Выделение информативных признаков на основе коэффициентов полиномов Цернике при различных патологиях роговицы человеческого глаза

Исследования связаны с областью дифференцированной диагностики оптических структур глаза на основе анализа аберраций высокого порядка фокусирующей системы. Данная работа, согласно стратегии научно-технологического развития Российской Федерации, относится к приоритетным направлениям, а именно к «Переходу к персонализированной медицине, высокотехнологичному здравоохранению и технологиям здоровьесбережения».

Известно, что большую часть информации человек получает с помощью глаз [1]. Качество жизни снижается с падением уровня зрения. Наука накопила огромный опыт в борьбе с глазными болезнями, который показал, что основной проблемой являются возрастные изменения в оптической системе глаза, которые можно оценить через волновые аберрации.

Анализ волнового фронта на основе разложения по базису Цернике [2] облегчает диагностику в клинической офтальмологии. Он позволяет создавать наиболее совершенные линзы, обеспечивающие самое высокое на сегодняшний день качество зрения.

Существующие клинические аберрометры обеспечивают достаточно точные измерения отклонения волнового фронта глаза [3 –6]. При этом измеряются аберрации высокого порядка, позволяющие оценить индивидуальные отклонения волнового фронта, в том числе связанные с профессиональной деятельностью или возрастными изменениями, с целью оптимизации оптической (контактными или внутриглазными линзами) или хирургической коррекции человеческого глаза.

Расширение методов зондирования волнового фронта привело к новому взгляду на значение рефракционных ошибок в клинической офтальмологии. Клинические аберрометры обеспечивают детальные измерения аберраций волнового фронта глаза. Распределение и вклад каждой аберрации высшего порядка к общей аберрации волнового фронта теперь может быть точно определён и предсказуем в индивидуальном порядке.

Измерение аберраций оптических структур глаза имеет важное значение и для хирургии. Возможность диагностирования аберраций оптических структур во время рутинного приёма позволит проводить правильную интерпретацию клинических данных и снизит количество ошибок в выборе тактики лечения [7].

В данной работе особое внимание уделяется именно передней и задней поверхностям роговицы, так как их аберрации поверхностей очень важны при формировании изображения оптической системой глаза [8]. Кроме того, коррекцию именно этих поверхностей удобно осуществлять при оперативных вмешательствах [9–10].

Исследование, представленное в работе, посвящено анализу аберрации волнового фронта при изменении кривизны поверхности роговицы человеческого глаза, основной задачей которого является выделение наиболее информативных признаков при проведении классификации пациентов с различными патологиями роговицы глаза на основе коэффициентов полиномов Цернике. Полученные данные рекомендуется учитывать при корректировке кривизны поверхности роговицы глаза для улучшения качества зрения пациента [11].

Модель формирования изображения

Полиномы Цернике выражаются следующей формулой [2]:

- чётный полином: Z m ( р , ф ) = R m ( р ) cos ( m ф ) ,

- нечётный полином: Z- m (р,ф) = Rm (р) sin (mф), где n - m

Rm (р)= Z

k = 0

( - 1 ) k ( n - k ) !

р

n - 2 k

Аберрации волнового фронта могут быть представлены с помощью полиномов Цернике [12]. Так:

- дефокусировка: Z ₂ ⁰ ( р , ф ) = (2 р ² - 1),

• -    сферическая аберрация 3-го   порядка:

Z ° ( р , ф ) = (6 р 4 - 6 р 2 + 1),

• -     дисторсия: Z\ ( р , ф ) = р cos ф ,

• -     кома: Z 3 ¹ ( р , ф ) = (3 р ³ - 2 р ) cos ф ,

• -    астигматизм Z 2 ( р , ф ) = р ² cos 2 ф .

Изображение на выходе дифракционного анализатора аберраций представляет собой набор корреляционных пиков, интенсивность которых пропорциональна вкладу соответствующего полинома Цернике

(и связанной с ним аберрацией) в исследуемый волновой фронт [13 – 18]. Угловая зависимость полиномов Цернике может быть представлена либо через косинусно-синусные, либо экспоненциальные функции [17]. В последнем случае обеспечивается не зависящее от углового поворота детектирование волновых аберраций.

Аберрации волнового фронта, встречающиеся в оптических системах, обычно описываются в терминах функций Цернике следующим образом [12]:

W (р, ф) = exp [ iу(р, ф)], (2)

Nn

V ( р , ф ) = ZZ c nm Z nm ( р , ф ) . ⁽³⁾ n = 0 m =- n

Для получения данных по аберрациям оптической системы глаза использовался аберрометр глазной клиники Бранчевского WaveLight Oculyzer II [19].

WaveLight Oculyzer II – это диагностический прибор, разработанный для определения характеристик и исследования глаза. Он разработан для визуализации передней части глаза, которая включает: роговицу, зрачок, переднюю камеру и хрусталик глаза. Это устройство измеряет форму роговой оболочки и разработано специально для офтальмологов. Главным преимуществом для данной исследовательской работы является то, что WaveLight Oculyzer II выполняет анализ передней и задней поверхностей роговицы и позволяет получить разложение по функциям Цернике (рис. 1).

Рис. 1. Пример анализа передней поверхности роговицы

Анализ информативности весовых коэффициентов

В исследовании использовались данные, полученные в глазной клинике Бранчевского, как для условно здоровых людей (без выраженных патологий как на зрачке, так и на хрусталике), так и с определёнными патологиями, в частности, с миопией слабой и средней степени. В работе [20] был произведён статистический анализ на основе выборки из 150 измерений. Были выделены базисные функции Цернике, наиболее характерные для некоторых патологий глаза. Из представленного набора необходимо выделить наиболее информативные весовые коэффициенты с целью понижения вероятности ошибочной классификации.

Для реализации поставленной задачи был выбран язык R , предназначенный для интеллектуального анализа данных. Для проведения исследований были использованы встроенные функции математических пакетов языка. Входные данные для анализа: n объектов, каждый из которых характеризуется 30 признаками, а также классами, которые определяются следующими бинарными отношениями:

• -    миопия слабой степени / миопия средней степени (I),

• -    миопия слабой степени / миопия слабой степени + астигматизм (II) ,

• - миопия средней степени / миопия средней степени + астигматизм (III) ,

  - миопия слабой степени / миопия средней степени + астигматизм (IV) ,

  - миопия средней степени / миопия слабой степени + астигматизм (V) .

При исследовании качества классификации была сформирована обучающая выборка, с использованием которой был настроен классификатор, основанный на методе опорных векторов [21]. Для синтеза классификатора используются только объекты обучающей выборки, которые не содержатся в тестовой выборке. Этот подход называют U-методом [22]. Объекты из истинного распределения могут быть заменены объектами, которые не были использованы для синтеза классификатора и независимы от объектов, по которым классификатор был синтезирован. Для реализации U-метода существует много возможностей, для оценивания вероятности ошибки классификации использовался метод исключения одного объекта.

Была произведена классификация объектов контрольной выборки с помощью алгоритма классификации по ближайшему соседу. При этом использовались данные о классах объектов из обучающей выборки. В ходе экспериментальных исследований была определена средняя ошибка классификации 0,319 при использовании всего набора признаков. Для уменьшения ошибки проведён анализ информативности признаков. Для проведения анализа весовых коэффициентов необходимо рассмотреть вектор, состоящий из средних значений каждого признака. Такой вектор был построен для всех диагнозов.

Для удобства была предложена сквозная нумерация базисных функций Цернике, где N = 1 : 15 – базисные функции, описывающие искривление передней поверхности роговицы, а N = 16 : 30 – базисные функции, описывающие искривление задней поверхности роговицы (связь порядкового номера N и базисной функции Znm показан на оси абсцисс графиков (рис. 2–6)). 1.00Е-00

6,00E-01

2,00E-01

N

	П	п п ПпП.п „
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
о     ' rJ r4 J. ^ ^ J. J, •г ^ *т _L _L =     ' <^1 r< ', ^. m '   ' тт -t rr ।   ' NN^SjNgSNQgslSlNgSSlSl^SlSigsiN^gsSlN^S

Рис. 2. Наиболее информативные весовые коэффициенты Цернике при бинарном отношении – миопия слабой степени / миопия средней степени

1.00E-00

6.00E-01

2.00E-01

N

19 21 23 25 27 29

П. п О П о = □ 13 5 7

Рис. 3. Наиболее информативные весовые коэффициенты Цернике при бинарном отношении – миопия слабой степени / миопия слабой степени + астигматизм

1,(ЮЕ-(Ю

6.00E-01

2,00E-01

N

Рис. 4. Наиболее информативные весовые коэффициенты Цернике при бинарном отношении – миопия средней степени / миопия средней степени + астигматизм

Рис. 5. Наиболее информативные весовые коэффициенты Цернике при бинарном отношении – миопия слабой степени / миопия средней степени + астигматизм

Рис. 6. Наиболее информативные весовые коэффициенты Цернике при бинарном отношении – миопия средней степени / миопия слабой степени + астигматизм

Пусть вектор аavg(x1, x2, ..., x30) – центр класса а тридцатимерного пространства признаков, а вектор bavg(x1, x2, ..., x30) – центр класса b. Тогда наиболее информативные признаки с точки зрения классификации двух классов можно определить на основе покоординатной разности этих двух векторов c = |аavg – bavg|, для выявления близости каждого весового коэффициента независимо при различных патологиях. Результат для бинарного отношения I представлен на рис. 2.

Аналогичным образом можно провести анализ информативности коэффициентов для бинарных отношений II-V (рис. 4–6).

На основе полученных диаграмм (рис. 2–6) можно сделать выводы, какие признаки наиболее информативны. Чем больше абсолютная разность каждого признака c i , тем более он информативен.

Далее была произведена классификация по наиболее информативным признакам из векторов а avg и b avg , ошибки которой представлены в табл. 1.

Табл. 1. Информативные весовые коэффициенты при бинарных отношениях (I-V)

Бинарные отношения	I	II	III	IV	V
3 % S s ® § 8	1	-	1	1	1
	2	2	–	–	2
	–	–	4	4	–
	5	–	5	5	–
	–	–	–	–	6
	–	–	–	–	8
	15	15	–	15	-
	–	–	16	16	16
	17	17	–	17	17
	18	18	18	18	–
	–	–	19	19	19
	–	–	20	20	20
	–	–	–	–	21
	–	–	–	–	22
	–	–	23	–	23
	–	–	–	–	24
	–	–	–	–	25
	–	–	–	–	26
	–	–	–	–	27
	–	–	–	–	28
	–	–	–	–	30
Ошибка	0,233	0,160	0,241	0,142	0,239

На основе табл. 1 можно сделать вывод о том, что наиболее информативные признаки, которые встречаются в трёх и более бинарных отношениях (I–V) – это полиномы с индексами ( N ): 1, 5, 15, 16, 17, 18, 19, 20. Они соответствует аберрациям вида Constant (Z 00 ) , дефокусировка (Z 20 ) , Quadrofall ( Z 4-4 ) на передней поверхности роговицы, Constant (Z 00 ) , дисторсия ( Z 11 , Z 1-1 ) , астигматизм ( Z 22 ) и дефокусировка (Z 20 ) на задней поверхности. В табл. 1 использовались только те признаки, которые показали себя информативными для различения хотя бы одной из пары классов.

Из табл. 1 видно, что полученные ошибки классификации превышают допустимое значение в процедуре постановки диагноза [1], поэтому было принято решение использовать более сложную процедуру отбора признаков, эффективных для диагностики забо- левания [23–25]. Она основана на методах статистического анализа для формирования информативного признакового пространства. В работах [24, 25] представлены аналогичные подходы отбора информативных признаков для анализа медико-биологических объектов в других прикладных задачах диагностики.

Таким образом, выбор признаков осуществлялся по критерию информативности для решения конкретной задачи классификации. При проведении исследований информативность оценивалась как значение критерия разделимости [22, 23] J 1 = tr (( T )^–1 B ), где T = B + W , B – матрица межгруппового рассеяния, элементы которой рассчитываются по формуле:

bj=S k=1 nk (xk - xi)(xjk - xj), i, j=1, p, где n – количество элементов выборки, содержащей p признаков разделённых на g классов; W – матрица внутригруппового рассеяния, элементы которой рассчитываются по формуле:

g j / j k=1 у ikm ik И jkm jk p         , p , где xikm – значение i-го признака для m-го элемента в классе k, xik = 1 nk S ^1 Xtm — среднее значение i-го признака в классе k, x=(1 n) S g=i nkXk — среднее значение i-го признака по всем классам, nk – число элементов в классе k. Чем больше значение критерия, тем больше разделимость классов.

Дополнительная оценка информативности проводилась путём вычисления ошибки классификации методом К -средних. При классификации К равняется числу рассматриваемых классов, а значение ошибки определяется как доля неверно классифицированных векторов выборки.

Оценка информативности на основании значений индивидуального критерия разделимости в данной задаче является неэффективной из-за низкого значения критерия. При одновременном различении всех четырёх рассматриваемых классов значение критерия менее 0,1, а при рассмотрении каждой пары классов отдельно не превышает 0,2.

В связи с этим при проведении исследований оценка информативности осуществлялась на основании значения величины вклада каждого признака в разделяющую способность всего рассматриваемого признакового пространства при решении задачи различения каждой пары классов. Таким образом, из набора признаков, используемых для различения двух определённых классов ( бинарные отношения: I, II, III, IV, V), исключались те признаки, вклад которых в общую информативность был наименьшим. Признаки исключались до тех пор, пока значение общегруппового критерия разделимости снизилось не более чем на 0,05. В итоге, было получено пять наборов признаков, информативных для различения каждой пары классов. Значения группового критерия разделимости и ошибки классификации при использовании всех 30 исходных признаков и полученных наборов информативных признаков представлены ниже (табл. 2 ) .

Табл. 2. Значения групповых критериев разделимости для каждой пары классов

Бинарное отношение	Значение критериев разделимости
	Все признаки	Информативные признаки
I	0,909	0,891
II	0,880	0,840
III	0,765	0,728
IV	0,810	0,762
V	0,820	0,778

Проанализировав данные таблиц, можно сделать вывод о том, что выбранные признаки являются информативными для различения классов патологий. При этом размерность признакового пространства была существенна снижена.

В ходе экспериментальных исследований было подсчитано, для какого числа сравнений признаки являются информативными и на основании полученных значений была проведена оценка эффективности для задачи различения приведённых классов изображений. Признаки были поделены следующим образом: рекомендованные – используются минимум в 5 парах сравнений; не рекомендуемые к сравнению – используемые не более чем в 2 парах сравнений; оставшиеся признаки были отнесены к обычным.

На основе полученных признаков была произведена классификация, ошибки которой представлены в табл. 3. Будем считать признак zN наиболее информативным в случае, если он встречается не менее чем в трёх бинарных отношениях в табл. 3. К примеру, признак z 3, который описывает аберрацию типа «наклон», является информативным для бинарных отношений I–IV и считается наиболее информативным. На основе этого допущения можно сделать вывод о том, что наиболее информативные признаки, которые встречаются во всех исследованных бинарных отношениях (I–V), – это полиномы с индексами ( N ): 1, 3, 7, 8, 13, 20, 21, 22, 23, 26, 28. Они соответствуют аберрациям вида Constant (Z 00 ) , дисторсия ( Z 1-1 ) , Trefoil ( Z 33 ), кома ( Z 31 ), сферическая аберрация ( Z 40 ) на передней поверхности роговицы и дефокусировка ( Z 20 ), астигматизм ( Z 2-2 ), Trefoil ( Z 33 ), кома ( Z 31 ), Quadrofall ( Z 44 ), сферическая аберрация ( Z 40 ) на задней поверхности.

В результате можно сделать вывод, что для различения исследуемых классов рекомендуется использовать следующие признаки (табл. 4):

• -    передняя поверхность роговицы : дисторсия ( Z 1-1 ) , кома ( Z 31 );

• -    задняя поверхность роговицы : дефокусировка ( Z 20 ), астигматизм ( Z 2-2 ), Trefoil ( Z 33 ), Quadrofall ( Z 44 ), сферическая аберрация ( Z 40 ).

Заключение

Исследование, представленное в работе, посвящено анализу аберрации волнового фронта при изменении кривизны поверхности роговицы человеческого глаза.

Табл. 3. Сводная таблица, демонстрирующая наиболее информативные признаки на передней и задней поверхностях роговицы

Бинарные отношения	I	II	III	IV	V
X s 3 $ о S S s P, 3" Щ ^ 8	1	1	1	–	1
	–	2	2	2	–
	3	3	3	3	–
	–	–	4	4	4
	5	5	–	–	–
	–	6	6	–	6
	7	7	7	7	–
	8	8	8	8	–
	9	9	–	–	9
	10	–	–	–	–
	11	11	–	11	–
	–	12	–	–	12
	13	–	13	13	13
	14	14	14	–	–
	15	–	–	–	–
	–	16	16	–	–
	17	–	–	17	–
	18	18	–	–	18
	–	19	–	–	–
	20	20	20	20	20
	21	21	21	21	21
	22	22	–	22	22
	23	23	23	–	23
	24	24	–	–	24
	25	–	–	25	–
	26	26	26	26	–
	27	27	–	27	–
	–	28	28	28	28
	29	–	–	–	29
	30	–	30	–	30
Ошибка	0,030	0,024	0,049	0,047	0,026

Табл. 4. Рекомендованные признаки на передней и задней поверхностях роговицы

Рекомендованные признаки
Передняя поверхность роговицы	Задняя поверхность роговицы
Z 1-1 , Z 31	Z 20 , Z 2-2 , Z 33 , Z 44 , Z 40

Анализ выполнен на основе представления аберраций передней и задней поверхностей роговицы в виде суперпозиции функций Цернике. Объектом исследования являются весовые коэффициенты полиномов Цернике. Данные были получены в ряде клинических испытаний в глазной клинике Бранчевского.

В рамках данной работы был проведён анализ наиболее информативных весовых коэффициентов с точки зрения классификации пациентов по определённым диагнозам. Мы предложили два способа выявления информативных коэффициентов. Исследования показали, что способ выделения признаков на основе критериев разделимости оказался наиболее эффективным для решения конкретной задачи классификации.

Интересным фактом является, что среди высокоинформативных признаков присутствуют полиномы высоких порядков Z31, Z33, Z40, Z44 (выше второго порядка). В классической офтальмологии специалисты обращают внимание только на полиномы первой и второй степени, которые отвечают за так называемые «цилиндр» и «сферу». Однако проведённое исследование показывает, что учёт аберраций высокого порядка (аберрации вида кома 3-го порядка, Trefoil, Quadrofall и сферическая аберрация 4-го порядка) позволил значительно уменьшить ошибку классификации, а именно в 3 раза, что приведёт к повышению достоверности постановки диагноза при автоматизации процесса диагностики. Поэтому необходимо использовать данные признаки при корректировке кривизны поверхности роговицы глаза для улучшения качества зрения пациента.

Работа выполнена при поддержке Федерального агентства научных организаций (соглашение № 007-ГЗ/43363/26) в параграфе «Модель формирования изображения» и Российского научного фонда (гранты № 15-29-03823, № 16-41-630761, № 17-01-00972), а также при частичной поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках реализации мероприятий Программы повышения конкурентоспособности Самарского университета среди ведущих мировых научно-образовательных центров на 2013–2020 годы.