Задача о брахистохроне (классификация обобщений и некоторые последние результаты)

Автор: Сумбатов А.С.

Журнал: Труды Московского физико-технического института @trudy-mipt

Статья в выпуске: 3 (35) т.9, 2017 года.

Бесплатный доступ

Рассматривается классическая задача о нахождении в вертикальной плоскости кри- вой без трения, по которой тяжелая частица из заданного стартового положения ска- тывается без начальной скорости в заданную финишную точку за минимальное время. Иоганн Бернулли предложил название для искомой кривой - брахистохрона. Задача о брахистохроне в разных постановках привлекала и продолжает привлекать внима- ние математиков и механиков из многих стран. Более сотни публикаций посвящены обобщениям классической задачи. Дается некоторая классификация этих обобщений с выборочным указанием библиографии. Рассмотрены некоторые последние результаты решения обобщённых постановок задачи при наличии сухого (кулонова) трения.

Еще

Брахистохрона, брахистохронное движение, вариационное исчисление, оптимальное управление, экстремаль, метод множителей лагранжа

Короткий адрес: https://sciup.org/142214985

IDR: 142214985

Список литературы Задача о брахистохроне (классификация обобщений и некоторые последние результаты)

Hess H.-J., Nagel F. (eds.). Der Ausbau des Calculus durch Leibniz und die Bruder Bernoulli. Wiesbaden: Steiner, 1989.
Boyer Carl B., Merzbach Uta C. (rev.). A History of Mathematics. 2nd ed. N.-Y. etc.: John Willey and Sons. Inc., 1991.
Die Streitschriften von Jacob und Johann Bernouli: Variationsrechnung. Bearbeitet und kommentiert von Herman H. Goldstone, mit historischen Anmerkungen von Patricia Radelet-de Grave. Basel-Boston-Belrin: Birkhauser, 1991.
Thiele Rudiger. Von den bernoullischen Brachistochrone zum Kalibrator-Konzept: ein historischer Abriss zur Entstehung der Feldtheorie in der Variationsrechnung (hinreichende Bedingungen in der Variationsrechnung). Turnhout: Brepols, 2007.
Peiffer Jeanne. Le probl`eme de la brachystochrone `a travers les relations de Jean I. Bernoulli avec l’Hospital et Varignon. (See , P. 59-81).
Benson D.C. An Elementary Solution of the Brachistochrone Problem//Amer. Math. Monthly. 1969. V. 76, N 8. P. 890-894.
Lawlor G. A New Minimization Proof for the Brachistochrone//Amer. Math. Monthly. 1996. V. 103, N 3. P. 242-249.
Boute R.T. The Brachistochrone Problem Solved Geometrically: A Very Elementary Approach//Mathematics Magazine. 2012. V. 85, N 3. P. 193-199.
Cooper P.W. Through the Earth in Forty Minutes//Amer. J. Phys. 1966. V. 34. P. 68-70.
Venezian G. Terrestrial Brachistochrone//Amer. J. Phys. 1966. V. 34. P. 701.
Kleinschmidt, W., Schulze, H.K. Brachistochronen in einem zentral symmetrischen Schwerefeld//Z. Angew. Math. Mech. 1970. Bd. 50. T2340-T236.
Denman Harry H. Remarks on brachistochrone-tautochrone problems//Amer. J. Phys. 1985. V. 53. P. 224-227.
Scarpello G.M. and Ritelli D. Planar brachistochrone of a particle attracted in vacuo by an infinite rod//New Zealand J. Math. 2007. V. 36. P. 241-252.
Vratanar, B., Saje, M. On the analytical solution of the brachistochrone problem in a non-conservative field//Int. J. Non-Linear Mech. 1998. V. 33, N 3. P. 489-505.
Goldstein H. and Bender C. Relativistic brachistochrone//J. Math. Phys. 1986. V. 27, N 2. P. 507-511.
Cannoni, Piccione, Verderesi An approach to the relativistic brachistochrone problem by sub-Riemannian geometry//J. Math. Phys. 1997. V. 38, N 12. P. 6367-6381.
Scarpello G.M. and Ritelli D. Relativistic brachistochrones under electric or gravitational uniform fields//Z. Angew. Math. Mech. 2006. V. 86, N 9. P. 736-743.
Jellett J.H. The Calculus of Variations. Dublin: Univ. Press, 1850. P. 287-334).
Djuki´c Dj. The brachistochronic motion of a material point on surface//Riv. Mat. Univ. Parma. 1976. V. 2, N 4. P. 177-183.
Cˇ ovi´c V. and Veskovi´c M. Brachistochrone on a surface with Coulomb friction//Int. J. Non-Lin. Mech. 2008. V. 43. P. 437-450.
Иванов А.И. О брахистохроне частицы переменной массы с постоянным отношением количества присоединяемых и отделяемых частиц//Докл. АН УССР. Сер. А. 1968. С. 683-686.
Руссаловская А.В., Иванов Г.И., Иванов А.И. О брахистохроне точки переменной массы с трением и экспоненциальным законом истечения массы//Докл. АН УССР. Сер. А. 1973. С. 1024-1026.
Jeremi´c O., Sˇalini´c S., Obradovi´c A. and Mitrovi´c Z. On the brachistochrone of a variable mass particle in general force fields//Math. and Computer Modelling. 2011. V. 54. P. 2900-2912.
Obradovi´c A., Sˇalini´c S., Jeremi´c O. and Mitrovi´c Z. Brachistochronic motion of a variable mass system. -In: Trans. Third Serbian (28th Yu) Congress on Theoretical and Applied Mechanics (Vlasina lake, Serbia, 5-8 July 2011). P. 1237-1246.
Vukman M. Cˇ ovi´c, Mirjana M. Lukaˇcevi´c. Extension of the Bernoulli’s case of a brachistochronic motion to the multibody system in the form of a closed kinematic chain//Univ. of Ni´c. J. Facta Universitatis. Ser.: Mechanics, Automatic Control and Robotics. 1999. V. 2, N 9. P. 973-982.
Голубев Ю.Ф. Брахистохрона для твердого тела, скользящего по кривой//Изв. РАН. Теория и системы управления. 2013. № 4. С. 71-87.
S. Sˇalini´c S., Obradovi´c A., Mitrovi´c Z., and Rusov S. On the brachistochronic motion of the Chaplygin sleigh//Acta Mech. Published online 20 April 2013.
Radulovi´c R., Obradovi´c A., Sˇalini´c S. and Mitrovi´c Z. The brachistochronic motion of a wheeled vehicle//Nonlinear Dyn. Published online 26 August 2016.
Rodgers E. Brachistochrone and Tautochrone Curves for Rolling Bodies//Amer. J. Phys. 1946. V. 14. P. 249-252.
Ashby N., Brittin W.E., Love W.F. and Wyss W. Brachistochrone with Coulomb friction//Amer. J. Phys. 1975. V. 43, N 10. P. 902-906.
Sumbatov A.S. Brachistochrone with Coulomb friction as the solution of an isoperimetrical variational problem//Int. J. Non-Linear Mech. 2017. V. 88. P. 135-141.
Lipp S. Brachistochrone with Coulomb friction//SIAM J. Control Optim. 1997. V. 35, N 2. P. 562-584.

Еще

Статья научная