Взаимодействие штампов на ортотропном полупространстве

Введение. Уравнения упругого равновесия и закон Гука для ортотропного тела описаны в монографии [1]. Примеры ортотропных материалов даны в работах [2, 3]. Интегральное уравнение (ИУ) трехмерной контактной задачи для ортотропного полупространства, ядро которого выражено через двукратный интеграл, и его точное решение для кругового штампа впервые было получено А. О. Ватульяном [4]. В работах [5, 6] предложен метод освобождения от квадратур в ядре ИУ для трансверсально изотропного полупространства, основанный на теории обобщенных функций и применимый также для ортотропного полупространства. В результате существенно упрощается расчет и регуляризация ядра ИУ, что и позволяет применить для решения контактных задач метод Галанова [7]. Исследовались точные решения контактных задач [8, 9] и взаимодействие штампов [10] для трансверсально изотропного полупространства. Цель настоящего исследования — изучить взаимодействие двух одинаковых штампов на ортотропном полупространстве.

*

∗∗

Контактная задача. В декартовых координатах рассмотрим ортотропное упругое полупространство z≥0. Оси упругой симметрии совпадают с осями координат. Закон Гука в прямой форме (выражения напряжений через деформации) включает 9 независимых упругих параметров cii (i =1, 2, 3, 4, 5, 6), c 12, c 13, c23 [1]. Пусть при z=0 в полупространство внедряются два одинаковых абсолютно жестких штампа (эллиптические параболоиды, вершины которых расположены на оси x), основания которых описываются функциями f± (x, y) =

( x ± h )²     y ²

2 R     2 R ^,

R ₁ ≥ R ₂.

Пусть задача симметрична относительно оси у . Штампы вдавливаются без перекоса одинаковыми силами P , испытывая осадку 5 . При заданных упругих параметрах, величинах R 1 , R ₂ , h и осадке 5 требуется определить области контакта Q ± , контактное давление q ( x , у ) =g z ( x , у ,0)/ c ₃₃ и силу P .

С учетом симметрии задачи q(-x,у)=q(x,у). Тогда ИУ задачи можно свести к ИУ на одном участке. После замен x ,= x - h, q, (x,, y) = q (x, y), Q, ^ Q-, это ИУ можно переписать в форме (звездочки далее опускаем):

Лqfen)[к(n-У,^-x) + K(n-У,^ + x + 2h)]d^dП= 2n[5-f(x,y)], (x,y) eQ,

Ω f (x, y) = 2L_ + JL_,  R > R .

2R1   2R2      12

Ядро ИУ (1) представимо в форме свободной от квадратур:

a ₀ µ ₁ µ ₂ µ ₃ ( µ ₁ +µ ₂ )( µ ₂ + µ ₃ )( µ ₃ +µ ₁ ) F ( s ₁ ² , s ₂ ² )

1,  2 r      p1µ1µ2µ3 -p2(µ1 +µ2 +µ3)

r = u1 +u2 , s1 = cosϕ, s2 = sin ϕ, p1 = a 0[A1 5 + 2(2y 6 +Y3  Y 7Y 8) 51 5 2 + A 25 2 ], p2 = -(γ5s12+ γ4s22)[γ6(Δ1s14 +Δ2s24)+(∆-2γ3γ6 +2γ6γ7γ8)s12s22].

Здесь ц1, ц2, ц3 — корни уравнения а0ц6 + а2ц4 + а4ц2 + a6 = 0, Reцk >0, а0 = y4Y5,                                 (3)

a2 = -[Y4(A1 - 2Y5Y7)+ Y5Y6]52 - [Y5 (A2 - 2Y4Ys)+ Y4Y6]52, a4 = [Y6 (A1 - 2Y5Y7 ) + Y1Y4Y5]54 + [Y6(A2 - 2Y4Ys) + Y2Y4Y5]54 +

22 Δ

+ 251 52 [y + Y9 (Y4 + Ys)(Y5 + Y7)+ Y4Y5Y6 - Y3Y7Y8 - Y1Y4Y8 - Y2Y5Y7 - Y3Y6], a6 =-(Y552 +Y45l)[Y6(Y154 +Y252)+ (Y1Y2 - 2Y3Y6 -Y2)5252],

^Y j = c jj c 33 , j = ¹ , ² ,4,5,6, ^Y 3 = ^c 12 c 33 , ^Y 7 = ^c 13 c 33 , ^y 8 = c 23 c 33 , ^y 9 =^y 3 ^+Y 6 ,

^A 1 =Y 1 -Y ²,   ^A 2 =Y 2 -Y 2 , ^A = c 333 ^det| \cm«\^ n , m = ^1,2, 3-

При вычислении ядра (2) в каждой точке приходится решать новое кубическое характеристическое уравнение (по формулам Кардано), получающееся из уравнения (3).

В табл. 1 даны значения безразмерных параметров y j ( j' = 1, 2, „., 8) (3) для ряда материалов [2, 3].

Для решения ИУ (3) при условии q ( x , у ) = 0, ( x , у ) edQ , используем метод нелинейных граничных ИУ типа Гаммерштейна, позволяющий одновременно определить область контакта и контактное давление. Суть метода подробно изложена в работах [7, 10].

Предположим, что область контакта Q в ИУ (3) целиком содержится в прямоугольнике

S = ^{{| x} 1 ^ a 0 , l y 1 ^ b 0 }.

Таблица 1

Материал	γ 1	γ 2	γ 3	γ 4	γ 5	γ 6	γ 7	γ 8
Топаз, Al 2 ( F , OH ) SiO 4	0,956	1,183	0,427	0,366	0,451	0,444	0,288	0,298
Ангидрит, CaSO 4	0,838	1,652	0,147	0,290	0,237	0,0827	0,136	0,283
Сера, S	0,497	0,424	0,275	0,0890	0,180	0,157	0,354	0,329
Барит, BaSO 4	0,832	0,757	0,428	0,112	0,251	0,240	0,283	0,266
Целестин, SrSO 4	0,812	0,825	0,601	0,105	0,217	0,207	0,470	0,481
Вольфрамит, ( Mn , Fe ) WO 4	0,758	0,719	0,358	0,216	0,271	0,0871	0,341	0,295
Сегнетова соль, NaK ( C 4 H 4 O 6 ) ⋅ 4 H 2 O	0,687	1,027	0,380	0,361	0,0865	0,264	0,313	0,394
Ясень белый	0,162	0,104	0,0628	0,0702	0,0994	0	0,0878	0,0736
Береза желтая	0,109	0,0698	0,0484	0,0637	0,0693	0,0159	0,0686	0,0532
Дуб красный	0,181	0,0958	0,0559	0,0760	0,0835	0	0,0885	0,0631
Грецкий орех черный	0,142	0,0749	0,0575	0,0558	0,0765	0,0189	0,107	0,0759
Лиственница западная	0,0915	0,0753	0,0322	0,0690	0,0630	0,0070	0,0414	0,0312
Сосна широкохвойная	0,117	0,0633	0,0402	0,0600	0,0710	0,0120	0,0536	0,0312

Значения характеристик (безразмерные)

Прямоугольник S покроем равномерной сеткой из m узлов с шагами h 1 по оси x и h 2 по оси y . При расчете значений ядра в этих узлах его особенности сглаживались по формулам

Й^- x ⁾² + ( n- y ) ² ^£^- x ⁾² + ( n ^- y ) ² +3 * , 3 * = hhr ■

Регуляризация (4) обеспечивает сходимость метода и отладку программы, давая хорошее совпадение с точным решением для одного эллиптического параболоида, которое имеет вид

q ⁽ x , y ) = q о  ¹

-

x ² a?

-

2            2      2

y r, ° : x- + ^ = 1, b ²        a ²    b^г

I       2"

P = ^q 0Щ¹ —“ a

Ω

-

y Д-^ Дл> — ²

2 dxdy —   n abq о ,

где

∞

„ abq            c (ф) dф                          2.

3 — ——                       , c ( ф ) — F (cos ² ф ,sin ² ф ),

2     2       22

о V a cos ф + b sin ф

R^   c     a ²

2 — , -    +— 3

Rx d   1RX Ж

2 n

c=∫

c (ф)cos2 ф dф r 7    2      .7  ,7/7 ,

[ e cos ф + sin ф ]

2 n

d—f

c (ф)sin2 ф dф r 7    7      .7  ,7/7 ,

[ e cos ф + sin ф ]

a

e —

b

■

При заданных величинах δ , R 1 , R 2 сперва из формулы (6) для R 2 / R 1 следует найти ε , а затем определить полуоси эллипса контакта a и b из следующей формулы (6). Величина q 0 далее находится из первой формулы (6).

Отметим, что даже при вдавливании кругового штампа ( R 1 = R 2 ) область контакта в решении (5) будет в общем случае эллиптической.

Численный анализ. При расчетах брали a 0 = b 0 (прямоугольник S ― квадрат). Число узлов бралось от 81 до 289 (при этом наибольшая погрешность вычислений наблюдается вблизи границы области контакта).

Введем безразмерные обозначения (штрихи далее опускаем; контактное давление в (3) уже является безразмерным)

xyδ R  R abP x' — —, y— —, 3' — —, Ri' — -1, R2' — ^, a' — —, b' — —, P' — —■ a 0      a 0      a 0       a 0        a 0      a 0      a 0       a 0

В табл. 2 приведены значения q 0 = q (0,0) и P для случая вдавливания круговых параболоидов ( R 1 = R 2 = 0,5) при 5 = 1. Случай h = » соответствует вдавливанию только одного штампа.

Как показывают расчеты, давление и сила возрастают с ростом осадки штампов. При сближении штампов (с уменьшением значения h ) проявляется сложный характер взаимодействия штампов: функция распределения контактных давлений становится несимметричной, уменьшаются значения давления и силы.

Таблица 2

Значения давления и силы

Материал	h = »		h = 5		h = 1,1
	q 0	P	q 0	P	q 0	P
Топаз	0,886	0,922	0,873	0,881	0,836	0,763
Ангидрит	0,758	0,788	0,748	0,757	0,720	0,661
Сера	0,514	0,531	0,506	0,504	0,481	0,433
Барит	0,636	0,656	0,626	0,623	0,595	0,534
Целестин	0,557	0,575	0,548	0,546	0,521	0,468
Вольфрамит	0,695	0,724	0,685	0,691	0,656	0,599
Сегнетова соль	0,652	0,663	0,645	0,640	0,622	0,572
Ясень	0,433	0,450	0,426	0,429	0,408	0,371
Береза	0,393	0,409	0,387	0,391	0,371	0,339
Дуб	0,425	0,442	0,418	0,422	0,401	0,366
Орех	0,392	0,407	0,386	0,388	0,369	0,335
Лиственница	0,388	0,404	0,383	0,387	0,367	0,337
Сосна	0,391	0,406	0,385	0,388	0,368	0,336

Материалы из табл. 1 могут быть разделены на 2 типа. К первому типу относятся материалы, для которых выполнено следующее: если к поверхности полупространства из этого материала в начале координат приложена сосредоточенная сила ( q ( x,у )= 5 ( x ) 5 ( y )), то нормальное перемещение поверхности в точке x = 0, у = 1 будет больше, чем в точке x = 1, у = 0 (ангидрит, сегнетова соль и лиственница). Для остальных материалов (второго типа) больше будет перемещение в точке x = 1, у = 0. В случае h = o (при внедрении одного кругового параболоида) область контакта вытягивается вдоль той оси, на которой меньше нормальные перемещения точек равноудаленных от начала координат, где приложена нормальная сосредоточенная сила.

Как показывают расчеты области контакта, сделанные для сегнетовой соли и барита ( R 1 = R 2 = 0,5, 5 = 1), в сравнении со случаем одного штампа ( h = o ) взаимодействие близко расположенных штампов ( h = 1,1) приводит к уменьшению площади области контакта под каждым штампом (при заданной осадке).

Выводы. Представление ядра ИУ в форме, свободной от квадратур, позволяет эффективно исследовать взаимодействие штампов на ортотропном полупространстве. Аналогично может быть исследован случай, когда вершины штампа расположены на оси y . Развитый метод также может быть применен для случая конических, пирамидальных и других штампов. С практической точки зрения наиболее важными представляются расчеты на контактную прочность для многочисленных пород древесины, которые обладают ортотропной структурой.