Вывод формулы Беломестных-Теслевой из уравнения Грюнайзена
Журнал: Вестник Бурятского государственного университета. Химия. Физика @vestnik-bsu-chemistry-physics
Статья в выпуске: 1, 2022 года.
Бесплатный доступ
Предлагается вывод формулы Беломестных-Теслевой, устанавливающий однозначную связь между коэффициентом Пуассона и параметром Грюнайзена, из известного уравнения Грюнайзена. Формула Беломестных-Теслевой, полученная ранее из иных исходных посылок, выводится с привлечением теории упругости и уравнения Леонтьева. Предлагаемый подход находит вполне удовлетворительное согласие с экспериментальными данными для ряда силикатных стекол и стеклообразных метафосфатов щелочноземельных металлов.
Похожие статьи в разделе Химия. Кристаллография. Минералогия
Короткий адрес: https://sciup.org/148327683
IDS: 148327683 | УДК: 541.64:539.199 | DOI: 10.18101/2306-2363-2022-1-18-23
Determination of the Belomestnyh-Tesleva’s formula from the Gr"uneisen’s equation
From the well-known Grüneisen equation the derivation of the Belomestnykh- Tesleva’s formula, which establishes an unambiguous connection between Poisson's ratio and the Grüneisen’s parameter, is proposed. The Belomestnykh-Tesleva formula, obtained earlier from other initial premises, using the theory of elasticity and the Leontiev equation is derived. The proposed approach finds quite satisfactory agreement with experimental data for a number of silicate glasses and glassy met phosphates of alkaline earth metals.
Текст научной статьи Вывод формулы Беломестных-Теслевой из уравнения Грюнайзена
Принято считать, что параметры теории упругости (модули упругости, коэффициент Пуассона) как гармонические линейные величины не должны быть связаны с ангармонизмом — с отклонением силы межатомного взаимодействия от линейной зависимости при смещении атома из равновесного положения. Тем не менее время от времени появляются работы, указывающие на наличие вполне определенной связи между упругими свойствами и параметром Грюнайзена γ — мерой ангармонизма [1]
pVB
где β — коэффициент объемного теплового расширения, V — молярный объем, B –изотермический модуль объемного сжатия, C V — молярная теплоемкость при постоянном объеме.
Так, например, Беломестных и Теслевой [2] установлено, что параметр Грюнайзена γ является однозначной функцией коэффициента Пуассона μ — параметра теории упругости з / 1 -+- ц \ причем установлено достаточно строго с привлечением известных положений теории упругости, термодинамики и физической акустики. Они показали, что параметр Грюнайзена определяется исключительно по скоростям продольной (vL) и поперечной (vs) акустических волн:
3 (vl/vs У - 4
2 [(Viks )2 + 2
Беломестных и Теслева [2], используя в формуле (3) известные соотношения физической акустики [3]
, = E (1 — а)
E
VS V 2 P ( 1 + А )
L р1+ + А )(1- 2^) ’
в 2004 г. получили уравнение (2), однозначно связывающее параметр Грюнайзе-на с коэффициентом Пуассона. Примечательно то обстоятельство, что такая сравнительно простая формула (2) находится в удовлетворительном согласии с уравнением Грюнайзена (1) [2].
Вывод формулы Беломестных–Теслевой (2) из уравнения Грюнайзена (1). Умножив числитель и знаменатель уравнения Грюнайзена (1) на модуль сдвига G и принимая во внимание известную взаимосвязь упругих модулей G и B [1]
В 2 1 + ^z \ получаем следующую модификацию уравнения Грюнайзена (1)
где введено обозначение
Используя соотношение Леонтьевна [4]
и модуль сдвига G = ρ v s 2 , множитель A (6) представим в виде отношения скоростей звука
где v k 2 — квадрат среднеквадратичной скорости звука [4]
v L и v s — скорости продольной и поперечной упругих волн, соответственно, ρ — плотность.
Из равенства (8) с помощью выражения (9) и известной формулы теории упругости [1]
/vLV 2 — 2/z
\vs / 1 — 2// (10)
находим связь множителя A с коэффициентом Пуассона μ
-
3 /1 - 2/zx
2 \2 — 3/2/ (11)
Расчет параметра A по формулам (8) и (11) показывает согласованные значения (табл. 1). Для силикатных стекол, приведенных в таблице значения, рассчитанные по разным формулам достаточно близки. Для стеклообразных метафосфатов щелочноземельных металлов значения коэффициента A по формулам (8) и (11) совпадают с точностью до сотой доли единиц, тангенс угла наклона графика A (8) — A (11) равен единице.
Примечательно то обстоятельство, что с учетом данного соотношения (11) модифицированное уравнение Грюнайзена (5) переходит в формулу Беломест-ных–Теслевой (2)
Таблица 1
Расчет множителя A по формулам (8) и (11) для силикатных стекол R 2 O–SiO 2 (R = Na, K)[5] и стеклообразных метафосфатов щелочноземельных металлов [6]
|
№ |
μ |
v L , м/с |
v s , м/с |
v k , м/с |
A (8) |
A (11) |
|
|
Na 2 1 |
O — SiO 2 Содержание Na 2 O, мол.% по синтезу: 13 |
0,205 |
5233 |
3378 |
4091 |
0,68 |
0,64 |
|
2 |
16 |
0,218 |
5115 |
3275 |
3984 |
0,68 |
0,63 |
|
3 |
17 |
0,225 |
5054 |
3222 |
3929 |
0,67 |
0,62 |
|
4 |
20 |
0,235 |
12133 |
7705 |
9415 |
0,67 |
0,61 |
|
5 |
26 |
0,245 |
4835 |
3070 |
3752 |
0,67 |
0,60 |
|
6 |
30 |
0,255 |
4844 |
3052 |
3746 |
0,66 |
0,60 |
|
7 |
33,3 |
0,255 |
4906 |
3103 |
3800 |
0,67 |
0,60 |
|
1 |
Содержание K 2 O, мол.% по синтезу: 13 |
K 2 O — SiO 2 |
3747 |
0,67 |
0,62 |
||
|
0,230 |
4820 |
3073 |
|||||
|
2 |
15 |
0,225 |
4759 |
3035 |
3700 |
0,67 |
0,62 |
|
3 |
20 |
0,250 |
4550 |
2889 |
3531 |
0,67 |
0,60 |
|
4 |
25 |
0,270 |
4463 |
2801 |
3445 |
0,66 |
0,58 |
|
Стеклообразные метафосфаты щелочноземельных металлов |
|||||||
|
1 |
0,51MgO·0,49P 2 O 5 |
0,233 |
5267 |
3110 |
3962 |
0,62 |
0,62 |
|
2 |
0,50MgO·0,50P 2 O 5 |
0,233 |
5264 |
3108 |
3959 |
0,62 |
0,62 |
|
3 |
0,49MgO·0,51P 2 O 5 |
0,233 |
5289 |
3121 |
3977 |
0,62 |
0,62 |
|
4 |
0,51CaO·0,49P 2 O 5 |
0,264 |
5051 |
2858 |
3735 |
0,59 |
0,59 |
|
5 |
0,50CaO·0,50P 2 O 5 |
0,267 |
5086 |
2869 |
3756 |
0,58 |
0,58 |
|
6 |
0,49CaO·0,51P 2 O 5 |
0,265 |
5051 |
2857 |
3734 |
0,59 |
0,59 |
|
7 |
0,51SrO·0,49P 2 O 5 |
0,274 |
4603 |
2568 |
3385 |
0,58 |
0,58 |
|
8 |
0,50SrO·0,50P 2 O 5 |
0,273 |
4610 |
2577 |
3393 |
0,58 |
0,58 |
|
9 |
0,49SrO·0,51P 2 O 5 |
0,271 |
4612 |
2584 |
3397 |
0,58 |
0,58 |
|
10 |
0,50BaO·0,50P 2 O 5 |
0,288 |
4178 |
2278 |
3046 |
0,56 |
0,56 |
|
11 |
0,49BaO·0,51P 2 O 5 |
0,286 |
4186 |
2291 |
3056 |
0,56 |
0,56 |
Таким образом, с привлечением соотношения Леонтьева (7) и теории упругости из уравнения Грюнайзена (1) можно вывести формулу Беломестных– Тес-левой (2), которая была получена из иных исходных посылок [2].
Обратим внимание на то обстоятельство, что коэффициент A в выражении (8) показывает, какую долю составляет упругая энергия Δ U = ρ vs 2 V , необходимая для деформации сдвига, от средней энергии межатомного взаимодействия и = pv^V
_v* pv$V GV AU
A — ~ pv^V — — (12)
Для стеклообразных твердых тел уравнение (5) было получено ранее со следующей интерпретацией множителя A [7]
где f g — объемная доля флуктуационного свободного объема, замороженная при температуре стеклования T g . Величина f g у стеклообразных систем одного класса является фактически универсальной величиной f g ≈ const [7]. Логарифм данной величины тем более слабо зависит от состава аморфных веществ в рамках одного класса. Оценка A по этой формуле (13) дает фактически константные значения, по крайней мере, у стекол одного структурного типа и по порядку величины согласуется с результатами расчета по соотношениям (8) и (11). Для натриевосили-катных Na 2 O–SiO 2 и калиевосиликатных K 2 O–SiO 2 стекол значение объемной доли флуктуационного свободного объема f g ≈ const ≈ 0,028, а величина A , рассчитанная по формуле (13), приблизительно равна 0,79.
Значения параметра Грюнайзена для металлов, рассчитанные по уравнению Грюнайзена (1) и Беломестных-Теслевой (2) также находятся в удовлетворительном согласии (табл. 2).
Некоторые отклонения значений для твердых тел, вероятно, обусловлены разбросом значений γ, полученных разными исследователями. Причина этих отклонений также возможно заключается в анизотропии рассматриваемых в табл. 2 систем, так как более согласованные данные наблюдаются для ряда квазиизо-тропных щелочногалоидных кристаллов с центральными силами межатомного взаимодействия.
Таким образом, предлагаемый вывод из уравнения Грюнайзена (1) формулы Беломестных-Теслевой (2), которая устанавливает связь параметра Грюнайзена с коэффициентом Пуассона, находит вполне удовлетворительное согласие с экспериментальными данными.
Таблица 2 Сравнение результатов расчета параметра Грюнайзена γ по уравнениям (1) и (2) (использованы данные [2, 8]).
|
№ |
Элементы и соединения |
µ |
γ |
|
|
Грюнайзен (1) |
Беломестных–Теслева (2) |
|||
|
1 |
LiF |
0.214 |
1.34 |
1.34 |
|
2 |
NaCl |
0.243 |
1.46 |
1.47 |
|
3 |
Fe |
0.292 |
1.68 |
1.72 |
|
4 |
Al |
0.340 |
2.11 |
2.05 |
|
5 |
Ag |
0.379 |
2.40 |
2.40 |
|
6 |
NaNO 3 |
0.257 |
1.31 |
1.53 |
|
7 |
Pd |
0.374 |
2.40 |
2.35 |
|
8 |
Au |
0.420 |
2.80 |
2.88 |
Список литературы Вывод формулы Беломестных-Теслевой из уравнения Грюнайзена
- Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория упругости. 3-е изд. Москва: Наука, 1965. 204 с. Текст: непосредственный.
- Беломестных В. Н., Теслева Е. П. Взаимосвязь ангармонизма и поперечной деформации квазиизотропных поликристаллических тел // ЖТФ. 2004. Т. 74, № 8. С. 140-142. Текст: непосредственный. EDN: RDASSD
- Францевич И. Н., Воронов Ф. Ф., Бакута С. А. Упругие постоянные и модули упругости металлов и неметаллов. Справочник. Киев: Наукова думка, 1982. 286 с. Текст: непосредственный.
- Леонтьев К. Л. О связи упругостных и тепловых свойств веществ // Акуст. журн. 1981. Т. 27, вып. 4. С. 554-561. Текст: непосредственный.
- Мазурин О. В., Стрельцина М. В., Швайко-Швайковская Т. П. Свойства стекол и стеклообразующих расплавов: справочник. Ленинград: Наука, 1973. Т. 1. 444 с. Текст: непосредственный.
- Скорость ультразвука в стеклообразных метафосфатах щелочноземельных металлов / Е. А. Гурович, А. А. Ильин, А. А. Пронкин, М. Е. Стржалковский // Физика и химия стекла. 1979. Т. 5, № 3. С. 383-384. Текст: непосредственный.
- Сандитов Д. С., Бартенев Г. М. Физические свойства неупорядоченных структур. Новосибирск: Наука, 1982. 259 с. Текст: непосредственный.
- Беломестных В. Н. Акустический параметр Грюнайзена твердых тел // Письма в ЖТФ. 2004. Т. 30б, вып. 3. С. 15-19. Текст: непосредственный. EDN: RDBIMD
