Задача коши для системы одномерных уравнений, возникающих в двухскоростной гидродинамике

В последние десятилетия, математики становятся все более заинтересованы в проблемах, связанных с поведением решений систем уравнений в частных производных, с малым параметром при старших производных и с учетом кинетических параметров. Эти проблемы возникли из физических приложений, в основном из современной гидродинамики (сжимаемых многофазных жидкостей с малыми вязкостями). Аналогия уравнению Бюргерса возникает, например, при исследовании слабо нелинейной одномерной акустической волны, движущейся с линейной скоростью звука. В этом случае нелинейные по скоростям члены в системе уравнений типа Бюргерса происходят из зависимости скоростей звука от амплитуды звуковой волны, а члены со второй производной и разности скоростей представляют затухание звуковых волн, связанное с диссипацией энергии. Другими словами, эти члены, обеспечивают непрерывность решений и представляют диссипативные процессы, связанные с производством энтропии. Эти члены, в свою очередь, обеспечивают неопрокидывание волн [1]. Рассматриваемая система является частным случаем системы уравнений двухскоростной гидродинамики в одномерном случае [2-5].

Одномерным аналогом уравнений Навье-Стокса для сжимаемых жидкостей можно считать систему уравнений типа Бюргерса, которая представляет собой систему нелинейных уравнений конвекции-диффузии

U t + uu_x = vu_xx - b ⁽u - u), (1) U t + uu x = vu xx - b ⁽u - u), (2)

где величины и и и можно рассматривать, как скорости подсистем с размерностью [x]/[t], составляющих двухскоростной континуум с соответствующими парциальными плотностями р и р,р = р + р - общая

Р плотность континуума, b = - b, b — коэффициент трения с размерностью

1/[t], который является аналогом коэффициента Дарси для пористых сред. Положительные константы v и v играют роль кинематических вязкостей подсистем с размерностью [x]2/[t].

У системы уравнений двухскоростной гидродинамики и системы уравнений типа Бюргерса много общего. Например, квадратичная нелинейность по и и и члены с адвективным слагаемым, отвечающим зависимости звука от амплитуды звуковых волн и линейных вязкостей v, v , коэффициента трения Ъ [1] в правых частях, отвечающие за затухание звуковых волн. Что касается свойств решений, то они совершенно разные. У системы уравнения Бюргерса при исчезающих коэффициентах v, v, b формируются как сильные (ударные волны), так и слабые разрывы, в то время как решения системы двухскоростной гидродинамики такими особенностями не обладают. Однако область применимости этой системы отнюдь не ограничиваются приведенными примерами, такие системы возникают во многих задачах, чем и определяется ее значение.

В данной работе для доказательство существование и единственности решения задачи Коши для одномерной системы типа Бюргерса используется метод слабой аппроксимации. В —наиболее полном виде метод слабой аппроксимации для линейных уравнений исследован Г.В. Демидовым и В.А. Новиковым [6]. З.Г. Гегечкори изучал расщепление многомерных -эллиптических операторов со смешанными производными на одномерные (по различным направлениям) и сходимость таких методов для параболических задач. Первые результаты о сходимости метода слабой аппроксимации для нелинейных уравнений принадлежат Г.И. Марчуку и Г.В. Демидову, доказавшим сходимость метода расщепления для одной из задач краткосрочного прогноза погоды [8]. Ю.Я. Беловым и Г.В. Демидовым исследована сходимость MCA для различных вариантов расщепления квазилинейной системы уравнений типа Бюргерса в [9]. Г .В. Демидовым, В.Ф. Рапутой метод слабой аппроксимации изучался для абстрактных нелинейных операторных уравнений, частными случаями которых являются системы типа Коши-Ковалевской [10, 11] Ю.Я. Белов на основе MCA исследовал вопросы разрешимости и устойчивости стационарных решений распадающихся квазилинейных параболических систем уравнений первого порядка. Ю.Е. Бояринцевым доказаны достаточно общие теоремы сходимости MCA для обыкновенных дифференциальных уравнений, исследована возможность применения метода к задачам оптимального управления [12]

• 2.    Задача Коши для системы уравнений типа Бюргерса

• 3.    Метод слабой аппроксимации. Теорема сходимости метода слабой аппроксимации

Рассмотрим для системы (1), (2) в полосе Г[0,т] = {(t, х): 0 < t < Т, х £ R} задачу Коши со следующими начальными данными и | t=0 = и0 (х),      и | t=0 = и0 (х),      х £ R. (3)

Нac будут интересовать решения задачи Коши для системы уравнений типа Бюргерса (1), (2) в отличие, а именно u(t, х), u(t, х) Э С^1,2(Г [ ₀ , _Г ] ) - класс функций один раз непрерывно дифференцируемых по t и два раза непрерывно дифференцируемых по х.

Для полноты изложения приведем краткое описание метода слабой аппроксимации и одну теорему сходимости метода. Более подробно эта информация изложена в [13, 14]

В банаховом пространстве Н рассмотрим задачу Коши du + L(t)u = f(t),t Э[0,Т],и |t=0 = u0,         (1.5)

где L(t) - нелинейный, вообще говоря, неограниченный оператор с переменной областью определения D(L(t)), причем при каждом фиксированном t £ 2 [0, Т] оператор L(t) отображает D(L(t)) в Н .

Пусть L = S = L_f ,     / = SU / = П£ 1 D(L i (t)) £ D(L(t)).

Считаем, что операторы L j (t) отображают D(L j (t)) в Н функции fi (t) £ H, i = 1,...., m .

Наряду с задачей (1.5) рассмотрим семейство задач, зависящих от параметра т :

d^ + Lr(t)u^r = /r(t), t £ [O,T],u^T| t=o = u₀

(1,6)

Где m                   m

LT (t)= ^ at (r,t)Lt (t), A (t)= ^fc (т,^ (t), i=1                               i=1

а функции  ai(т,t),Pi(тrt) слабо аппроксимируют единицу, т.е. для любых t1,t2 Е [0,Т] при т^0

ff²^ (т, t) — 1) dt ^ 0,

f²⁽P i ^(т,^t) - ^1)dt ^ ^{0 b} 1

Метод решения задачи (1.5), при котором в качестве приближенных решений и^т,т > 0, берутся решения задачи (1.6) и решение и задачи (1.5)

находится как предел при т ^ 0, решений и^т(и = Ит_т ^ ₀ и^т), методом слабой аппроксимации ([13], [15], [14]).

называется

Если функции a i (т, t), Pfa, t) выбрать в виде п = 0,1,.....

,N — 1, то

в этом случае нахождение решения и^т задачи (1.6) сводится к решению последовательности задач Коши:

u^т| t=o = и о

В качестве начальных данных на этом шаге берется значение решения, полученного на первом дробном шаге в момент t = ~ аналогичным образом, определяют решение на

.

Продолжая множествах

(рл ].....(^

mm    m

, т] ) Тем самым находят решение на отрезке [0, т ]

-

нулевом целом шаге. После этого аналогично находят решение на отрезке [т, 2т]  - первом целом шаге, затем - на отрезке [2т, 3т] и так далее. Через конечное число шагов (число это равно N) решение ит находят на отрезке [0, Т]. Задачу (1.6) называют расщеплением задачи (1.5).

Рассмотрим в полосе Г [ ₀ , _Т ] = {(t, х)|0 < t <Т,х Е Rⁿ систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных

— = р⁽1,х,и⁾,                      (1,7)

где и = и(t,х) = (и₁(t,х) ",и₁(t,х)),р(р₁, ",р 1 ) - вектор-функции размерности I (I > 0)

диг диг и = (и,......>щ, — ,—

\              дх 1 дх₂

ди 1

, ""  дх_п ,

д^ги 1

дгип

' дх[  ’'

'

', ^дх п

).

Пусть р = ^™ 1 р¹, P j = ^™ 1 p j , j = 1,^'1 , где р¹ - вектор-функции размерности l;pⁱ,p j — j -e компоненты векторов р и фⁱ соответственно. Система

^7 = SU Щ,_т (t^P i ⁽t, х, и^т),

(1.8)

где п = 0,1, ", N — 1; тN = Т    слабо аппроксимирует систему (4).

P i (t,х,U^1:')   - некоторые аппрокси-мации вектор-функций   р^,х,и^т')

зависящие от т .

Наконец, рассмотрим систему

^££1 ^ i,^ ^(t)‘P i,- ^(t'^х, ^иТ)

(1.9)

где вектор-функции P i, _T(t, x, u^T есть некоторые аппроксимации вектор-функций p i (t, x, U^T зависящие от т.

Ниже будем рассматривать классические решения уравнений (1.7), (1.8), (1.9). Под классическими решениями уравнений (1.8) ((1.9)) мы понимаем функцию u^T непрерывную вместе со всеми своими производными по пространственным переменным, которые входят в уравнение (1.8), в полосе Г [oti , обладающую кусочно-непрерывной производной u j    B Г [0,т] ,

(uj) может    иметь    разрывы    лишь    на    гиперплоскостях t = (п + ~) т,п = 0,1,......., N — 1, tN = T, i = 0,1,.. ., m — 1) и удовлетворяющую уравнению (1.8) ((1.9)).

Предположим, что выполняются следующие условия.

Условие 1. Вектор-функции p i определены и непрерывны при любых значениях своих аргументов. Вектор-функции P i _T(t,x,U^T на классических решениях U^T системы уравнений (1.9) непрерывны по переменным (t,x) £ ^Г [0,Т]

Пусть {т_к} “=1 (0 < т < т₀) - некоторая последовательность, сходящаяся к нулю: lim_k ^ _OTT_k = 0. Заметим, что последовательности {т ^ } “= ₁ соответствует последовательность {N_fc} “=1 = 1 целых чисел, таких, что t^N^ = T. Через u^{T fe} (t,x) обозначим решение системы (1.9) при фиксированном т_к > 0 .

Условие 2. Пусть при всех т ^ > 0 классическое решение u £ системы (1.9) существует и при т ^ ^0 равномерно в Г [0, _Т ] = (t, x)|0 < t < T, |x| < N} последовательность u_k сходится к некоторой вектор-функции u вместе со всеми производными по x, входящим в (1.7), причем

~N^ax= |^ i (t,x,u^{T k}) — ^ iT_k (t,x,u^Tk)| ^ 0,  T_k^0, i = 1,.,m.

[0,T]

Теорема. Пусть выполняются условия 1, 2. Тогда вектор-функция u(t, x) есть решение системы (1.7) в Г ро, _Т ] .

Доказательство теоремы 1.3 приведено в [10].

• 4.    Метод слабой аппроксимации для задачи Коши для системы уравнений типа Бюргерса

Рассмотрим относительно данных Коши u₀ , U₀ задачи (1)-(3) предположим, что u₀, U₀ £ C²(R) и

^^| < ^с п - |л ^Я < ^г п x £ R, п = 0,1,2....... (2.0)

(ЛЛ                      (ЛЛ где сп, сп - некоторые заданные неотрицательные постоянные.

В начале рассмотрим случай бесконечно дифференцируемых данных Коши. Предположим, что u₀,U₀ £ C “ (R) и

^ ^ ^ :F|n, RoR^n x£R, п = 0,1..... (2.1)

Следуя [9, 16], слабо аппроксимируем задачу Коши (1)-(3) задачей uj = 3vuxx, uj = 3vuxx, пт < t < (n +1) :, uj + 3uluX = 0, Ul + 3UlUX = 0, (n + |) : < t < (n + 2) :,

(2.3)

uj = -3b(uT — ul),uj = 3b(ul — ul),(n + |) : < t < (n + 1):, ul(0, x) = u0(x), ul(x,0) = u0 (x),(2.5)

где    N_T = t*,N>1 - целое, n = 0,1,...,N —1, и постоянная t *

удовлетворяет неравенству (30) (см. ниже).

Замечание При построении решения задачи (2.2)-(2.5) на первых дробных шагах решается задача Коши для уравнения теплопроводности, а на вторых дробных шагах - задача Коши для уравнения переноса vt + 3vvx = 0,                            (2.6)

а на третьих дробных шагах - задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнении. Решения которого имеет вид h                                ^

u l = u₀ (x) + -=- (u₀ (x) — u₀ (x)) (1 — e ^bt),

~

u^l = u₀(x)e^-bt

3b       ,

+ y u 0 ⁽x)(1

— e ^bt) +-=-u₀(x)(1 — e ^bt)

где b = 3(b + b).

Известно, что в случае задачи Коши для уравнения (2.6) с начальными данными

v(0,x) = v0(x)                                 (2.7)

ограниченными вместе со своими производными, может иметь место градиентная катастрофа то есть может существовать tj > 0, такое, что классическое решение v этой задачи существует в полосе  F[0,t(], само остается в этой полосе ограниченным, но производная vx в окрестности некоторой точки (tz,x0) становится неограниченной: vx(t, х) ^ то, при t ^ tt,x ^ x0[1,11,13].

Нетрудно показать, что если dV o (x)

< ^ i

(2.8)

dx то классическое решение задачи (2.6), (2.7) существует в полосе F [0,t* ], ограничено и

|v x (t,x)| <  -^4 , ⁽t,x) е F [0,t * ] ,                   (2.9)

1-Qt где t удовлетворяет неравенству

1 — 3qt * > 0

Пусть выполнены соотношения (2.1) и постоянные с, а и t * удовлетворяют условиям

1 - c_zt * >0,   1 - Ct* >  0                (3.0)

тогда решение u^T и U^T в полосе Г [ ₀ , _t * ] , существует и ограничено вместе со всеми своими производными по переменным t, х .

Очевидно, что при любом фиксированном г решение uT и UT задачи

• (2.2)-( 2.5) ограничены независимо от величины т:

|u^T(t,x)| < C o , |U_T⁽t,x⁾| < C o                            (3.1)

Повторяя рассуждение из [9], можно показать ограниченность частных производных решений uT и UT по x любого порядка равномерно по т:

d^ku^T(t,x) дх^к

<ск,

dkuT(t,x) дхк

< ^С к ,  ^{(t,x) e r} [o,t * ] ,

к = 0,1,...,

(3.2)

• - где С^к, С^к — некоторые положительные постоянные, такие что С₀ = ^с 0 , ^С о = ^с 0

Из неравенств (3.1), (3.2) и уравнений (2.2)-(2.4) следуют равномерные по т оценки:

d^k+1u^T(t,x)            d^k+1U^{T (} t,x)      ^

I dtdx^k | < C^k, |    dtdx^k   I < ^Ck, ^{(t,x) e r} [ ⁰ , ^t * ^], ^к = ^0,1, .,

(3.3)

Из этих оценок следует, что u^T, U^T и их производные по х любого порядка равномерно ограничены и равностепенно непрерывны в F [ ₀ , _t * ] . На основании теоремы Арцела диагональным способом можно выбрать под последовательность {u^{T k} }, {U^{T k} } последовательностей {u^T}, {U^T}, сходящуюся в Г [ ₀ , _t * ] к функциям u и U соответственно вместе со всеми производными по х, равномерно в каждой ограниченной области полосы T [ ₀ , _t * ] , вследcвие чего функции u и U имеют производные любого порядка по х и выполняются соотношения

u(0,x) = U₀(x),  U(0,x) = U₀(x),                (3.4)

< C k . |^{d k}u(r | < С к ,   (t,x) e r [0, _tl,  к = 0,1..... (3.5)

Единственность решения доказывается стандартным способом.

Следовательно, и сами последовательности функций {u^T }, {U^T} при t ^ 0 сходятся равномерно в r [ ₀ , _t ] к, u и й соответственно, вместе со всеми производными. Случай, когда u₀, U ₀ e С² (Л) доказывается с помощью средних функций [13].

Заключения

Система типа Бюргерса является упрощением система уравнений модели двухжидкостной среды и отличается от системы уравнений модели двухжидкостной среды отсутствием давления и условиями несжимаемости. По этой причине семейство задач для системы типа Бюргерса иногда называется двухскоростной гидродинамикой без давления. Рассмотрена задача Коши для одномерной системы уравнений типа Бюргерса, возникающей в двухскоростной гидродинамике. Методом слабой аппроксимации доказано существование и единственность решения задачи Коши для одномерной системы типа Бюргерса. Рассмотрено решение системы уравнений типа Римана в виде бегущих волн. Получена формула для ее решения в виде системы нелинейных уравнений. Численно решена периодическая задача для системы типа Бюргерса. Проведены численные эксперименты.