Взаимодействие электромагнитного излучения с неоднородным слоем магнитодиэлектрика

В области практических приложений теории электромагнитных волн наиболее характерны задачи об их взаимодействии с неоднородными и нелинейными средами [1]. В последнее время наиболее актуальным является вопрос о создании малоотражающих покрытий, применяемых в качестве экранирования большинства приборов и устройств техники СВЧ от воздействия электромагнитного излучения [2]. Так, например, в работе [3] предложено использование экспоненциально неоднородного слоя магнитодиэлектрика, нанесенного на металл, для создания практически не отражающего радиоволны покрытия. В настоящей работе проведен численный анализ отражений от такого слоя, но при произвольном угле падения электромагнитной волны с Е и H-поляризацией, причем величину волнового сопротивления среды, на которую нанесен магнитодиэлектрик, мы можем варьировать.

Наклонное падение электромагнитной волны с Н–поляризацией на слой неоднородного магнитодиэлектрика

Рассмотрим электродинамическую систему, представляющую собой слой магнитодиэлектрика, расположенный в координатных плоскостях декартовой системы координат (рис.1).

Левая граница слоя находится в плоскости .г = О , а правая – х = L. В дальнейшем пространство х < О , будем обозначать как область

• 1,    а пространство х> L , как область 2. В области 1 на границу слоя под углом 6 падает плоская волна с Н-поляризацией, с напяжен-ностью электрического Е, = [“ ^ESX ’ °’ ^Е SZ ] и магнитного H_s=\o,-H_sy,o\ полей, описываемыми выражениями:

E_sx(x,z,n = -E_o sine _ey("^oxcos6-A₀zsinO),

E_sz(x,z,t) = E_o cos6 ejH-^xcosQ-kozsme),

H ,(x = 0 = -— _eV(^(O,-^0-^YCOse-^0^zsin6) ^Z0

где ^Z0 l^o – волновое сопротивление области 1, ^0 – волновое число в вакууме.

Рис. 1. Наклонное падение электромагнитной волны Н-поляризации на слой неоднородного магнитодиэлектрика

Кроме падающей волны в области 1 в общем случае существует также отраженная волна, имеющая y -компоненту магнитного поля и x -компоненту, z -компоненту напряженности электрического поля.

E_rx(x,z,n - "Eq R_h sinO ^(«r+AoxeosO-^zsinO), E^z^-Eq R_h cosO _e7>'+A₀xcosO-A₀zsinO),

EI t _e7(^oV+A-₍₎.rcos0-A_ozsin9)

°           Zq 1

где – коэффициент отражения в случае Н-поляризации.

В области 2 существует только одна бегущая волна:

Etx(x,z,f) = -Eq Tb sine e^' Lx ^~kt^ , Etz

ntyAx.z.i) — i b e                      , где – коэффициент прохождения в случае Н-поляризации, – волновое число в области 2,

– волновое сопротивление области 2.

В неоднородном слое магнитодиэлектрика пространственные зависимости y-составляющей напряженности магнитного поля и z-составляющей напряженности электрического поля описываются первыми двумя уравнениями Максвелла, которые для гармонических полей имеют вид:

dHv

—^ = -j®EoE(.x)E. ax d E„

jWo

Uto -

sin2 0 eCO

Для удобства дальнейших расчетов проведем нормировку этой системы.

c, = — - нормированная координата,

Представим уравнения Максвелла в компактном виде:

^ = 4'49^©,

-ак = А^№®.

Для уравнений (1), исходя из условий непрерывности тангенциальных составляющих напряженностей полей, записываются следующие граничные условия:

У_и (0) = 1 + R_h, U_h (0) = (1 - R_h) cos 0,

Vh^ = ^T_h, (7_/7(l) = r_/?cosO.

Наклонное падение электромагнитной волны с Е–поляризацией на слой неоднородного магнитодиэлектрика

Падающая на слой под углом к его нормали электромагнитная волна Е-поляризации имеет только одну составляющую вектора напряженности электрического поля              и две составляющих вектора напряженности магнитного поля                  . Лежащие в плос кости слоя проекции векторов описываются выражениями:

Z ^ I J —         Dill V <>                                > zo

H 7 Л          J^t-k0 xcosQ-k0 zsinQ)

Л A ^^ у ^ Z ^ I j           V/ xj D kS                                            ^

zo

E_sv(x,z,f) = Eq e^^mt~^k'^{> xcosQ}~^k0 -^sin0) _

Соответствующие проекции в отраженной волне записываются в виде:

К -KqL - нормированное волновое число,

Uh^ =

ЕД»

Eq

нормированная напряжен -

ность

электрического

поля,

Vh^ =

H^Zq

Eq

нормированная напря-

женность магнитного поля.

Уравнения Максвелла можно записать следующим образом:

^ = ~j к е® U_h (О = А^к ® U_h ®,

sin2 0

d^

Vh® = Ak®yh®.

H_rx(x,z,t) = ~^R_e sine eV(»/+A₀ xcose-A₀zsinO), ^zo

H_r,(x,z, tA = -^R_e cose е^Яю,+ко^vcos6^o-"^sin6), ^zo

E_ry(x,z,t) = Eq R_e e^j^^t+k» ^x^-^k^ ^zsin0), где – коэффициент отражения в случае Е-по-ляризации.

Для прошедшей слой волны имеем:

H_tAx,z,tA = -^r_eSin6e^j(^-^k' ^cose-A, zsin 6),

H_t-Ax,z,0 = — T_e cose _ejW-k_txc_OsQ-k_tzs'_mQA, ^zt

F (y 7 A=F^T _pjt-k_fx cos9-k_tzsm9A

где – коэффициент прохождения в случае Е-поляризации, k_t – волновое число в области 2, z_t – волновое сопротивление области 2.

В неоднородном слое магнитодиэлектрика пространственные зависимости y-составляющей напряженности электрического поля и z-составляющей напряженности магнитного поля описываются первыми двумя уравнениями Максвелла, которые для гармонических полей имеют вид:

dEv

—-^ = -jto^0 \x(x)Hz, d x

dH.

-j ®E₀

S(X) -

sin2 6

Для удобства дальнейших расчетов проведем нормировку этой системы.

е\У         – нормированная напряжен-

Eq ность электрического поля, Ие®=^      –

£0

нормированная напряженность магнитного поля.

Уравнения Максвелла можно записать следующим образом:

dUe

= -jK^)Ke(y=4©Keax

dVe

-jK

iO-

sin2 6 To"

Представим уравнения Максвелла в компактном виде:

волнового числа ^0 можно рассчитать частотные зависимости коэффициентов отражения ^h ^ ^e слоя. Однако (1) и (3) являются уравнениями с переменными коэффициентами, и их аналитическое решение возможно только для небольшого числа модельных зависимостей           .

Численное решение задачи целесообразно проводить, перейдя от уравнений (1), (3) к дифференциальным уравнениям [4] для коэффициентов отражения от усеченного слоя, расположенного между текущей плоскостью L и задней границе слоя ^ = 1. Для уравнений (3) переход к уравнению для обобщенного коэффициента отражения выглядит следующим образом.

Предположим, что решения связаны следующей зависимостью:

Ke® = ae®Ue®.

Тогда из граничных условий (4) следует, что cos0-ae(0) cosO + ae(0)

Распространим последнюю связь на произвольное сечение :

^(^cose-a,® cos6 + Ug^

В предположении, что слева от рассматриваемой плоскости магнитодиэлектрик отсутствует, Re® представляет собой коэффициент отражения от усеченного слоя. На основе системы (3) нетрудно записать уравнение для ^.

—EL = A^Ve®Y

(3) dV

—f = A^Ue®.

Для уравнений (3), исходя из условий непрерывности тангенциальных составляющих напряженностей полей, записываются следующие граничные условия:

U_e^ = \ + R_e, K_e(0) = (l-7?_e)cos6,

Ue^=Te, Ve^) = ^Tecos^.

dR_e _ 1 d^ 2cos6

[{1 - R_e }² cos² 0 A® - 4 {1 + R_e }² ] (5)

Аналогичным образом получаем уравнение для коэффициента отражения волны Н-поляри- зации:

^-^ COS ®^1 ^2 ^ + ^Л) ] (6)

Нелинейные уравнения (5), (6) численно интегрируются до ^ = 0 с начальными условиями вида:

Дифференциальное уравнение для коэффициента отражения

Системы уравнений (1) и (3) вместе с условиями (2) и (4) составляют граничные задачи, решение которых позволяет определять волновые поля в слое магнитодиэлектрика. При изменении

Значения ReJ,® дают истинные величины коэффициентов отражения.Таким образом,граничная задача для волновых полей сведена к задаче Коши для обобщенного коэффициента отражения.Отметим,что в условиях (7)мы можем варьировать значение волнового сопротивления области 2.Например,можно смо- делировать область 2как металл,то есть           .

При этом условия (7) могут быть записаны в виде:

^/7(Г) = -l,7?e(l) = 1.

Полученные уравнения (5), (6) представляют собой комплексное уравнение Риккати, и при его интегрировании можно использовать одно из численных частных решений [5].

Результаты расчетов и выводы

В качестве примера применения предложенного метода приведем результаты расчетов для экспоненциального слоя магнитодиэлектрика, задаваемого следующим образом:

sfe) = s(o)exp(p ^), p(^) = p(o)exp(- p ^), где        – начальные значения проницаемос- тей на поверхности слоя,

На рис. 2приведены графики частотных зависимостей модулей коэффициентов отражения для значений параметров слоя s(o) = 2-jO,2, p(o) = l,5- и угле падения Данные частотной зависимости могут служить в экспериментах по электромагнитной диагностикеслоямагнитодиэлек-трика,располагающегося на поверхности металла.

Рис. 2. Частотные зависимости модулей коэффициентов отражения волны Е и Н-поляризации

На рис. 3 приведены графики угловых зависимостей модулей коэффициентов отражения для тех же значений параметров слоя и нормированной частоте

Рис. 3. Угловые зависимости модулей коэффициентов отражения волны Е и Н-поляризации