлеровым и использует для решения как частных, так и полной задачи единую заданную в пространстве расчетную сетку. В заключении приводятся результаты численных расчетов, демонстрирующих возможности разработанного комплекса алгоритмов. В частности, рассматривается задача о развитии трещины в среде с неоднородными фильтрационными, упругими и прочностными свойствами.
Пороупругая среда, флюидонаполненная трещина, Х-РЕМ, метод проекции ближайшей точки
Короткий адрес: https://sciup.org/146282050
IDR: 146282050 | УДК: 519.6 | DOI: 10.15593/perm.mech/2021.2.03
Numerical algorithms for simulation of a fluid-filed fracture evolution in a poroelastic medium
The paper deals with the computational framework for the numerical simulation of the three dimensional fluid-filled fracture evolution in a poroelastic medium. The model consists of several groups of equations including the Biot poroelastic model to describe a bulk medium behavior, Reynold’s lubrication equations to describe a flow inside fracture and corresponding bulk/fracture interface conditions. The geometric model of the fracture assumes that it is described as an arbitrary sufficiently smooth surface with a boundary. Main attention is paid to describing numerical algorithms for particular problems (poroelasticity, fracture fluid flow, fracture evolution) as well as an algorithm for the coupled problem solution. An implicit fracture mid-surface representation approach based on the closest point projection operator is a particular feature of the proposed algorithms. Such a representation is used to describe the fracture mid-surface in the poroelastic solver, Reynold’s lubrication equation solver and for simulation of fracture evolutions. The poroelastic solver is based on a special variant of X-FEM algorithms, which uses the closest point representation of the fracture. To solve Reynold’s lubrication equations, which model the fluid flow in fracture, a finite element version of the closet point projection method for PDEs surface is used. As a result, the algorithm for the coupled problem is purely Eulerian and uses the same finite element mesh to solve equations defined in the bulk and on the fracture mid-surface. Finally, we present results of the numerical simulations which demonstrate possibilities of the proposed numerical techniques, in particular, a problem in a media with a heterogeneous distribution of transport, elastic and toughness properties.
Список литературы Вычислительные алгоритмы для моделирования динамики развития флюидонаполненной трещины в пороупругой среде
- Савенков Е.Б., Борисов В.Е. Математическая модель развития трещины гидроразрыва пласта в трехмерной поро-упругой среде // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. -2018. - № 1. - С. 5-17.
- Rubin A.M. Propagation of magma-filled cracks // Annual Review of Earth and Planetary Sciences. - 1995. - Vol. 23 -P. 287-336.
- Bouklas N., Landis C.M., Huang R. Effect of solvent diffusion on crack-tip fields and driving force for fracture of hydrogels // Journal of Applied Mechanics. - 2015. - Vol. 82, 081007.
- Гидравлический разрыв карбонатных пластов / В.Г. Салимов [и др.]. - М.: Нефтяное хозяйство, 2013. - 471 c.
- Economides M.J., Oligney R.E., Valko P. Unified Fracture Design: Bridging the Gap Between Theory and Practice. - Alvin, Texas: Orsa Press, 2001. - 200 p.
- рыва пласта необходим учет неньютоновской реологии флюида внутри трещины. Помимо этого, существенный интерес представляют задачи развития трещине в среде с анизотропным распределением прочностных свойств.
- Simulating Fully 3D Hydraulic Fracturing. Modeling in Geomechanics / B.J. Carter [et al.]; Ed. Zaman, Booker and Gioda. - Wiley Publishers, 2000.
- Computer simulation of hydraulic fractures / J. Adachi [et al.] // Int. J. Rock Mech. - 2007. - Vol. 44 - P. 739-757.
- Gordeliy E., Peirce A. Coupling schemes for modeling hydraulic fracture propagation using the X-FEM // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. - 2013. - Vol. 253 - P. 305-322.
- Weber N. The X-FEM for Hydraulic Fracture Mechanics. PhD Thesis. - Rheinisch-Westf alischen Technischen Hochschule, Aachen, 2016. - 149 p.
- Gordeliy E., Peirce A. Implicit level set schemes for modeling hydraulic fractures using the X-FEM // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. - 2013. - Vol. 266 - P. 125-143.
- Peirce A.P., Detournay E. An implicit level set method for modeling hydraulically driven fractures // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2008. - Vol. 197 -P. 2858-2885.
- Peirce A.P. Modeling multi-scale processes in hydraulic fracture propagation using the implicit level set algorithm // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2015. -Vol. 283 - P. 881-908.
- Garagash D.I., Detournay E., The tip region of a fluid-driven fracture in an elastic medium // ASME J. Appl. Mech. -2000. - Vol. 67 - P. 183-192.
- Garagash D.I. Propagation of a plane-strain fluid-driven fracture with a fluid lag: early-time solution // Int. J. Solids Struct. -2006. -Vol. 43 - P. 5811-5835.
- Savenkov E.B., Borisov V.E., Kritskiy B.V. Surface Representation with Closest Point Projection in the X-FEM // Mathematical Models and Computer Simulations. - 2020. -Vol. 12, no. 1. - P. 36-52.
- Moes N., Gravouil A., Belytschko T. Non-planar 3D crack growth by the extended fiite element and level sets-Part I: Mechanical model // Int. J. Num. Meth. Eng. - 2002. - Vol. 53 -P. 2549-2568.
- Gravouil A., Moes N., Belytschko T. Non-planar 3D crack growth by the extended finite element and level sets-Part II: Level set update // Int. J. Num. Meth. Eng. - 2002. - Vol. 53 -P. 2569-2586.
- Belytschko T., Black T. Elastic crack growth in finite elements with minimal remeshing // Internat. J. Numer. Methods Engrg. - 1999. - Vol. 45 - P. 601-620.
- Иванов А.В., Савенков Е.Б. Моделирование и визуальное представление динамики поверхности с подвижным краем на стационарной неструктурированной сетке // Научная визуализация. - 2017. - Т. 9. - С. 64-81.
- Зипунова Е.В., Савенков Е.Б. Применение метода проекции ближайшей точки для решения уравнений гидродинамики в приближении смазочного слоя // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. - 2020. - № 10. - 32 с.
- Савенков Е.Б. Конечноэлементный вариант метода проекции ближайшей точки для решения уравнений на поверхностях с краем // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. -2020. - № 8. - 36 с.
- Zipunova E., Ivanov A., Savenkov E. Application of the closest point projection method to solution of Reynold's lubrication equations on evolving surfaces // Mathematica Montisnigri. -2020. - № 47. - P. 100-118.
- Программный комплекс HFrac3D++ для решения задач геомеханики с учетом крупномасштабных флюидонапол-ненных трещин / В.Е. Борисов [и др.] // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. - 2020. - № 46. - 20 с.
- Wang H.F. Theory of Linear Poroelasticity. - Princeton University Press, 2000.
- Coussy O. Poromechanics, 2nd edition. - John Wiley & Sons, 2004.
- Lewis R.W., Schrefler, B.A. The Finite Element Method in the Static and Dynamic Deformation and Consolidation in Porous Media, 2nd ed. - J. Wiley, 998.
- Rice J.R., Cleary M.P. Some basic stress diffusion solutions for fluid-saturated elastic porous media with compressible constituents // Reviews of Geophysics and Space Physics. -1976. -Vol. 14 - P. 227-241.
- Chipot M., Luskin M. The compressible Reynolds lubrication equations // IMA Preprint Series. - 1986. - No. 232.
- Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. -М.: Наука, 1974. - 640 с.
- Anderson T.L. Fracture mechanics: fundamentals and applications. - CRC Press, 2002.
- Kim J., Tchelepi H.A., Juanesc R. Stability and convergence of sequential methods for coupled flow and geomechanics: Drained and undrained splits // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2011. - Vol. 200, no. 23-24. -P. 2094-2116.
- Prévost J.H. Partitioned solution procedure for simultaneous integration of coupled-field problems // Commun. Numer. Methods. Eng. - 1997. - Vol. 13 - P. 239-247.
- Saad Y. Iterative Methods for Sparse Linear Systems. -SIAM, 2003.
- Marz T., Macdonald C.B. Calculus on surfaces with general closest point functions // SIAM J. Numer. Anal. - 2012. -Vol. 50, no. 6 - P. 3303-3328.
- Macdonald C.B., Ruuth S.J. The implicit Closest Point Method for the numerical solution of partial differential equations on surfaces // SIAM J. Sci. Comput. - 2009. - Vol. 31. - P. 4330-4350.
- Macdonald C.B., Brandman J., Ruuth S.J. Solving eigenvalue problems on curved surfaces using the Closest Point Method // J. Comput. Phys. - 2011. -Vol. 230 - P. 7944-7956.
- Macdonald C.B., Ruuth S.J. Level set equations on surfaces via the Closest Point Method // J. Sci. Comput. - 2008. -Vol. 35. - P. 219-240.
