Вывод выражения энергии деформации оболочки в геометрически нелинейной постановке

В последнее время в производстве ракетнокосмической техники все чаще используются композиционные материалы, которые, обладая большой удельной прочностью и жесткостью, позволяют создавать конструкции высокой степени весового совершенства. Однако композиты, в отличие от традиционных конструкционных материалов, отличаются рядом особенностей, которые усложняют классические расчетные модели. Одной из таких особенностей является низкая сдвиговая жесткость по отношению к трансверсальным напряжениям.

Метод конечных элементов – самый распространенный среди современных численных методов расчета конструкций. В общем случае вывод разрешающих уравнений МКЭ предполагает формирование энергетического функционала полной потенциальной энергии объекта. При решении задачи об устойчивости оболочек необходимо оперировать выражением потенциальной энергии деформации в геометрически нелинейной постановке.

Общее выражение потенциальной энергии деформации запишем на основе уравнения, представленного в [1]:

U ^{— 1} Ш ( ° * а ^А а ⁺ ° в ^А в ⁺ ° ^{А + T} * «P ^A «P ⁺

² ( V ) (1)

+< х ^А _а7+ ^Т вАг ) H 1 H 2 d “ d ^P d Y,

^ а — V1 + 2 А а — 1; ^ p — 7 1 + 2 А р — 1;

^y—л/1+2а;—1

_S * _S * _S *

В выражениях (2) – 1 ; 2 ; 3 – коэффициенты из-

S 1 S 2 S 3

менения величины площадок, первоначально перпендикулярных k 1 , k 2 , k 3 соответственно. Они определяются через компоненты деформации Δ:

*

• —      + 2 _V )■ + 2 \ ) _v ;

S ₁

*

• —    V (1 + 2 А а )(1 + 2 А ) \ ;

S ₂

*

• - 3 — 7(1 + 2 А а )(1 + 2 A p ) — д аp . S ₃

Для компонентов напряжения справедливо соотношение

**

^T ij ^{— Т} ji .

Введем допущение

°,

Т,

*

а

*

' ав

^— ° а ;

*

° p ^— ° p ;

*

G = G

Y Y '

*

^{— Т} ав ; ^Т аY ^{— Т} аY ;

*

^TPy ^{— T}Py .

Оно справедливо при малых величинах ∆, когда комплексы

где коэффициент 1/2 перед интегралом обусловлен линейной зависимостью между напряжениями и деформациями (для линейно-упругого материала); с Щ , ° p , ° Y , A, 2, и т р, — обобщенные компоненты

_Si *     ₁

S i 1 + ^-

можно принять равными единице.

Общие выражения для компонентов деформации ∆ запишем в виде

напряжения. Их выражения записываются следую- щим образом:

* ° а —	S 1 *	°а .	* Т ав	S *	Т ав	* т 1 аY	S * S 1	т v аY
	S 1	1 +^ а ;		S 1	1 +^ в ;			1 +«, ;
* Т ра =	S 2 *	Т ва	* ; ° в	— S 2*	° в    ;	* TPy	— S 2*	TPy   .
	S 2	1 + ^ а		S 2	1 + ^ в		S 2	1 + 5,'
т = Yа	S 3 *	Т Yа	* TyP	— S *	TyP   .	* °Y :	S *	°^- , (2) 1 + 5 ,
	S 3	1 + ^ а ;		S 3	1 + ^ р ;		S 3

А а

^А Р

^— e а ⁺ 2

— во + р 2

^A Y = e Y ⁺ 2

2 ^Г1 Y ^Г1 e + —e n + Q + —e а I 2 ав Y I I 2 аY

„ 2 . L eв + I 2 eав

—

Qy

—

^Q p I

i² Г 1              ) ²

| ⁺ l 2 e Py ^{+ Q} а I

2 Г 1 О Г 1

e Y ⁺ l 2 e аY ^+Q P I ⁺ l 2 e PY

—

Q а I

;

;

где ξ_α, ξ β , ξ_γ – относительные удлинения волокон, первоначально направленных по k ₁, k ₂, k₃ (орты системы координат α, β, γ). Они вычисляются по формулам

An - в n + в । - в n ар ар а I 2 ав

—

^Qy | ⁺ в⁵ I 2 e ав ^T

Г 1

I 2 бщ

—

^Q P I [ 2 e Py ^{+ Q} а I ;

A aY

1 1                  1 1

= e ay + e a I 2 e ay ^+M p l + e y l 2 e ay

—

M

APy

⁺ l 2 e aP ^+M y Jf 2 e py

—

M a l ;

f 1

= e PY ⁺ e P l 2 e PY

—

^M a J ⁺ e y ( 2 e ^P Y ^+M a ] ⁺

—

2 e ^PY +

1 1 f dV dHx 1 1 dW 1 2 „ = — H V2 + + 2 L h2 ( 2 dY dY J H2 dp H2 1 I , d V dH2 11 1 f dW dH 1 H — V —2 — V —2 l. H2 I dY dY J H 2 ( dp dY J dW dp

—

f 1

+ 1 2 e ^a P

—

M y ll 2 e ay +M p j .

Здесь учтено, что для оболочек H 3 = 1.

Для дальнейших преобразований понадобятся выражения для коэффициентов Ламе:

Введем упрощения:

– пренебрежем квадратами и произведениями деформаций e α , e β , e αβ ;

– примем угол поворота Ω γ равным нулю;

– в выражениях трансверсальных деформаций оставим только линейные члены.

В результате вместо (7) получим

I 1 h 1 = A 1 1 ^{1 +}vl ;

i    R 1 j

H, = A, I 1 + —

2     2 1    R 2

_л 1 f 1

^A a = ea ⁺ 2 I 2 e ay

—

x 2                     /               x 2

„      .         1 1 1       „ I ²

^M p l ; ^A p = e p ⁺ 2 I 2 e Py ^{+ M} a l

;

^A aP    e aP ⁺ ( 2 e ay

—

^M p JI 2 e PY ^{+ M} a J ;

^A y    e y ;    ^A ay    e ay ; ^A Py    e Py ^.

Линеаризованные компоненты деформации e α , e γ , e αβ , e αγ , e βγ и проекции угла поворота Ω α ,

e β , Ω β ,

Ω γ можно выразить через проекции перемещения U , V , W :

e _a

1 d U

e e =

:---+

H ₁ da H ₁ H 2 dp

1 d V    1    d H,

+ 2

H 2 dp H 2 H ₃ dy

H v +

W +

1    d H 1

H 1 H 3 dy ¹

1    d H 2

W ,

1 dW 1   dH3tt e =---1---U +

^Y H ₃ dy   H ₃ H ₁ da

H 2 H ₁ da

1 d H 3

U ,

V ,

2м-

2 M y

и следующие кинематические соотношения [2]:

U = u + y0_a ; V = v + y0 p ; W = w ;

.         u   1 d w   „         v

0 a- = Va +-----; 0R = Vr +--- a a R1 A1 da    p p R 2

С учетом (11), (12) и (13) получим:

2 e ^aY

A 1

H 1

—

—

1 d w

A 2 dp

.

„    1 f do / x A 1

M„ = — (u + y0 ) — = ^p H ₁ (da ^v         R ₁ J

1 do u

A 1

-1- X0

H 1 R 1

2 e PY ^+M a

—

A 2

a

da R 1 J

A

= H "

H 2 R 2

^0

—

HA L R ^0a = HA ^ •   ⁰a ) —

A I Y I A 0a ~ 1 +- = ~ U a H1 ( R J H1 Ya

—

0 a ;

¹ e = AT" ( v ₽^{— 0} p^{) —} Ay -^ ⁰ р= - A ²- V ₽ H ₂          H ₂ R ₂     H ₂

A ^A 2 |l ₊ Y I - A 2 _ш 0

^—0рЪ“1 ^{1 +}T       ^u- ⁰ P .

^H 2 I R 2 J ^H 2

—

—

H3H2 dp ePy = eyP eaY = eYa eaP   ePa

= H 2	d	I v	1+ H 1 J H 2	d	f U
H 1	da I	I H2.		dp	I h 1
= H 3	d	f W	1+ H 1 lJ H 3	d	f U
H 1	da	I H 3.		dYl	I H 1,
= H 2	d f	' V 1	+ H 3 H 2	df	W
H 3	dyf	. H 2 J		dpf	H 3

,

,

Соотношения для углов поворота (13) можно записать в следующем виде:

⁰ a =V a ^+O a ;

⁰ P    ^V ' ° ,

где

^O a

u 1 d w

R ₁ A ₁ da ^;

—

v ton = --- ^e    R 2

1 d w

—

A 2 dp

.

;

С учетом (15) выражения для комплексов

1 6         6 можно переписать в виде H2H3 (H3W) —   (H2V) LdP         dY      J ,                                      1                     I 4      1 1                   A1 — C —L2n —W--1 —to ~ aY     P   V a rj a ;

,

2 M_p =

1	d         d ( Hxu ) — ( HW )
H 1 H 3	LdY 1      da 3 J

H 1 H ₂ L

d         d

( ^H 2 V ) — ( ^H 1 U ) . da       dp

1   , о _ f A 2  Ax

T e Py ^{+ M} a = V I ~ ^{— 1} l ^— ° p .

²              I ^H 2 J

С учетом (9) и (10) запишем выражения комплексов, фигурирующих в (8):

Введем еще одно упрощение: в нелинейных членах компонентов деформации положим ψ α = 0 и ψ β = 0, тогда вместо (17) получим

2 e ^aY

— M,

1 d W

'^p 2 H ₁ da

+—f H d U — и H H 1 I ¹ dy dy

—

2 e ^aY

—

^M P = ^—O a ;

2 e PY ^+M a

^— ° P .

—X f U ^d H^ + H ^d U I+ H ₁ (   dy ¹ dy J

1 d W

1 f d W

—

H 1 da

H 1 (da

и H J ; dY J

Подставим (18) в (8) и запишем 1 2                     1 2

^A a e a ⁺ 2 ® a ; ^A p e p ⁺ 2 ° p ;

^A aP    e aP ^{+ to} a ^to p ; ^A y    e у ;

^A ay = e ay ; ^A Py = e Py ^.

Подставим законы распределения перемещений (12) в первое, второе и четвертое соотношения системы (9). В результате получим

e a

A

= H ~ ⁽MYZj ;

или

1 Г Г Г l f 1 2 )    „ . (1

U = — H A, e +— to  + 2 A  e +— tox

11 a         a            12 aal

2 (V) I v 2    7         V 2

1 2 2 f 1 2

^x l ^e P ⁺ 2 ^to P l ⁺ A 22 I ^e P ⁺ 2 ^to P I ^{+ A} 33 ⁽ e aP ^+to a ^to P ) ^{+ (26)} + G aY e aY + G py e Pd H 1 H 2 d a d P d y .

где

^E aP

X p =

e P =

H ( ^E p ⁺ YX p^{) ;}

Подставим в (26) выражения для относительных деформаций (20):

e aP = H ( ^e ap +YX ap ) ⁺ ^ ( ^E pa ⁺ Y X pa ) ,

1 du    v dA. w e =11; a A1 da A1 A2 dP R

1 d v   u d A

E„ =--+--2

^p A ₂ dp A 1 A ₂ da

w

⁺ R ^;

d v    u  d A 1

A 1 da A 1 A ₂ dp 1 d6,

X a

1 d ⁶ p ₊

;

a

A 1 da 6 a d A ,

A 2 дв A 1 A 2 da

^E Pa

1 d u    v  d A 2

A ₂ dP A 1 A ₂ , ⁶ P d A, A 1 A ₂ dP ^;

; Z ap =

1 d9 p

—

6 a

da ;

+ A 33

d A .

A 1 da A 1 A 2 dP ^;

= ' d6 a    ⁶ P d A

^{X Pa} A dP A 1 A da

.

Запишем общее выражение полной энергии деформации (1), заменив в нем компоненты напряжения в соответствии с (6), а компоненты деформации – выражениями (19):

• ¹    eel f ¹ 2 1f .12 1

U = ^— n ^a„ e „ + — to„ + °r,    + ®b + °-, e-, +

• 2    J J J [ ^aV ^a 2 ^aJ    ^PV ^P 2 ^PJ ^{Y Y}     (₂₂)

' A. ( e aP ^{+ to} a ^to p ) ^{+ T} ay e ay ^{+ T} e Py } ^H 1 ^H 2 d ^{a d P d} Y -

Физические соотношения в нелинейной теории имеют вид

• ^П.. ^A 11 ^A a ^{+ A} 12 ^A P ; ^П    A 1 ^A a ⁺ A 2 ^A p ;

T aP = A 33 A aP ,                    (23)

где

• ^A a = e a ⁺ 2 ^to a ; ^A p = e P ⁺ 2 ^to ;

^A aP = e aP ^{+ to} a ^to P ^.

Для трансверсальных напряжений примем линейные соотношения

T aY = G ay e ay ; Т      G py e py .              (24)

Подставим физические соотношения (23), (24) в (22) и получим

U = 1f f [( A ,A 2 + 2 A ,₂A A_B + A ₂A 2 +

11 a         12 a p 22 p

• ² ( V )                                           (25)

^{+ A} 33 ^A aP ⁺ G ay e ay ⁺ G PY e Y ) ^H 1 ^H 2 ^{d a d P d} Y

U = 1 JJJ I A 1

+ A 22

H " ( ^E a +YX a ) + 2 ^to a

A 1

H ( ^ep +YX p ) + 2 ^to P

+ 2 A 12

x

+

+

A 1

TT (^e a +YX a ) ⁺ T^to a H 1 2

H ( ^ep + YX p ) + 2 ^to P ²

^A^ ^{( E} aP ^— YX aP^{) +} H ^{( E} Pa

—

x

+

YX Pa ) + ^to a ^to P

+

+ G ay e ay + G py e 2 } H 1 H 2 d a d P d y .

Выполним в (27) следующие преобразования. Выделим комплексы

A 1

— E_a +-to_a ;

H ₁ ^a 2 ^a

-A L _E

H 1 ^aP

a ^;

A 1

^E p ⁺2^to p ;

H ₂    2

⁺ 2Г ^E Pa ^+to a ^to P .

H ₂

Это позволит записать квадраты и произведения нелинейных деформаций в виде

a

x у

^X a

A       ¹ 2 I        A    I A       ¹ 2 I    2 A 2

TT"^Ea+^^toa I ^{+ 2}Y27Xa|27^^^ | + Y 232Xa ;

H 1      ²    7      H 1    V H 1      ²    7 H 1

2      A 2

^ap = 1 1T^E'

V H 2

• p

• 1    I A

+ —to„  + 2 y -2- x

• 2    ^P7      H 2

I A ,1 21 , 2 A 2 2 ^x X p|tt-^ep + 2 ^to p I+y H rXp ;

A 2

H

A AR =[—e a P т т a

V ^H 1

1 ⁺-to 2

2 ^a

A 1 ₂) A

—E_B+—to 2 +y — x ^p 2 ^PJ H 1

H 2

1 I A A

H 2 ^SP ⁺ 2 ^{to P} J ^{+ Y} H 2 4 H ^E a ⁺ 2 ^to a j ^{+ Y} H H 2 ^X a ^X P ;

A 2

A 2

A 1

2 I A       A             I

^A aP = I 77^EaP ⁺77^EPa ^+to a ^to p I ⁺

V H 1       H 2            7

A 1        .A      If A 1       . A 2               I .

_H^XaP ⁺ tj ^X Pa I I tt ^E aP + _H ^E Pa ^{+ to} a ^to p I ⁺

H 1       H 2     7V H 1      H 2           7

2 I A,         A      I

+Y I 17 X aP ⁺ 7Г X pa l

V H 1       H 2    7

.

Заменим истинные деформации трансверсального сдвига их осредненными значениями ea,=Ya ;    epY=Vp .

Перепишем (27) с учетом (28), (29):

U = 1 JJJU

² ( V) I

A 1 — £ + -«' a 2

H 1

2 1 A A

> 2  + 2y —L x a l)        H1

² A • a l ⁺ Y “Y X a )     H 1

+

⁺ A 22

I A1

X Xa l "A" £a+T«i I H1

A 1 2Y A A I a 1 Y A ²

—8_р+-_Юр l ⁺ 2Y—X p l — ^£ p +-« 2 l+Y -2

2 )     H 2 V H 2    2 )

X +

H 2

+2Y

A 1

^A 1       1 2

H 1 ^a 2 ^a

A 1 21 A I A 1 21 —&.+—«> +y—x„ — &+—«2 + .H 2 ^p 2 ^) H , ^M| H 2 ^p 2 ^)

A I A 1 2 1 AAA -1 +Y —— Xr — £„ + — to„ +Y —¹    x„Xr 1 +

H ₂ ^pl H 1 ^a 2 ^a)     H 1 H ₂ ^{a p ]}

^{+ A} 33

A A          1  „ I A A 1

^S a₽ ⁺ AA ^£ pa ⁺ « a « p l ^{+ 2} Yl ' Xap ⁺ AA X pa l ^X

H 1 H 2            )     V H 1 H 2     )

I A A             1     I A A 1

^X | "27 ^S aP ⁺ 27 ^S Pa ⁺ ® a ® p l + Y l "Y" X ap ⁺ AA X pa l

V H 1 H 2            )    V H 1 H 2     )

+

+ G a v 2 + G p _YV p } H 1 H 2 d a d в d Y -

Запишем (30) для случая, когда не учитывается изменение метрики по толщине:

U = 1 JJJ { A

² ( V ) I

1 2              1 222

^£ a ⁺ 2 « a ) ^{+ 2} YX x K⁺ 2 « a ) ⁺ YX a

⁺ A 22

. 12 1                     I             12 12 2.

£p+2«p| + 2YXp l ep+T®p l + Y Xp + 2   )          V     2

1 2            .1 2                I .1 2

^£ a ⁺ 2 « a l l ^£ p ⁺ 2 ® p l + Y ^X a l £ p ⁺ 2 « p l ⁺

I

⁺ YX p l ^£ a ⁺ 2 ®J + YX_aX p ⁺

^{+ A} 33 [ ( ^£ ap ^{+ £} pa ⁺ « a « p ^ ^{+ 2} Y ( X ap ⁺ X pa ) ( ^£ ap ^{+ £} pa ⁺ « a « p ) ⁺ +Y 2 ( X ap ⁺ X pa ) ² ] ⁺ G Y ⁺ G Y } ^{d a d} P ^d Y -

Проинтегрируем (31) по толщине оболочки:

1     f    I      1   Л2           I

^{U =} 7.fj| ^B 11 l ^£ a ⁺7 ® a l ^{+ 2} C uX a l ^£ a ⁺ T ® a l ⁺ ^ X . +

2    I    v     2   )           V     2

I .1 2 1'               (       121

⁺ B 22 l ^£ p ⁺ 2 « p ) ^{+ 2 C} 22 ^X p l ^£ p ⁺ 2 ® p ) ^{+ D} 22 ^X p ⁺

+ 2 B 12 | ^£ a ⁺ 2 ® a l| ^£ p ⁺ 2 « p ) ^{+ 2 C} 12 ^X a | ^£ p ⁺ 2 « p ^ ^{+ (32)}

^{+ 2 C} 12 X p ^I £ a ⁺ 2 « a j ^{+ 2} D 12 X a X p ⁺ B 33 ^ap ⁺ £ pa ⁺ « a « p ^ ⁺

^{+ 2 C} 33 ^{( x} ap ^{+ X} pa ) ^{( £} ap ^{+ £} pa ⁺ « a « p ) ⁺

^{+ D} 33 ( X ap ⁺ X pa ) ^{2 + K} a V a ^{+ K} pY } ^d « ^{d p} -

Рассмотрим физические соотношения (23). Вычислим с их помощью усилия и моменты по формулам

N -    / ⁿ - ^d y ; N ap = J ^T ap ^d y ; N p = J ⁿ . ^d y ;

—s                          — s— s

Q a = J ^T a _Y ^d Y ; Q p = J T p _Y d Y ;

—s—

^M a = J Y^ a ^d Y ; M ap = J Y ^T „. ^d Y ;

—s—

Mp=Jy^p dY-(33)

— s

Подставим в (33) соотношения для напряжений (23), в которых предварительно выразим ∆ α , ∆ β , ∆ αβ через относительные деформации e α , e β , e αβ . Последние, в свою очередь, выразим через обобщенные деформации ε α , ε β , ε αβ , ε βα , χ α , χ β , χ αβ , χ βα , т. е. используя формулы (4.20), в которых не будем учитывать изменение метрики по толщине:

e a = ^£ a +YX a ; e p = ^£ p ⁺ YX p ;

eap=£ap+£pa+Y (Xap + Xpa )-

Тогда физические соотношения (23) примут вид

I              11

^ a = ^A 11 l ^£ a ⁺ Y X a ⁺ 2 « a ) ^{+ A} 12 l ^£ p ⁺ YX p ⁺ 2 « p ) ^;

I              1 2) I

^ p = ^A 21 l ^£ a +YX a + 2 « a i ^{+ A} 22 l ^£ p ⁺ YX p ⁺ 2 « p ) ; ⁽³⁵⁾

^T ap = ^A 33 |^^£ ap ^{+ £} pa ⁺ Y ^{( x} ap ^{+ X} pa ) ⁺ « a « p ] ^-

Подставим (35) в (33) и получим

I 1 2 1 I 1 2 1

Na   B11 l £a + 2 «a ) + B12 l £p + 2 «p ) + C11Xa + C12Xp

_    „ I 1 2 ) „ I 1 2 ) „

Np   B21 l £a + 2 «a ) + В22 l £p + 2 «p ) + C21Xa + C22Xp

^N ap = ^В 33 ( ^£ ap ^{+ £} pa ⁺ « a « p ) ^{+ C} 33 ( ^X ap ^{+ X} pa ) ; ⁽³⁶⁾

„ I     12 )      I     12)„

Ma   C11 l£a + 2 «a ) + C12 l £p + 2 «p ) + D11Xa+ D12Xp

_  I     12 )      I     12)„

Mp   C21 l £a + 2 «a ) + C22 l £p + 2 «p ) + D21Xa + D22Xp

^M ap = ^C 33 ( ^£ ap ^{+ £} pa ⁺ « a « p ) ^{+ D} 33 ( ^X ap ^{+ X} pa ) ;

Q a = K a V a ; Q p = K p V p -

С учетом (36) выражение для потенциальной энергии деформации можно записать в следующем виде:

If flar!           1 2 1 I 1 2 1

^U = 2 J J 1 ^N a l ^£ a ⁺ 2 « a ) ^{+ N} p l ^£ p ⁺ 2 « p ) ⁺

^{+ N} ap ( ^£ ap ^{+ £} pa ⁺ « a « p ) ^{+ M} a X a ^{+ M} p X p ^{+    (37)}

^{+ M} ap ⁽ X ap ⁺ X pa ) ^{+ Q} a V a ^{+ Q} p V p } ^d « ^{d p} -

Функционал (37) является выражением потенциальной энергии деформации, которое следует использовать при решении нелинейных задач о деформировании оболочек с низкой трансверсальной сдвиговой жесткостью.

Оно также необходимо для получения разрешающих уравнений устойчивости оболочек, в расчетных моделях которых учитывается трансверсальный сдвиг.