Вывод разрешающих уравнений равновесия пластины с низкой трансверсальной сдвиговой жесткостью

В настоящее время в современной технике наряду с традиционными получили распространение композиционные материалы, которые обладают высокой удельной прочностью и жесткостью. Композитные пластины отличаются рядом особенностей, которые должны быть учтены при проектировании и расчете. К их числу относится низкая сдвиговая жесткость по отношению к трансверсальным напряжениям. Эта особенность привела к появлению новых, более сложных по сравнению с традиционными, расчетных моделей с высокой степенью достоверности описывающих поведение композитных пластин.

Вывод разрешающих уравнений расчета конструкций с помощью метода конечных элементов (МКЭ) вариационным методом предполагает формирование энергетического функционала, под которым подразумевается выражение полной потенциальной энергии упругого тела. Это выражение состоит из суммы потенциальной энергии деформации U и потенциала внешних сил П:

E = U + П. (1)

В качестве исходного для U примем соответствующее выражение из теории упругости трехмерного тела:

U = — fff(a e + a e + a e + т e + т e + t e ) x xxyyzzxyxyxzxzyzyz

2V x dxdydz,                         (2)

где a x , a _y , a z - нормальные напряжения; т , т xz , т _y - касательные напряжения; e_x , e_y , e_z – линейные деформации вдоль осей системы координат; e_xy , e_xz , e_yz – деформации сдвига в соответствующих плоскостях.

Напряжения и деформации связаны физическими

соотношениями. Для ортотропного материала они име-

ют следующий вид:

ex

ax

E x

Ц

^a У

xy_{E y}

ez

^e xy

^ xz

az

E z

т

xy

G xy

;

az

E z

^ zx

e yz

;

e y

^a У

E y

Ц yx

ax

E x

Ц yz

^a z

E z

;

ax

E x

^

a У.

zy _{E y}

;

^т yz

G yz

;

exz

т xz

G xz

,

где Е_{x ( y , z )} – модуль упругости соответствующего направления; G_{xy ( yz , xz )} – модуль сдвига в соответствующей плоскости; ц x _y , ц _y, ц _yz, ц z _y, ц xz , ц zx - коэффициенты Пуассона.

Имеет место свойство симметрии упругих постоянных:

E x Ц xy = E y Ц yx ; E y Ц yz = E z Ц zy ; E x Ц xz = E z Ц zx - ⁽⁵⁾

Запишем геометрические соотношения линейной те ории:

ди,        д uy        ди, e = —-■ e = —-; e = —z x    дx ’ y    дy    z    дz

д ux   д uy        д uy   д uz        ди,   д u e.     -' - ■ eyz= - ■      ■ exz=^x +     , (7)

дy   дx        дz   дy        дz   дx где ux, uy, uz - проекции перемещения произвольной точки на соответствующие оси координат.

Дальнейшие преобразования выражения (2) выполним по алгоритму приведения трехмерной задачи теории упругости к двумерной теории оболочек [1].

Примем следующие допущения о поведении матери- ала пластины:

E z ^ ” ■ Ц zx ^ ⁰ ; ^Ц zy ^ ⁰ -           ⁽⁸⁾

Тогда вместо (3) получим:

о о y О y о ex = V— Ц xy-^- ■ ey = ”-Ц yxV ■ ez = 0-   (9)

E_xE_yE_yE_x ^z

Из третьего геометрического соотношения (6) с учетом е = 0 следует, что вертикальные перемещения и зависят только от координат x и y :

u_z = w ( x ; y ) .                    (10)

Перепишем геометрические соотношения для e_xz и e_yz следующим образом:

д u,  д w       д и   д w e = —- +--■ e = —y +--

"   д z   д x     ^yz   д z   д y

Проинтегрируем (11) по толщине пластины в пределах от 0 (координата начальной плоскости) до z (координата произвольной плоскости). В итоге получим r ,    г д их      ^д w e„dz = ---dz + —dz ;

xz

0         0 ^д z       0 ^д x

Г  Л f дuy Л г5w Л e„dz = ---dz + —dz.

^{J J д z J д} y

Введем в (12) вместо e z и e z их осредненные по толщине значения, вычисляемые по следующим формулам:

1 h - s                    i h - s

V x =7 J e xz dz ■ V y =7 J e yz dz , ^h - s                  ^h - s

где h - толщина пластины; (h - s) и (-s) - координаты по вертикали верхней и нижней поверхностей пластины со- ответственно.

В результате, вместо (12) получим следующие урав- нения:

V x ^z = u x ( ^z ) ^-

V y z = uy ^{( z )-}

/        д w ux (z = 0) + zr ■ дx

/        д w uy (z = 0) + z^" дy или ux ( z ) = u + z9x ■ uy ( z ) = v + z9y ,

где 9 _x ) - угол поворота нормали к соответствующей оси; u , v , w - перемещения произвольной точки начальной плоскости вдоль осей x , y , z соответственно:

_ д w _Q д w 9_x=V_x-~ ■ ^{9 v} —- ^{x x} д x y y д y

Подставим (14) в геометрические соотношения для e

x и ey (6) и exy (7):

д u   д9,       д v   д9 y ex =лт + z—- ■ ey =—+ z — ■ дx    дx       дy    дy дu дv   f д9x д9y )

e xy =-- ¹---+ z I--1--I .

д y д x   ( д y   д x J

С учетом выполненных преобразований для деформаций перепишем выражение потенциальной энергии деформации (2) в виде

U = 1 ш|^ x

V I

д u    59, )     [ д v    ^д9 y |

— + z—- 1 + 5 I— + z—- 1 + д x    д x J    y ^ д y    д y J

^{+ Т} xy

д u д v   f д9, д9 y

+   + zl + дy дx   ^ дy   дx

^{+ Т} xz V x ^+Т yz V y } dxdydz .

Проинтегрируем (17) по толщине пластины, т. е. по z в пределах от -s до h - s :

1 Ь d f N_x^£_x + N, s„ + N„ e„ + M_x X_x + )

U = ' [            ^yy xy xy xx \dxdy , (18)

20 0 L+My X y + Mxy X xy + Qx V x + Qy V y J 1 ' где через а и b обозначены координаты торцов пластины, перпендикулярные оси x, через c, d - координаты торцов пластины, перпендикулярные оси y.

В подынтегральном выражении функционала (18) также присутствуют N , Q , M - внутренние погонные усилия и е , X - деформации начальной плоскости.

Внутренние усилия в общем случае вычисляются по формулам h - s                    h - sh

N_x = I" c, dz ; N = I" о dz ; N = [ t, dz ;

xxyyxyxy

—s                     — s— s h—sh—s

Mx = 0 оxzdz■ My = 0 оyzdz■(19)

- s- h - s                     h - sh

^Mxy = J ^T xy^zdz ■ ^Qx = J ^T xz^dz ■ ^Q y = 0 ^T yz ^dz .

-s                      -s-

Деформации начальной пло скости определяются со- отношениями д u    _ д v     _ д u д v е x = ax; 8 y = sy; 8 xy = ay+sx;

д9, „ _^д9 y . _v _^д9 x ₊ ^д9 y X_x= ^yx ■ Xy = — ■ ^X xy =^ ⁺ ^. ^x   д x     y   д y         д y   д x

Разрешая первые два соотношения (9) относительно напряжений, получим оx   A11 ex + A12 ey ■ о y A21 ex + A22 ey ,       (21)

где параметры Aj (i, j = 1,2) в данном случае определяют- ся равенствами

A 11 =

E x

^{1 —} Ц xy Ц yx

A 12 = A 21

E y

A 22 =

^{1 —} Ц xy Ц yx

Ц xy E x

^{1 —} Ц xy Ц yx '

Подставим напряжения оx, оy (21) и тxy (4), учитывая (16), в выражение (19). Тогда формулы для внутренних усилий примут следующий вид:

N x = B 11 ^e x ⁺ B 12 ^e y ⁺ C 11 X x ⁺ C 12 X y ■

^N y = B 21 ^е x ⁺ B 22 ^е y ^{+ C} 21 ^X x ^{+ C} 22 ^X y ■

N xy = B зз е xy + C 33 X xy ■ Q x = K x V x ■

Q y = K y V y ■ M xy = C зз е xy + D 33 X xy ■      (23)

^M x = C 11 ^e x ⁺ C 12 ^e y ⁺ D 11 X x ⁺ D 12 X y ■

M y = ^C 21 ^е x ^{+ C} 22 ^е y ⁺ D 21 X x ⁺ D 22 X y ,

где B , C , D и K – мембранные, смешанные, изгибные

жесткости соответственно, вычисляемые по формулам h—s                             h—s

B 11 = J A 11 dz ; B ₁₂ = B ₂₁ = J A ₁₂ dz ;

Сформируем на основе (28) функционал Лагранжа. Для этого в подынтегральном выражении (28) выразим усилия через деформации согласно физическим соотношениям (23). В результате, вместо уравнения (29) получим

—s                              — s h—s                     h—s

B ₂₂ = J A 2 dz ; B₃₃ = J A₃₃ dz ;

— s h—s

—s h—s

C 11 = J A 11 zdz ; C 12 = C 21 = J 42 zdz';

— s

c

h—s

J A 22 zdz ;

—s h—s

C₃₃ = J A₃₃zdz ;

—s— h—sh—s

D 11 = J A 11 z ² dz ; D ₁₂ = D ₂₁ = J A ₁₂ z ² dz ;

—s— h—sh—s

D22 = J A2 z2 dz; D33 = J A33 z2 dz, —s—

F = 2 ^B n^e x ^{+ C} n^e x x x + 2 D 11 X x ⁺

^{+ B} 12 ⁸ x ⁸ y ^{+ C} 12 ⁸ x X y + ^C 12 ⁸ y X x + D 12 X x X y +

⁺ 2 B 22 ^е 2 ^{+ C} 22 ⁸ y ^X y ⁺ 2 D 22 ^X 2 ⁺ "^^B 33 ^{8 X} y ^{+ 2}₁²₁²₁             (30)

^{+ C} 33 ⁸ xy ^X xy ⁺ 2 D 33 ^X xy ⁺ 2 ^K x ^{V 2 +} 2 K y ^V 2

Теперь подставим в (30) геометрические соотношения (20) и углы трансверсального сдвига, выраженные из (15), после чего получим выражение

где A 33 = G xy .

Определение жесткостей (24) для ортотропной одно-

1_R fd u )      d u ao x   1     Гао x \

F =    B_n    + C H---1 D_n --- 2 11                    11                          11

V d x )      d x d x   2 V d x J

родной пластины, начальная плоскость которой совпадает с ее срединой плоскостью, может быть вычислено по формулам

+ B 12

a u a v   ,,

--+ C ₁₂

a x a y

a u ^do      5 v ao^

--^y + c ₁₂--- a x a y      a y a x

B 11 = A n h ; B 12 = B 22 = 42 h ;

+ D 12

dO _x dO y 1     ( d v \

---+— B 22 1 I d x d y 2 (a y J

, d v aO y ²² a y a y

B ₂₂ = A 22 h ; B 33 = A 33 h ;

D = A — •

¹¹ A ¹¹ 12;

h ³

D 12 = D 21 = A 12 12;

1 л  (^dO y 1    n fa u  a v ) fso   ^do y ]

+- D 22 1       1 + c ₃₃ 1+|i +1 +

2     V a y J V a y  a x J (a y   a x J

h ³

D 22    A 22 12 ;

h ³

33 ^33 12 '

+¹ B 33

a u

a v ) ²

a y a x

1n (dO x x D 33 I X 2 V d y

Все смешанные жесткости при этом окажутся равными 0, а трансверсальные сдвиговые же сткости предстанут в виде

K = G xz h ; K y = G yz h.              (26)

Отметим, что формулы для перерезывающих сил в (23) получены при подстановке e_xz , e_yz из (4) в (13) и замене касательных напряжений т _x и т yz их осредненными значениями: Q_x / h и Q_y / h соответственно.

Потенциал внешних сил для пластины, нагруженной по верхней поверхности распределенной нагрузкой p_z , определяется следующим интегралом: bd

П = J J p_zwdxdy .               (27)

ac

Таким образом, выражение полной потенциальной энергии пластины имеет вид (1), в котором потенциальная энергия деформации задается интегралом (18), а потенциал внешних сил – (27). Выражение полной потенциальной энергии (1) со слагаемыми U и П в виде (18) и (27) позволяет получить дифференциальные уравнения равновесия пластины и естественные граничные условия к ним. В дальнейших выкладках сосредоточим внимание на функционале потенциальной энергии деформации (18). Представим его в следующем виде:

bd

U = JJ F dxdy ,               (28)

ac где

1 f N е_х + N е„ + N ,8™ + M_x X_x + )

xxyyxyxyxx

F =-                                . (29)

² (+ ^M y X y + ^M xy X xy + ^Q X V X + ^Q y V y J

+¹ K k

₂ xx

dwJ2 +1 k, (oy dx J    2 V

dOy J dx J dw 'J2 dy J

.

С учетом (31) функционал (28) представим в общем

виде:

bd

U=JJ F ac

( а a a u a u a v a v) u , v , w , O x , O y , — , — , — ,—, d x d y d x d y

d w d w aO_x aO_x^dO y ^dO y xx^yy

-X    , -X    , -X     , -X     , -X     , -X

V a x a y a x a y a x a y j

Вариация функционала (32) имеет вид

bd sU=jj!

ac

d f d u

+ l +

d F  Vd u

+-----1—-—-—-3| —

d(du/dx) Vdx df   VdOx)

s| ~— I + " d(dO _x dxx ) V d x J

dxdy . (32)

> dxdy . (33)

Преобразуем входящие в (33) слагаемые, где присут-

ствует вариация по той или иной производной, следующим образом:

bd ff dF , ac a(au/ax)

bd

—ff-d ac ax |_a(a u/ax)

d   d f   ь \_bj

—;—г S u\ „ dy -

^J a⁽a u /a ^x )   ¹        (34)

a f

S u dxdy .

По схеме (34) преобразуются интегралы от всех ос-

тальных слагаемых, включающих вариации по производным от кинематических функций.

Вычислим производные от комплекса F (31) по всем тем переменным, по которым в (33) осуществляется варьирование. При этом получится следующее:

dF = 0;   F = 0; d F = 0.

d u      d v     d w

Запишем вариацию функционала (33) с учетом преобразованных интегралов (34) и вычисленных производных:

bd

d

5 U = J J ( Q x 50 x + Q y 50 y ) dxdy + J N_x 5 u\^b_ady -

ac

c

bd 8N           b

-  ---5 u dxdy + N 5 u c dx - j j 5x              J "

задачи о деформировании пластин с низкой трансверсальной сдвиговой жесткостью. В частности, они могут быть выведены из соответствующих уравнений, полученных в [1] из условий равновесия бесконечно малого элемента произвольной ортотропной оболочки. При использовании вариационного вывода системы уравнений равновесия естественные граничные условия получаются «ав-

ac

a

bd d N

-J J —^y7 u dxdy + ac5y d              b d dN            b

⁺ J ^Nxy ⁵ v^ dy - J J     ^{5 vdx} dy ⁺ J ^Ny ⁵ v| ^{d dx} -

Оx

томатически».

Система уравнений (37) может быть использована при анализе таких расчетных случаев, когда граничные условия на краях пластины сформулированы относительно углов наклона нормали. Это классические варианты граничных условий: свободная кромка, свободное или шар-

c

ac

a

bd

b d 8N_v d _h bd 50

-[ [ —-5vdxdy + [Qx5w bady- | [ —x5wdxdy + ac 8y           c                 dx ь                ь d 50

+JQy5w|d dx- J j —y5 w dxdy + ac 8y

нирное опирание или полное защемление края пластины. Если граничные условия отличаются от классичес-

a

ac

d

+ J Mx 50 x|bdy - c

ких, например, как в случаях шарнирного опирания краев с фиксированным сдвигом или при защемлении со свободным сдвигом, уравнениями равновесия в виде (37) воспользоваться нельзя. Теперь рассмотрим иной вариант вариационной постановки задачи. Будем полагать в

b

bdbbd

- JJ f^ ⁰ x dxdy ⁺ J ^Mxy ⁵⁰ x|^{d d} x ^- JJ

aca dbd

+J M .y 50y a dy и M

c

ac b d dM. JJ”iy ac y

b d d M_xy

——y 5 0 _x dxdy + ac ^d У

b

30 ydxdy + J My 50 y|ddx - a

качестве основных кинематических переменных перемещения точек базовой плоскости u , v , w и углы трансверсального сдвига v _x и v _y . Перепишем подынтегральное выражение функционала (28). Для этого, используя выражения для углов поворота (15), выразим изменения кривизны и кручения (20) через прогиб и углы сдвига:

dv _x 2 w w     = ^dv y 2 w w .

^{x x} =1T"a x⁷’ ^{x y}" 8y   ay²’

Сгруппируем двойные интегралы в (36) по соответствующим вариациям независимых переменных ( 5 u , 5 v , 5 w , 50 _x , 50 _y ). Подынтегральные выражения в них будут являться уравнениями равновесия. Остальные члены в (36) формируют естественные граничные условия. Запи-

X xy

^d v x ^dv y . s² w

2-------.

ay   ax    axay

шем уравнения равновесия пластины и граничные условия к ним в традиционном виде:

8N  5 N xy

—- +--- = 0;

dx    dy и Nxy5v = 0: при x

8N  d N

—^y- + —= 0;

d y d x

N_x 5 u = 0

= a и x = b ;

N_y 5 v = 0

Подставляя (38) и мембранные деформации из выражений (20) в (30), получим

F = 1 B (d u Y_{+ C} ^8u J ^dv x ^d 2 ^w )₊

2 ¹¹ Ja x )     ¹¹ ax J ax    ax ² J

1     I 5v, a² w ।   _п au av

+ D ,, I ^x 2- I + B , ₂ +

2   J ax   ax2 J ax ay au (dvy 2ww)     av (avx a2w)

x

+ I                     I +           I                     I + ax J ay   ay2 J     ay J ax   ax2 J

и N_xy 5 u = 0 при y = c и y =d ;

8 Qx + 8Q,

8x   8y

⁺ p_z = 0; Q ,5 w = 0 x

при x = a и x = b , Q y 5 w = 0 при y = c и y = d ; (37)

8 M x + 8M xy

6x    d y

^{- Q} x = 0; m_x 50 _x = 0

+ D , (^v.		a 2 w	Y5v y -	a 2 w) +
12 J a x		a x 2	JJ 8 y	a y2 J
1	(a v )	2	a v (dv y	a 2 w )
+ - B„ —		+ C-,-,	i	I +
2 22 J a y J		22	a y J a y	d y 2 J
1 „ I	' dv y	2 a w ]	1 „ (	a u a v )
+ D??			+ Bii	—+— I +
2 22 J	a y	a y 2 J	2 33 J	a y a x J

и M „50_х = 0 при x = a и x = b ; xyy

8My + 6M_Xy

6y    d x

- Q y = 0; M y 50 y = 0

и Mxy ⁵⁰ x = ⁰ при y = c и y = d.

При выводе (37) учтена вариация по прогибу от потенциала внешних сил (27). Это привело к появлению нагрузочного члена p_z в третьем уравнении равновесия.

Следует отметить, что уравнения равновесия из системы (37) часто используются при решении статической

, (a u a v )|dv_r^dv y     a ² w ।

33 1 —+— II — x +— y - 2— 1+

J a y a x JJ a y     a x     a x a y J

1 _n⁽av_x^dv _y    a² w Y

+- D 33 1     +     - 2 | +

2     J a y    a x    a x a y J

+ 2 K x v 2 + K y v 2 .            (39)

Таким образом, функционал (28) в общем случае предстанет в следующем виде:

г г (             д и д и д v d v д w д w

U - F l и ; v ; w ; у x ; у _y ;    ; ; ; ; ;;

33 (           y dx dy dx dy dx dy ду, дУ, дуy дуy д2w д2w д2w1 , ,     (°)

—-; —-;—-;—-;—2-;---;—2-I dxdy- dx dy dx dy dx2 dx 5y dy2 J

Вариация функционала (40) имеет вид:

bd

5 U - fff— '' 1^{д и}

. д f    д f

। и +5 v +5 w + д v    д w dF .    dF

+---5у x +---5у ду x       5у y '

d F     ( ду,

+-----1— ---- —-5| —

д ( ду _x d xx ) ( d x

y

d F   „(5и 1

+--".------;------ 51 I +

д(д и /d x ) (d x J

I        d F

^{J+  +}d(d² w /d x²) ^X

(d2 wY     5F   Yd2 w xl I+5|         I r dxdy.

(5 x J    5 ( 5 ² w /d y ² ) (5 y J

В функционале (41) присутствуют вариации вторых производных от прогиба. Соответствующие интегралы должны быть преобразованы следующим образом:

bd     d F    _s (5² w,

• -v5 1      I dxdy -

• J J 5(52w/dx2) (5x J

d     d F      (d w 1 1 b ,,

-J ./.2     2 ,5 - ady — c d(d2w/dx) (5x

d f -

J Ят

d F

c

д x д ( д² w /д x ²)

5 w\ ^b _fldy ⁺

д F

b d d 2

^{J J} d x² 5 ( 5² w /d x² )

5 wdxdy .

Вычислим производные от комплекса F (39) по всем переменным, присутствующим в функционале (40). В результате получим соотношения вида:

д F

x

dF xу x - Qx ; 5(5иdx)- x; dF

—----—- - M x и т. д.

^д ( ^ду x /^{д x} )

Запишем вариацию функционала (41) с учетом преобразованных интегралов (34), (42) и вычисленных производных (43):

bd

• ^{5 U -} J J ( Q x ⁵у x ⁺ Q y ⁵у y ) dxdy ⁺ ac

+J Nx 5 и | a dy — J J 5N-8 и dxdy +J Nxy 5 и | d dx — cac

—        и

a

d

J J dy               J   xy    la acc b d 5N           b             b d dN

— I" I" — xy 5 v dxdy + I" N 5 v I d dx — fl" — xy -5 v dxdy +

• ³¹ d x              ³ y а³ d y

acaac y dbd

+J Mx 5у x | a dy—J J -5-x5у x dxdy+ cac b         d bd dMxy_

+J Mxy 5у x I c dx — J J -5—5у x dxdy + aac y d              b d дM

⁺ J M xy ^5y y I a dy ^— J J    x ⁵у y dxdy ⁺

"" д x

cac ь              ь d dM

+J My 5y Adx- J J а6 у y dxdy aac y s/дw) Ib ,   d дM    \b

— M 5 -- ^b dy + ——x -5 w ^b dy

c ff д 2 M

^{J 1} x

♦ J^

ac ^д x ^д y

c

I ⁵ w I I d

£wdxdy — M 5 — I dx + a " pyj|c bb d д2 M

a 5y bd д2 M„ xy

w d dx — —-^-5wdxdy — ac 5y

d

£ J J C s I ^{5 w} I I b 7

^wdxdy ^— I M xy ⁵| — I a dy ⁺

• ⁴ Id yr c

+ ( ⁵ M xy 5 w|d dx — Ml, 5f—1 | d dx + d ^P wVdy. (44) ^Ja д x ^|c a xy (d x J^{| c} c 5 y । a

Сгруппируем подынтегральные выражения в двойных интегралах с одинаковыми вариациями независимых переменных. Сокращая их на соответствующие вариации, получим уравнения равновесия. Остальные слагаемые в (44) формируют естественные граничные условия:

dNd

—- + —xy- - 0; N,5и - 0 и N„5v - 0 при x = a x dxd dN dN и x = b;     +     - 0; N5v - 0

dy    dx

• и N xy 5 и - 0 при y = c и y = d ;

  д ² М_х x

  
  

  д x

  5 M x + д x

  
  
  
  

d2 Md

+ 2---- ^xy +--- -y - 0;

dx dyd

^{d M} xy     п us(^d w 1

----  15 w - 0; M _v5 1     I - 0;

d y J            ( d x J

, , г I dw ) n,

M 5 — - 0; при x = a и x = b ;

xy

(^d y J

(dM  dmA(

I y +--- x ^ |5 w - 0; M y 5| d w I- 0;

( d y    d x J            (5 y J

S ( d w 1

M xy ⁵l — I^{- 0;} при y = c и y = d ;

( dx J dMx 5Mxy а + л    Qx - 0; M^У;, - 0;

d x      d y                 xvx     -

M xy 5y _y - 0; при x = a и x = b ;

d M„ 5 M_M

+     — Q y - 0; M ,5y - 0;

d y     d x                y y

M xy ⁵У x ^- 0; при y = c и y = d.

Система уравнений равновесия (45) записана для случая, когда нет распределенной нагрузки (а есть, например, только торцевая, которая учитывается статическими граничными условиями).

Проблема о деформировании пластин, податливых при трансверсальном сдвиге, с неклассическими граничными условиями слабо изучена. Поэтому соответствующую этой проблеме дифференциальную постановку в определенном смысле можно считать новой, а описанный вывод системы (45) вариационным способом – оригинальным.

Таким образом, сформированы системы уравнений равновесия и соответствующих им граничных условий

(37) и (45) для различных вариантов групп основных кинематических переменных. В первой системе – это u, v, w, θx и θy, во второй – u, v, w, ψx и ψy. Эти системы путем несложных преобразований сводятся одна к другой. Но они имеют самостоятельное значение в ряде случаев. Допустим, если задача расчета пластины решается приближенными методами, например, методом Бубнова– Галеркина. Тогда при выборе в качестве одних из основных переменных углов наклона сечения θx и θy (это имеет смысл сделать при классических вариантах граничных условий) следует работать с системой (37). Если же граничные условия нетрадиционные (защемление со свободным сдвигом или шарнирное опирание с фиксированным сдвигом), то системой (37) нельзя воспользоваться, а нужно рассматривать систему (45), и в качестве основных угловых кинематических переменных назначить ψx и ψy.

Библиографическая ссылка

1. Васильев В. В. Механика конструкций из композиционных материалов. М. : Машиностроение, 1988.

V. A. Nesterov, A. V. Lopatin

DERIVATION OF RESULTING EQUATIONS OF BALANCE OF A PLATE WITH LOW TRANSVERSE SHEAR STIFFNESS

A variational statement of a problem of deformation of a plate with low value of transverse shear stiffness is considered in this article. The derivation of the resulting equations of balance and natural boundary conditions is performed in two optional variants of the basic angular variables: surface normal tilting angles and transverse shear angles.