Задача Гольдштика о склейке вихревых течений идеальной жидкости в осесимметрическом случае

Постановка задачи. Стационарное вихревое течение идеальной несжимаемой жидкости в плоском случае описывается уравнением

■ ' . ^v -' = f (v), (1) дx ² дy ²

где завихренность ю = F (v); F — произвольная

уравнения (3). Это решение назовем тривиальным. Оно соответствует потенциальности течения во всей области.

В [1; 6] доказано существование нетривиального (с областью отрицательности) решения задачи (3), (5) при достаточно большом значении величины ю 1 . В [4; 5] получено условие

функция от v;   v( x , У )   — функция тока;

= Sv, V = _Sv дy y дx

компоненты скорости, и в

осесимметрическом случае при rV ^ = const   -

уравнением

S 2 v( z , r ) ₊ д 2 v( z , r ) 1 dv( z , r ) = дz ²         д r ²      r д r

F (v) r ²,     (2)

где завихренность     ю = F ( v ) r ;     r = xx ² + y ²;

,      1 Sv _t Л 1 Sv D              A

Vr =---; Vz =--[1]. В случае ю = 0 имеем r дz        r д r потенциальное течение.

В работе изучаются вихревые потоки с зонами, имеющими различные завихренности, у которых общая граница – «нулевая» линия тока. Здесь не исключается возможность завихренности равняться нулю. В этом случае имеем задачу о склейке вихревых и потенциальных течений идеальной жидкости, впервые предложенной М. А. Лаврентьевым применительно к отрывным течениям [2].

Если стационарное течение идеальной жидкости считать как предельное течение вязкой жидкости при вязкости, стремящейся к нулю, то в области течения, ограниченной замкнутой линией тока, F ( v ) = const [1].

Пусть D - ограниченная область с границей Г , ю 1 >  0, ю ₂ >  0 . Следуя [2-4], рассмотрим задачи:

– в области D требуется найти непрерывно дифференцируемое решение уравнения

[ ю,, если v <  0, ^Av ⁽ x , У ) = ^

[-ю ₂, если v >  0,

в плоском и осесимметрическом случае

д 2v( z, r) д 2v( z, r) 1 Sv( z, r) дz2        д r2     r д r ю1 r2, если v < 0, -ю2r2, если v > 0,

при краевом условии

v| Г =ф ( 5 ) > 0.                   (5)

Рассмотрим задачу (3), (5) при ю ₂ = 0. Имеем задачу Гольдштика о склейке вихревых и потенциальных течений [1; 6]. Гармоническая функция v ₀( x , y ), удовлетворяющая условию (5), положительна в области D и является решением

Ю 1

4 Ce

> -Т, R2

при котором существует нетривиальное решение задачи, где R – радиус наибольшего по площади круга, который можно вписать в область D ; C = max ф( s ). Если D - круг радиуса R и ф( s ) = C , то при выполнении (6) задача (3), (5) имеет два нетривиальных решения [4]. Существование второго нетривиального решения задачи (3), (5) при ю ₂ = 0 доказано в [7; 8].

В работах [9–18] рассмотрены различные задачи о склейке вихревых и потенциальных течений, например, для неограниченной области или когда завихренность является произвольной функцией от функции тока. Задача (3), (5) при ю 1 = 0, ю ₂ <  0 описывает течение идеальной жидкости в поле кориолисовых сил [1; 9; 14].

В общем случае задачи (3), (5) функция

v ( x , y ) =ф с ( x , y ) +

^ю 2

2 п

JJ G ( x , y , x„ y_l ) dx_l dy 1 ,

D

где G ( x , y , x ₁, y ₁) – функция Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа больше нуля во всей области D и тем самым является тривиальным решением задачи (3), (5). Это решение дает вихревое течение с постоянной завихренностью – w 2 во всей области течения.

Пусть B ₁ – круг наибольшего радиуса R ₁ такой, что B 1 c D (без ограничения общности можно считать, что его центр совпадает с началом координат), B ₂ – круг наименьшего радиуса R ₂ с центром в начале координат такой, что B ₂ 2 D . В [5] доказано, что при выполнении неравенства

w ₁

wR ²  4 Ce

22 eJ

R 1 ²       R 1 ²

задача (3), (5) имеет отличное от тривиального решение, что соответствует плоскому вихревому течению с разрывной кусочно-постоянной завихренностью.

Целью работы является исследование задачи (4), (5), описывающей вихревые осесимметрические течения идеальной жидкости с разрывной завихренностью.

Задача (4), (5). Тривиальное решение. Существование нетривиального решения. Пусть область D ограничена гладкой кривой ст , лежащей

в верхней полуплоскости r > 0, и отрезком [а, в] оси z. Краевое условие (5) запишем в виде у|г = r2ф(5) > 0.

Непосредственной проверкой убеждаемся в справедливости равенства:

Lr 2ф = r 2 L*V,(8)

( to ! +to ₂) a ²( a³ - R³ ) + 15 1 C -^ 2 ( a ² - R ²) I R ³ = 0.

Обозначим x = Ra , 0 <  x <  1 и введем функцию

2/3 i\ 1 г I Cto      to , 2 Ito?

y(x) = x (x - 1) + 15| ----y- — (x - 1) I, to =—.

I to ₂ R ² 10 J       to , + to ₂

т л,л _ ^д2 V^{( z} , ^r ) 5 ² у⁽ z , r ) 1 Д/ ⁽ z , r )

^{L lv} '        , zr    .■■

Исследуем функцию y ( x ) . Имеем

L ( m ) = ^дМ ^z , ^r ) ₊ ^d M ^z , ^r ) ₊ 3 д^М д z ²          д r ²       r д r

y (0) = 15 1 - C to + £]> 0, y (1) = 15

Ito ^{R 2 10} J

C to to 2 R R

> 0. (14)

.

Будем искать решение задачи (4), (5) в виде V = r ² u ( z , r ). В соответствии с (8) задача (4), (5) переформулируется в следующем виде: требуется найти непрерывно дифференцируемое в области D решение уравнения д ² u ( z , r ) + д ² u ( z , r ) + 3 д u ( z , r ) д z ²         8 r ²      r 8 r

Далее y'(x) = 5x4 - 2x - 3tox = 0.

Отсюда уравнения.

2 + 3 w

x* = 3------< 1

V 5

корень полученного

Требуем    y ( x * ) <  0.   Это приводит

to, , если u <  0, 1 ’                 ’ (9)

-to ₂, если u >  0,

к выполнению неравенства

ограниченное при r ^ 0, при краевом условии

2to, + 5to2)    110C     ) ,,

—¹-----² > —^- + to₂   ( to,+to₂ ) .

C                D 2      2 v 127

5    7 V R 7

^u | _о =ф ^{( 5} ) > 0.

Пример. Пусть область D - полукруг r2 + z2 < R2 (r > 0), и условие (10) имеет вид u| = C > 0.

о

Это соответствует течению в шаре радиуса R.

Перейдем в уравнении (9) к полярным координатам и будем искать решение, зависящее 2      2.2

только от р , р = z + r .

Имеем д2 u (р) + 4 д u (р) = К, если 0 <р< a, др2 р др [—to2, если а <р< R,

и дополнительные условия

u ( R ) = C , u ( a ) = 0, u '( a - 0) = u '( a + 0), u ( р ) ограничена при р ^ 0 .         (12)

Функция

u(р) = ^(R2 -r2) + C является тривиальным решением задачи. Ищем нетривиальные решения в виде

Тогда с учетом (14) кривая y ( x ) будет пересекать ось Ox на интервале (0,1) в двух точках x i , x ₂. Беря в (13) a = Rx । и a = Rx ₂, получаем два нетривиальных решения.

Полагая в (15) to ₂ = 0 , получаем неравенство

I 5 1 3 C to, >  25 — —7, ¹ V 2 J R ²’

выполнение которого дает условие существования двух нетривиальных решений, когда в одной из зон течение потенциально [4].

Целью дальнейшего исследования является нахождение условий, при которых задача (4), (5) имеет нетривиальное решение.

Существование нетривиального решения. Для оператора L известно фундаментальное решение [19]

Л п

E (z,r, z1, r1 )=-[[(z - z1 )2+r12 + п 0L                        (17)

i                 - 3/2 э

+ r2 - 2r1 r cos Pj    sin2 вdв, которое как относительно z, r, так и z 1, r 1 при z Ф z 1, r Ф r 1 является решением уравнения u (р) = <

to

-^{(р -} a ),

-^ р ² + C + C , 10^И р ^{3    2}’

если р < a, если a <р< R.

_* _

LE = 0.

Удовлетворяя дополнительным условиям (12), получаем уравнение для нахождения величины a :

После замены 1 + cos P = t

4 2

E = - J [(z - z1) + (r + r1) - 2rr t]-3/2 Vt(2 -1)dt = п 0

⁸ п- 3 pf ^{3 3} т 1    ^

=TRi F11,!,3;1 -GI, V П     V 2 2 у где F(a, b, у; c) - гипергеометрическая функция [20],

,   R R h = ";;2, Ri2

где R ² = ( z - z _i)² + ( z - z _i)², R _l ² = ( z - z _i)² + ( z + z _i)².

Принимая во внимание формулу [2i]

F ( a , b , a + b ;i - h ) =

= Г ( a + b ) r^{- i} ( a ) r^{- i} ( b ) F ( a , b , i, h )ln h + ^{Г ( a +} b ) x Г ²( a ) Г ²( b )

Г(a + k)Г(b + k) Г'(k +1) _ Г'(a + k) _ r'(b + k) hk Xkt0     (k!)2      [ Г(k +1) Г(a + k) Г(b + kУ, получаем

2                       x2

E ( z , r , z i , r i ) =--( rr i ) ² ln[( z - z — )² +

П

+ r2 + r2] + R (z, r, z—, г—), где R - регулярная в области D функция.

Будем предполагать, что кривая ст подходит к точкам а и в под углами, отличными от нуля и п соответственно. В [4; 20] для уравнения Lи = 0, с использованием фундаментального решения (I7), введена функция Грина G ( r , z , r _i, z _i) ( G >  0 в области D ) и доказано, что функция

V ⁽ z , r ) = ^- 8 jj f ⁽ z i . r i ) r i ³ G ⁽ r , z , r i , z i ) d^z i dr i     ⁽ⁱ⁸⁾

внутри области D обладает свойствами аналогичными свойствам ньютоновского потенциала с логарифмитической особенностью на плоскости, на границе равняется нулю и непрерывна при г_— ^ 0. Причем, если f ( z , r ) ограничена и измерима в области D , то в любой подобласти B с D функция V ( z , r ) имеет первые производные, удовлетворяющие условию Гельдера с константой Гельдера, зависящей только от max | f | и расстояния области B до границы области D . Если функция f ( z , r ) удовлетворяет в области D условию Гельдера, то в D

LV = f ( z , r ).

Пусть функция и ₀( z , r ) непрерывна в D , в области D удовлетворяет уравнению

Lи ₀ = 0

уравнения Lи ( z , r ) = 0 максимальное и минимальное значение принимает только на ст . Отсюда следует, что и ₀ >  0 в D .

Функция

и*(z,r) = иg(z,r) + ^Мf r3 G(r,z,ri,zi)dridzi (i9) 8 D i в области D положительна, удовлетворяет уравнению Lи. (z, r) =-m2 и тем самым является тривиальным решением рассматриваемой задачи (9), (i0). Это соответствует вихревому течению во всей области с одной постоянной завихренностью -ю2.

Для нахождения нетривиального решения рассмотрим последовательность вспомогательных задач

[                   q^,( r , z ) е B a ,

L*u„ =Ш             го,                      - (20)

n |^2^L(i - th ( и п ■ n ))-^|(i + th ( и п ■ n )), ( r , z ) е D \ B a' '

при краевом условии un |а=Ф(s),                      (2i)

где B_a - полукруг r ² + z ²<  a ² ( r >  0 ) , B_a с D .

Задача (i9), (20) эквивалентна интегральному уравнению un(z,r) = u0(z,r) "f f ri3G(z,r, zi, ri)dzidri -

⁸ B a

• ^{- L} fI ^r i ^{3 (} ^ ^{i (i -} th ⁽ V n ■ⁿ )) ^-

• 8 D 'Ba     2

  - ^22- (i + th(Vn ■ n)))G(z, r, zi, ri)dzidr.

Исходя из указанных свойств интеграла (i8), следуя [i; 3], заключаем (используя теорему Шаудера), что интегральное уравнение (22) в области D \ B_a при каждом n имеет решение. Подставляя это решение в правую часть уравнения (22), определяем функцию u_n ( z , r ) во всей области D . Полученная функция - решение задачи (20), (2i). Учитывая еще раз свойства интеграла (i8) и применяя теорему Арцелла, устанавливаем компактность последовательности u_n ( z , r ) в пространстве непрерывно дифференцируемых в области D функций. Пусть подпоследовательность u_n k ( z , r ) сходится к непрерывно дифференцируемой функции и ^* . Учитывая

1                      11, если и (z, r)< 0, lim — (i - th (un, ■ nk)) = V             2

n k ^™ 2 ^k [ 0, если и ( z , r ) >  0,

и

u 0 L = Ф^{( s} ) ^ 0.

Существование такой функции доказано в [22]. Там же доказано, что отличное от константы непрерывное в рассматриваемой области D решение получаем, что правая часть уравнения (2i) в пределе совпадает с правой частью уравнения (9). Далее, аналогично [i; 4; 9], устанавливаем, что предельная функция является непрерывно дифференцируемым решением задачи д2и*(z, r) д2и*(z, r) 3 ди*(z, r) дz2         д r2      r   д r ю,, если (r, z) e Ba, -ю2, если (r, z) e D \ Ba,

u *   = ф ( s ).

IG

Подберем полукруг B_a в (23) так, чтобы полученная функция и * была в нем отрицательна. Тогда она будет искомым нетривиальным решением рассматриваемой задачи.

Пусть B , - полукруг r ² + z ² <  R , ², r >  0, наибольшего радиуса R , такой, что B , с D (без ограничения общности можно считать, что его центр совпадает с началом координат), B ₂ - полукруг r ² + z ² <  R ₂², r >  0, наименьшего радиуса R ₂ с центром в начале координат такой, что B ₂ 2 D и G_Bj , G B ₂ — функции Грина для областей B , , B ₂ соответственно.

Рассмотрим функции

• V , ( z , r ) = jj r_x G ( z , r , z , , r , ) dz , dr , -

• Ba

• -    jj r j ³ Gb _x ( z , r , z , , r , ) dz , dr , , ( z , r ) e B , ,

B a

V 2 ( z , r ) = jj r , ³ G ( z , r , z , , r , ) dz , dr , -

D

• -    jj r j ³ Gb ₂ ( z , r , z j , r j ) dz j dr j , ( z , r ) e D .

в 2

Пусть B_a - полукруг z ² + r ² <  a ², 0 <  a <  R , . Тогда

• LV , = 0, ( z , r ) e B j ,

LV 2 = 0, ( z , r ) e D ,

V J L, >  ⁰, V 2L <  ⁰

Отсюда и из принципа экстремума для уравнения LV ( z , r ) = 0 следует

• - jj r j ³ G ( z , r , z , , г , ) dz j dr j <

B a

• <    - jj г , ³ Gb , ( z , r , z , , г , ) dz j dr j , ( r , z ) e B , ,

Ba jj r,3 G (z, r, z,, r,) dz, dr, <

D

• <    jj r , ³ Gb ₂ ( z , r , z , , r , ) dz , dr , , ( r , z ) e D .

B 2

Применяя полученные неравенства в (22)

((z, r) e B,), получаем un(z,r) < u 0(z,r)— у Jj r,3 gbx (z,r,z,,r,)dz,dr, + Ba

+ 2 2 f f r , ³ G ( z , r , z , , r , ) dz , dr , <

8 D

• <    C ^{- y L} JJ r j ^GB\ ^{( z} , ^r , ^z , , r j ) ^dz , ^dr ⁺

• ⁸ B a

+ ^{2 2} jj r j ³ G B ₂ ^{( z} , ^r , ^z i , r j ) ^dz , ^dr j <           ⁽²⁴⁾

⁸ B 2

• < C + ^ ^ R ²— ² jj r j ³ G B , ^{( z} , r , ^z , , r j ) ^dz i ^dr .

• ^{5       8} B a

Обозначим

v ⁽ z , ^r ) = C + ^ ^ R ²— ^ L JJ r j ³ G B ⁽ z , ^r , z , , r j ) dz , ^dr , . (25) 5      8 v ^j

Ba

Подберем полукруг B_a в (25) так, чтобы функция v ( z , r ) на его границе равнялась нулю. Тогда она будет в B_a меньше нуля, а в B , \ B_a - больше нуля. В этом случае она является решением частного случая задачи, рассмотренной в примере, если положить ю ₂ = 0 , а граничное условие взять

v| = C + 22R22.

^1GJ                   5

Для этого случая условие (J6) существования требуемого полукруга B_a принимает вид

2/3/ „

f5) I С , ю2 ю, > 25 —   —Z- + —

^J 1 ² J   I R 2 ^{2    5}

.

Пусть выполнено неравенство (26). Учитывая, что и * при ( z , r ) e B , , заключаем, что полученное решение u ^* меньше нуля в полукруге B_a , а это значит, что оно является отличным от тривиального решением рассматриваемой задачи.

Таким образом, установлено, что при выполнении неравенства (26) существуют осесимметрические вихревые течения с разрывными завихренностями, и такие течения обладают эффектом неединственности.

Замечание . Если в плоском случае вихревое течение идеальной жидкости описывается уравнением (,), то осесимметрическое течение в общем случае - уравнением

L v = r2 F (V) -F(v)F'(v), где F(v) и T(v) - произвольные функции от у ,

V r =- ^J |v , V z = ^J |v , rV ^Hv). r д z       r д r

Вопрос об определении функций F(v) и F(v) рассмотрен в [J]. Как указывалось выше, одним из подходов их определения является рассмотрение течения идеальной жидкости как предельного значения вязкой, при стремлении вязкости к нулю. В этом случае F (ψ) и Γ(ψ) являются константами. В общем случае функции F (ψ) и Γ(ψ) должны быть заданы исходя из граничных условий. Задача, рассматриваемая в настоящей работе, соответствует случаю, когда F (ψ)и Γ(ψ) равны константам.