Вытекание жидкости из сосуда

Рассмотрим задачу, связанную с вытеканием воды из сосуда, относящуюся к античным временам. В греческих и римских судебных процессах разбирательство во избежание слишком долгих выступлений адвокатов использовались для хронометража водяные часы. Они представляли собой чашу, из которой через небольшое отверстие на дне вытекала вода. Требуется найти такую форму водяных часов, при которой уровень воды убывал бы с постоянной скоростью.

Предположим, что сосуд, площадь поперечного сечения которого есть известная функция высоты h, S=S(h), наполнен жидкостью до уровня H. В дне сосуда имеется малое отверстие площади s0, через которое жидкость вытекает. Известно, что если вытекание происходит через малое отверстие или короткую трубку, то скорость вытекания v зависит от высоты жидкости в сосуде: v = g^2gh в частности, v не зависит от формы сосуда. Здесь д - ускорение свободного падения, д - эмпирический коэффициент. Необходимо определить время T, за которое жидкость вытечет из сосуда полностью.

Пусть в некоторый момент t высота жидкости в сосуде равна h . За промежуток времени [t, t + dt"] количество вытекшей жидкости dV можно подсчитать двумя способами, используя закон сохранения массы:

dV = s0v(h)dt и dV = —S(h)dh.

Первое равенство показывает сколько жидкости вытекло из отверстия и получается как объем цилиндра с площадью основания s₀ и высотой v(h)dt. Второе равенство показывает насколько понизился уровень жидкости в сосуде и тоже получается как объем цилиндра бесконечно малой высоты -dh (знак минус поставлен из-за убывания высоты с течением времени, то есть h(t + dt) — h(t) = dh <  0). Приравниваем оба выражения друг к другу и получаем дифференциальное уравнение:

S(h)

--^= dh (1)

S o g^2gh

s0g^2gh dt = —S(h)dh, dt = —

В момент времени t=0 высота жидкости была h=H, в момент времени t=T вся жидкость вытекла, т.е h=0. Интегрируем с такими пределами обе части дифференциального уравнения (1) :

fTdt = —^S^dh  T = -1=$"^dh

^J0          s_on/2g^JH Vh             s_on/2g^J0 VK

Таким образом, в зависимости от формы сосуда получают разные ответы.

Теперь вернемся к самой задаче. Перепишем уравнение (1) в виде

Vh =

S(h) dh

Sog^2g dt

По условию, ^ = —v0 = const. Тогда, рассматривая чашу как поверхность вращения (т.е считая, что площадь поперечного сечения зависит от переменных х,у как

S(h) = л(х2 + у2)), получаем Vh = ~(~~уу~v0   h = с(х2 + у2)2

то есть форма чаши водяных часов получается кривой h = сх⁴ вокруг оси h .