Задача об оптимизация решений одной системы разностных уравнений с полумарковскими коэффициентами

Рассматривается дискретная система управления (dim X_k = m )

X k + , = A ( k, Z ) x_t + в ( k , Z ) U k ( k = 0,1,2,... ) ,                 (1)

где Z -полумарковская цепь, принимающая значения ^ ,.., @п и определённая интенсивностями qls(k) (l,s = 1,...,n; k = 1,2,...) перехода из состояния 0S в состояние 0[ .

Ищется вектор управления Uk из условия минимума квадратичного функционала га v = В Xk Q ( k Zk) Хk + UkL ( k Zk) Uk \                 (2)

k = 0

где Q ( k, Z ) , L ( k, Z ) - симметрические, положительно определённые матрицы, а верхний индекс * означает транспонирование. Предполагаем, что при kj <  k <  k- ₊₁, Z = Q матричные коэффициенты в формулах (2), (3)

определяются выражениями

A ( к, Z ) = A s ( k - kj) ; В ( k Z k ) = В , ( k — k j) ;

Q(k,Z) = Qs(k -kj); L(kZk) = Ls (k -kj) (s = 1,...,n), где       As(k), Bs(k), Qs(k), Ls(k), (s = 1,...,n)-       наперёд      заданные детерминированные матрицы, зависящие от дискретного времени k = 0,1,2,... .

Предполагаем, что оптимальное управление имеет вид

Uk = S(kZk)Xk (k = 0,1,2,...),(4)

где S ( k , Z ) матрица с полумарковскими коэффициентами. Предполагаем далее, что при kj <  k < k-₊₁ будут справедливы равенства

S(kZk) = Ss(k-kj) (s = 1,...,n).

Введём обозначения

H (kZk ) = A (k ,4k) + B (kZk) S (kZk);(6)

G (kZk ) = Q (k ,4k) + S (kZk) L (kZk) S (kZk).(7)

При этом приходим к системе линейных разностных уравнений

Xk +1 = H(kZk)Xk (k = 0,1,2,...),(8)

для которой ищется квадратичный функционал ^

v = Z( XkG (kZk) Xk).

k = 0

Введём основные стохастические функции Ляпунова

v(X) = X• С,X = £(XG(kZk)Xk\X0 = Х, 40 = k) (s = 1,...,n).(10)

k = 0

Если функции v(X) (s = 1,...,n) известны, то величину функционала v (3.41) можно найти из формулы n  nn v = JE vs (X ) fs (0, X ) dX ЧЕ X С Xf) (0, Х ) dX =E Cs° Ds ^

Rm S=1                                Rm S=1

где используются матрицы частных моментов второго порядка

Ds(k) =J XX*fs(k,X)dX;  dX = dx.,...,dxn,(12)

Rm a fs (k, X) частная плотность распределения (Xk ,Z = 6S). Рассмотрим систему линейных разностных уравнений (8). Будем предполагать, что решение системы (8) умножается дополнительно на постоянные матрицы C , det Csl * 0 (s,l = 1,...,n) в момент k., когда случайный процесс Zk имеет скачок и Ckj ! = 6l, z = 6s.

Пусть системы линейных разностных уравнений

X k + 1 = H s ( k ) X k^{s )} ( s = 1,..., n; k = 0,1,2,... )                         (13)

имеют фундаментальные матрицы решений N ( k )

X k^{s )} = N, ( k ) X 0 ^s ' ( k = 0,1,2,... ) .                                 (14)

Будем предполагать, что при выполнении условий

Zk = 6!, j < k < kj;  Zk = 6s, kj < k < j будут справедливы соотношения (kj_x < k < kj)

X_k = N ( k - k j - 1 ) X_kj _- X_kj = C sl N ( k - k j _ 1 ) X ^det C sl * 0; X k = N _? ( k - k j ) X k j (15)

т.е. в момент k. скачка полумарковской цепи Zk решение системы (8) умножается слева дополнительно на необратимую матрицу С . Из формул (11) находим систему уравнений да

n

V s ( X> X * C , X = - X * N * ( k ) v . ( k ) G , ( k ) + - q„ ( k ) C s CC is N s ( k ) X ,

k = 0

l = 1

^да n

q * ( ⁰ ) = 0, v * ( t ) = J — q * ( ^T d ( * = ^1,".^{, n} ) t I = 1

Полагая

G * ( k ) = Q * ( k ) + S ( k ) L * ( k ) S * ( k ) ; U <* ) = S ( K ) X <* ) ( * = 1,..., n )

перепишем формулы (16) в виде да

vs

( X ) . X * C * X = - ( X k* > )

k = 0

*

n

V * ( k ) Q * ( k ) + - q i* ( k ) CCC *

к                          I = 1

X k * )

+

*

+ ( U k ) ) V * ( k ) L * ( k ) U k* )

Минимизация функционала v (11) сводится к минимизации функций v_s ( X )( * = 1,..., n ) . Таким образом, задача отыскания оптимального управления (5) распадается на n задач оптимизации детерминированных систем управления

X k + > = A ( k ) X k * ) + B, ( k ) U k¹ )      ( * = 1,.., n ) ,                 (19)

( * )

где оптимальное управление U ищется из условия минимума квадратичного функционала    v ₅ ( X ) ( * = 1,.., n ) .

Используем известные методы отыскания оптимального управления для линейной системы разностных уравнений, изложенных, например, в работе [14].

Вводим квадратичные формы (3.26)

V * ( k , X k* ) ) = ( X k ) ) * K ( k ) X k ) =

n

= и, min _г k - ^v ( j ) g ^{( j} , Х' * ^)+- q * ( j ) V ⁽ X j* ) )

*    ’     j = k к                                  l = 1                          у

(* = 1,...,n; k = 0,1,2,...), где положено

*

V ( X 0 * ) ) = ( X 0 * ) ) C * X 0 * ) = V * ( 0, X 0 * ) ) ( * = 1,..., n ) .

При этом приходим к системе нелинейных матричных разностных уравнений типа Риккати (* = 1,...,n):

Ks (k)=Vs (k) Q, (k)+iq (k) CcCs + A* (k) Rs (k), I=1

Rs (k) - (E + Ks (k +1) B* (k ) V- (k) L1 (k) Bs (k ))-' Ks (k +1) As (k), а оптимальное управление имеет вид uks) = V (k) L1 (k) Bs (k) Rs (k) Xks>.(22)

При этом будут справедливы формулы

С = K (0) (l = 1,...,n).(23)

Систему уравнений (21)-(23) можно записать в равносильной форме

Ss (k) = -(Ls (k)vs (k) + Bs (k)Ks (k +1)Bs (k))-1 Bs (k)K, (k +1)As (k), где симметрические матрицы Ks (k) удовлетворяют матричным разностным уравнениям

n

K s ( k ) = V . ( k ) Q . ( k ) + £ q s ( k ) CK ( 0 ) C is +

= 1

+ A * ( k ) K s ( k + 1 ) ( A s ( k ) + B s ( k ) S s ( k ) ) ( s = 1,

...,

n ; k = 0,1,2,... )     (25)

Чтобы упростить выкладки, введём вспомогательные матрицы

P s ( k + 1 ) = Ц   K s ( k + 1 ) ( k = 0,1,2,... ) ,

V s ( ^k )

Тогда система уравнений (24), (25) примет простой вид

Ss (k) = -(Qs (k) + B* (k)Ps (k +1)Bs (k))-1 Bs (k)Ps (k +1)As (k) (k = 0,1,2,...), где

^Ps ^{( k} ) = hr¹ ( Q s ( ^k ) + A s ( ^k ) ^Ps ( ^k + 1 ) ) ( A s ( ^k ) + ^Bs ^{( k} ) S s ( ^k ) ) +

^V s ^{( k -} 1 )

+

£Лтп C ls K i ( 0 ) C is 7=1 V s ( ^{k -} 1 )

( s = 1,..., n ; k = 0,1,2,... ) .

Уравнение (25), соответствующие индексу k = 0 выписывается по особой формуле

K s ( 0 ) - K s = Q s ( 0 ) + A * ( 0 ) P s ( 1 ) ( A s ( 0 ) + B s ( 0 ) S s ( 0 ) )         (29)

так как q_ls ( 0 ) = 0 ( l , s = 1,..., n ) .

Полученный вывод сформулируем в виде теоремы.

Теорема.    Пусть дискретная система управления (2) имеет полумарковские коэффициенты, зависящие от полумарковской цепи Z, определяемой интенсивностями qls(к)   (l,s = 1,...,n; к = 1,2,...). Пусть коэффициенты системы управления (2) и функционала (3) определяются системой уравнений (4). Пусть оптимальное управление Uk (к = 0,1,2,...) ищется в виде (5) и решения оптимизированной системы управления имеют скачки решения, определяемые формулами (15). Если оптимальное управление ищется из условия минимума квадратичного функционала (3), то необходимые условия оптимальности определяются системой уравнений (27) - (29).