Задача коши для системы дифференциальных уравнений термоупругости

5° tpelXA^, V^eEX A1+aD , V^IXA2 5,

Тогда решение задачи сзз-сзэ существует и единственно.

1 Г                         1                1 г

CCtD = jexpC LAD +ехрС-t AD I , SCO = —— l^xpC LAD-expC-t AD

Если решение задачи сзэ-сзз существует, то из уравнения сз> можно выразить и через у

UCtO =ехрС“tA ОU +Jexp|-С-t-sDА

СsO-В Y’Cs>

а из уравнения с 45 - у через и

УСЮ=ССОУ +A^-1SCt5V ч Га"‘sC L-tD I f Ст5-В ис т?IdT. С75 °              ^{1 J}               L ^{2        2} J

о

Подставим выражение для и из с во в равенство с 75 . Тем самым мы исключим из с75 функцию и. Обе части полученного равенства продифференцируем по t и проведем интегрирование по частям. Затем к обеим частям этого равенства применим оператор в1 ив повторных интегралах поменяем порядок интегрирования. В результате получим следующее выражение t

BiV4tj=BiA"1pCtD+jBiA"1QCt-sOBiV4sOds,            С 85

о где

t

£=ACCOV +SCt3 СОЗ-А V 1 + fSC t - тЗ f ’ C T)dT -

1           2        2 o J J           2

О

-fQCt-TDf CrDdr-QCLDU -О внеинтегральное слагаемое, а

QC 13 = JACC t - т 3 B^xpC - т А*3 dr                    С 93

о

• - ядро. Таким образом, установлена

Лемма I. Если решение задачи сзз-сзз существует, то

Ф/акция в у с to удовлетворяет интегральному уравнению сез.

Теперь решение задачи сзз-свз будем искать как решение ятегрального уравнения

ЙСЮ = ^tD + jQCt-sDBy‘zCsDds          СЮ)

О получающегося из сез, если п деть 0Co=avcld. Предварительно отметим некоторые свойства ядро ос to, которые устанавливаются с помощью интегрирования по частям в формуле сэз.

Лемма 2. Оператор-функция oct) непрерывна на ю.тз, оператор-функция a^qcld непрерывно дифференцируема на со,та.

t                                                                                .                 L

Справедливо включение foe$зds е dcad, оператор-функция Jack so ds непрерывна на ю.т).

Используя лемму 2, можно заключить, что интегральное уравнение с юз имеет единственное непрерывное на ю.тз решение zctD. По zctD определим функцию vctD по формуле

VCtD = V_o + Ja *ZCsDds.

О

Из интегрального уравнения с юз следует, что функция vctD два . раза непрерывно дифференцируема. Для нее справедливы включения V'CtO е DCB^, vet? е ОСА^, фуНКЦИИ SV'Ct), к^<о ~ I. ^пперывкк! и функция в^'с о удовлетворяет условию Гельдера з Пик ?<пэлем «. При атом функция vco удовлетворяет соотношению

7 ”СЮ + Л veto = fCt? - B

f •Xl-S)A Mfts) - ev’CDJds).

В поело днем интеграле выражение Г^-вго.:* удовлетворяет условию Гельдера с показателем «. Этого достаточно /см. £41/ для судесгвозания функции ucto, которую можно определить формулой , Таким образом, получаем непрерывное решение итес, для которого выполнено неравенство

«Ш II + ЙА u« < X или й * «f Н сх + 8В У’К

/с - семейство непрерывных функции • Из формул со?, ст?, вытекает, что функции жо и vet? удовлетворяют системе сзс- ж и является решением задачи с в?-ст?, дяя функции vet? при стом выполнено неравенство и + па Vil йе?mi < Аза1 -С        2 ГФ             С            I о

+ IIA V II + iia^1/zv II II* II + И Г ’II :>so       2   1       1 с         с

Из неравенства ciao, ci-о вытекает единстюнностъ решения. Теорема 2 доказана.

• 4. Псрэйдем к доказательству теоремы I. В гильбертовом ■п.дстрзнстЕе l²ck³? введем операторы а =-<а д < т? _и в =ь дх ао-и ? областями определения оса ?^w^zti»³>, dc я с^эдПде⁴? соответственно, а в гильбертовом пространстве iL^uR³?]³ . операторы Az"-^^^^^-^^^^ div?-i, в =ь >j.? v+i с областями ссдеге.пения оса ^-i w^zcr³?i³, dcb)=!w*cr³>)³ соответственно. При экм о1жц;ач\к; а. является производящим оператором аналогической гтедеру"¹¹-- зперэтор Д₂ - самосопряженным положительно

определенным, для него определены дробные степени, и оператор 1//'² порождает сильно непрерывную группу. Для элементов V«OW‘CR³2J³ ВЫПОЛНеНО НераВеНСТЕО 116*711 < cttA*^/2Vll. ДЛЯ UeW²CR³D - неравенство нд^в^ц¹< с ми» и для uew³ciR³D- неравенстве* IIA в Uli < cilA^3/zu» -2 2                1

Таким образом, для задачи ш-егэ выполнены условия теоремы 2. в силу которой задача cd-его имеет единственное решение, обладающее указанными свойствами.