Взаимосвязь опорных условий слабой выпуклости для множеств в банаховых пространствах

Анализ слабо выпуклых множеств и функций позволяет применять методы выпуклого анализа, к невыпуклым объектам, что весьма, актуально в невыпуклых задачах оптимизации и аппроксимации. Определение слабо выпуклого множества, можно дать различными неэквивалентными способами. В результате возникают соответствующие классы слабо выпуклых множеств, обладающих похожими, по отличающимися свойствами. В работах [1, 2] рассматривались некоторые классы слабо выпуклых множеств, в частности, класс множеств, удовлетворяющих опорному условию слабой выпуклости. Указанное условие в настоящей работе называется P -опорным условием слабой выпуклости, что объясняется тем, что мы будем также рассматривать и другое, Ж опорное условие слабой выпуклости. P -опорное условие определяется через проекцию, а Ж опорное условие — через нормальный конус. Оба эти условия естественным образом возникают при рассмотрении слабо выпуклых множеств. Предмет настоящей работы состоит в изучении взаимосвязи этих двух опорных условий для множеств в банаховых пространствах.

I.    Основные определения

Пусть E — нормированное пространство. Через int А и дА будем обозначать соответственно внутренность и границу множества А С E. Через h p, x i обозначим значение (функционала. p е E* на. векторе x е E. Для вектора, a е E и (функционала. p 0 е E* через B r ( a ) и B R ( p 0) обозначим шары с радиусом R в пространствах E, E* соответственно:

B R ( a ) = { x е E : || x — a | 6 R } ,

B R ( p o) = { p е E* : | p — p о | 6 R } .

Определение 1.1. Модулем выпуклости нормированного пространства E называется функция

5 е : (0 , 2] ^ R, определяемая формулой

5 е ( е ) =

= ⁱⁿf|l ^{— | Х} + y ^{1 :} x,y ^е Bi⁽⁰⁾ , ^{|x —} у \\ >  ^е| .

Нормированное пространство E называется равномерно выпуклым, если 5E ( е ) >  0 для любого е е е (0 , 2].

Определение 1.2. Множество X С E называется равномерно выпуклым, если

V е> 0 3 5> 0: V x 1 ,x 2 е X ||x 1 — x 2 1 | >  е ^

^ B , ( x ^+ x i ⁾ С X.

Заметим, что пространство E равномерно выпукло тогда, и только тогда, когда, множество B1(0) равномерно выпукло.

Определение 1.3. Модулем гладкости нормированного пространства E называется функция %_Е : [0 , + го ) ^ R, определяемая формулой

% е ^{( т} ) =

= sup{M y i + ^ x ^ y¹ — 1: || x | | = 1 , l y l = т I .

Нормированное пространство E называется равномерно гладким, если lim τ→+0

% e ^{( т} )

τ

= 0 .

Заметим, что функция %_Е — выпуклая, возрастающая и %_Е (0) = 0 для любого банахова прост ранства. E. а значит, и (функция т ^ % ^E ( ^т ) — воз растающая (см. [3], § 4, гл. 3).

Определение 1.4. Функция f : E ^ R называется дифференцируемой по Фреше в точке x 0 е е E- если существует (функционал p е E* . называ емый производной Фреше функции f в точке x 0, удовлетворяющий условию

V е >  0 3 5 >  0 : V x е B_s ( x 0)

I f ( x ) — f ( x о) — h p,x — x о il <  е^ — x о || .

* Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант 10-01-00139, ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» и АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы».

Определение 1.5. Будем говорить, что норма, пространства Е дифференцируема но Фреше, если она. дифференцируема, по Фреше в каждой точке х 0 Е д В 1 (0)

Определение 1.6. Будем говорить, что функционал р Е Е* является двойственным вектору х Е Е, а вектор х будем называть двойственным функционалу р . ее ли (p,x) = ||рф • ||х| |. Множество всех функционалов, двойственных вектору х , будем обозначать через J ( х ). Обозначим J 1( х ) = = J ( х ) П д В * (0).

В силу теоремы Хана-Банаха. [4, теорема. 3.2] J 1 ( х ) = 0 для любого х Е Е. Заметим, что для рефлексивного банахова, пространства, для любого функционала р Е Е* существует двойственный ему ненулевой вектор из Е. Известно, что если норма пространства Е дифференцируема по Фреше в точке х 0 Е Е, то производная Фреше в точке х о нормы является единственным элементом множества. J 1 ( х о ).

Всякое равномерно гладкое пространство является пространством с дифференцируемой по Фреше нормой. Любое равномерно выпуклое или равномерно гладкое банахово пространство реф лексивно (см. [3]. § 2. § 4 главы 2).

Определение 1.7. Расстоянием от точки х Е Е E до множества A С Е называется величина

% ( х, A ) = inf 1 1 а a ∈ A

x k .

Обозначим

U ( R, A ) = {х Е Е : 0 < % ( х, A ) < R} .

Определение 1.8. Метрической проекцией точки х Е E на множество A С Е называется любой элемент множества.

P a ( х ) = { а Е A : || а — х | | = % ( х, A ) } .

Определение 1.9. Будем говорить, что множество A С Е удовлетворяет P-опорному условию слабой выпуклости с константой R >  0, если из того, что х Е U ( R, A ) 11 а Е P a ( х ). следует, что

A П int В r ( а + ।-----1 ( х — а )^ = 0 .    (1.1)

Через fi р ( R ) будем обозначать класс всех замкнутых множеств A С Е, удовлетворяющих P -опорному условию слабой выпуклости с кон стантой R.

Определение 1.10. Нормальным конусом к множеству A С Ев точке а о Е A называется множество

N ( а 0 ,A ) = { р Е Е * : V е> 0 3 5> 0:

V а Е A П В § ( а 0) h p, а — а 0 i 6 е | а — а 0 1| } .

Определение 1.11. Будем говорить, что множество A С Е удовлетворяет N-опорному условию слабой выпуклости с константой R > 0, если из того, что р Е N(а, A)ПдВД0), и — единичный вектор, двойственный функционалу р, следует, что

A П int В R ( а + Ru ) = 0 . (1.2)

Через fi N ( R ) будем обозначать класс всех замкнутых множеств A С Е, удовлетворяющих N -опорному условию слабой выпуклости с кон стантой R.

Заметим, что соотношение (1.1) эквивалентно неравенству % (а + ц ^ — ^ ^ ( х — а ) , A J >  R. а соот ношение (1.2) — неравенству % ( а + Ru,A ) >  R.

II.    Взаимосвязь двух опорных условий слабой выпуклости

В работе [2] исследована, взаимосвязь условия слабой выпуклости, условия проксимальной гладкости и P -опорного условия слабой выпуклости множеств в банаховых пространств. В этом параграфе рассматривается взаимосвязь N -опорного условия слабой выпуклости и P -опорного условия слабой выпуклости.

Лемма 2.1. Пусть Е — нормированное прост ранство. A С Е- х 1 Е Е \ A- х 0 Е P a ( х 1 ). норма, пространства Е дифференцируема по Фреше в точке х 1 — х 0. Тогда J ( х 1 — х 0 ) С N ( х 0 , A ).     □

Доказательство. Зафиксируем произвольный функционал р Е J ( х 1 — х 0). Требуется доказать, что р Е N ( х 0 , A ). Зафиксируем произвольное число е >  0. Поскольку норма дифференцируема по Фреше в точке х 1 — х 0 и р Е J 1( х 1 — х 0), то существует число 5 >  0 такое, что

|| х 1 — х || — || х 1 — х о || — h p,x о — х ) 6 е | х о — х ||

V х Е В § ( х _о ) .

Так как х _о Е P a ( х 1). т о || х 1 — х | — || х 1 — х _о | | > 0 для любого х Е A. Следовательно.

h p,x — х о i 6 е | х о — х |    V х Е В § ( х _о ) П A.

Поэтому р Е N ( х о , A ).                         ■

Заметим, что если норма пространства Е не дифференцируема, по Фреше, то для точек х 1 Е Е \ A. х о Е P a ( х 1) вклточепие J ( х 1 — — х _о) С N ( х _о , A ) может не выполняться. Например, рассмотрим двумерное арифметическое пространство R², норма в котором определена так, что

В1 (0) = { ( х, у ) Е R² : ( | х | + 4) 2 + у ² 6 5 2 } .

Заметим, что пространство R² с этой нормой равномерно выпукло, по норма, не дифференцируема, по Фреше. Пусть A = R² \ (int В1(0)), х 1 = (0 , 2), х о = (0 , 3). Тс>гда х о Е P a ( х i). N ( х о , A ) = { 0 }. J ( х 1 — х о ) = { 0 } . Поэтому включение J ( х 1 — х _о) С С N ( х о , A ) не выполнено.

Теорема 2.1. Пусть Е — банахово пространство с дифференцируемой по Фреше нормой, R >  0. Тогда fi n ( R ) С fi p ( R ).                   □

Доказательство. Пусть A е П р ( R ). Пусть x 1 е U ( R, A ), x 0 е P a ( x 1). Требуется доказать равенство

A С int B R

(x ^{0 +}       ' ⁽ x ¹ - x ^о))

= 0 . (2.3)

Зафиксируем произвольный вектор p е J1 (x 1 — — x0).   Тогда, в силу леммы 2.1 имеем p е е N(xq,A)• Поскольку , x 1 — x0 — единичный kx1 - x0k вектор, двойственный к p, а множество A удовлетворяет N-опорному условию слабой выпуклости с константой R, то справедливо равенство (2.3). ■

Лемма 2.2. Пусть E — нормированное пространство с модулем выпуклости 5E, p е дВ^ (0), x 1 , x 2 е В1(0). Тогда.

2 5 e ( ||x i — x 2 1 |) 6 2 — h p,x i + x 2 i .        □

Доказательство. По определению модуля выпуклости || x 1 + x 2 | | 6 2(1 — 5 E ( || x 1 — x 2 | |)). Следовательно. 2 5 E ( || x 1 — x 2 1 |) 6 2 — || x 1 + x 2 1 | 6 2 — — h p, x i + x 2 i. ■

Используя теорему 1 § 5 главы 5 и теорему 2 § 3 главы 4 из книги [3], получаем следующий результат.

Теорема 2.2. Пусть E — равномерно выпуклое банахово пространство, е >  0. Тог да в E существует дифференцируемая по Фреше норма ||-| 1 такая, что пространство ( E, || • | | 1 ) равномерно выпукло и

^ 6 | x | 1 6 || x || V x е E.

¤

значим r = | x 2 — a 0 1 | 1. По теореме Хана-Банаха существует функционал р е E* такой, что

1 = h p,x ₂ — a 0 i >  h p,x i V x е X, (2.6) где X = { x е E : || x | 1 6 r } . Используя дифференцируемость по Фреше нормы || • | | 1, получаем V е> 0 3 5> 0: V x е В ₅ ( x 2 — a 0) \ (int X )

h p, x i + e | x — x 2 + a о | | >  1 = h p,x' ₂ — a о i. (2.7) Поскольку r = inf || x 2 — a | 1. то int X П ( x ' — A ) = a ∈ A ^{2                       2}

= 0. Следовательно, применяя соотношение (2.7) для x = x 2 — a. получаем

V е >  0 3 5 >  0 :

V a е A С В ₅ ( a ₀ ) h p,a — a ₀ i 6 e | a — a ₀ 1| . Поэтому p е N ( a ₀ , A ). Пусть вектор и е E — единичный вектор, двойственный функционалу p, т. е.

h p ^,ui = Ы\, V u V =1 .          (2.8)

Так как A е П _N ( R ). то

% ( a о + Ru, A ) >  R.            (2.9)

Поскольку x о е A- ||x 0> — a _о | | 1 = inf | x 0> — a | 1.

²              a ∈ A ²

то | x 2 — a _о | | 1 6 | x 2 — x _о | | 1. Отсюда и из неравенств (2.5) следует, что

^ x i ^{— a} о ^ ^{6 (1 + е} ) ^| l ^x 2 ^{— x} о ^|| -

Так как x' 2 е В _er ( x 2 ) 11 е <  g. || x 1 — x _о | | = = % ( x 1 , A ) < R. x 2 = x orC x i. _T0 | x 2 — x о | | 6 || x 2 — — x о | | + eR < R. Следовательно.

^| l ^x 2 ^{— a} о h ^{6 |} l ^x 2 ^{— x} о h ^{+ eR} ,

С.Б. Стечкиным в работе [5] получен следующий результат.

Лемма 2.3. Пусть A — замкнутое множество в равномерно выпуклом банаховом пространстве E. Тогда, множество T ( A ) то^ ick и е E. для ко торых множество P a ( и ) состоит ровно из одного элемента, всюду плотно в E.                  □

Лемма 2.4. Пусть E — равномерно выпуклое банахово пространство, R >  0. Тогда П _N ( R ) С С П P ( R ).                                     □

Доказательство. Пусть A е П _N ( R ). Пока жем. что A е П P ( R ). Зафикспруем x 1 е U ( R,A ). x 0 е P a ( x 1). Требуется доказать, что

R

% x о + _г------- k x 1 - x 0

। ( x 1 — x о) ,A J >  R. (2.4)

а. значит,

|| x 2 — a о | | 6 || x 2 — x о | | + 3 eR. (2.10) С другой стороны, поскольку x _о е P a ( x 1), a _о е A, то

|| x 1 — x о | | 6 || x 1 — a о || .            (2.11)

Из неравенства (2.11) получаем 2||x 1 — x21| = ||x 1 — — x о || 6 ||x 1 — a о || 6 ||x 1 — x 21| + ||x 2 — a о ||. Поэтому ||x 1 — x21| 6 |x2 — aо||. Следовательно, векторы x 1 ~ x2     x2 ~ a0, солер?катсявВх(0). По опре- kx2 - a0 k    kx2 - a0 k                     1

делению модуля выпуклости 5 е имеем

x ₁ - x ₂      x ₂ - a ₀

k x 2 - a 0 k    k x 2 - a 0 k

- δ E

x 1 - x 2      x 2 - a 0

k x 2 - a 0 k    k x 2 - a 0 k

,

Зафиксируем произвольное число е е ^0 , 6j. Согласно теореме 2.2 в E существует дифференцируемая по Фреше норма ф | 1 такая, что пространство ( E, || • | | 1 ) равномерно выпукло и

^ 6 || x | | 1 6 || x || V x е E.

(2.5)

Обозначим x ₂ = ^{x 0} + ^{x 1} . В силу леммы 2.3 cy- тцествует точка, x'₂ е В _e R ( x ₂) такая, что inf ||x 2 —

²                            a ∈ A ²

— a| 1 достигается в иекоторой точке a0 е A. Обо то есть

1ф М 3L 6 1 — 5E ( ( Г - — x l !).    <2.12.

2 ||x 2 — a о ||                   ||x 2 — a о ||/

Из неравенств (2.10), е <  16, ||x ₂ — x _о || = = l x 1 ^ x 0 1| < RR _СЛСЛу₍„_т. _что ||x ₂ — a _о || < R.

Отсюда, и из неравенств (2.10) - (2.12)

^{| х} 1 - ^x 0 I I < 1_х f ^{| a} 0 - ^x 0 I I A 2( l x 2 - x 0 I I + 3 eR ) ^{6 1    5}E R )'

получаем: Поэтому

5e ( «^a ^ _ x ^ ^ ) 6 / i^ .     (213.

R          k x 1 - x 0 k

Согласно соотношению (2.5) справедливо включе ние B r (0) С { x Е E : || x | | 1 6 г } = X. Поэтому, используя соотношения (2.6), получаем

r || p | | = sup h p,x i 6 sup h p,x i 6 1 .     (2.14)

x ∈ B r (0)          x ∈ X

точка. у Г с елинственной проекцией x r на. множество A и така.я. что | у Г - y r | 6 ег. Тогда.

| y_r ⁰ - x r | 6 | y_r ⁰ - x 0 | 6

^{6 |у}Г^- y r^{1 +} W y r^{- x} 0 ^{1 6 (1 + е} ) ^г , ⁽² . ¹⁹⁾

Обозначая и ⁰

X 2 - a 0 k^x 2 - a 0 || '

в

пня (2.6) имеем h p,u0 i =